Analisi matematica 2 - Curve

DEFINIZIONE

Diciamo che lim () =

%→% !

∀

Se, vale lim () =

# #

%→% !

∈ ∀ = , … ,

Diremo quindi che è continua in se e solo se è continua in

∀ = , … ,

Se è interno ad A, diremo che è derivabile in se è derivabile in

$

E, in tal caso, si può definire il vettore )

) )

( ) ( ), ( )/

= - … ,

DEFINIZIONE

⊆ ℝ : → ℝ

Sia un intervallo, chiamiamo curva un’applicazione continua

Le equazioni ()

=

" "

…

A ∀ ∈

( )

=

! !

.

sono dette equazioni parametriche di di parametro

Conseguenza !

() ⊆ ℝ

L’immagine (cioè l’insieme di vettori) è detta sostegno della curva.

Quindi

- Curva = funzione

- Sostegno = immagine della funzione

ESEMPIO 1 ,

[0,2]

: → ℝ ∈ [0,2]):

Equazioni parametriche ( = cos

"

I = sin

,

Il sostegno della curva è una circonferenza.

ESEMPIO 2 - -

( )

, , ∈ ℝ (, , ) ∈ ℝ

Dati ,

$ $ $ = +

$

= +

A $

= +

$

Il sostegno della curva è una retta nello spazio.

ESEMPIO 3 ,

[0,4]

: → ℝ ∈ [0,4]):

Equazioni parametriche ( = cos

"

I = sin

"

Il sostegno della curva è una circonferenza, ma in questo caso è percorsa due volte.

≠ .

Quindi

ESEMPIO 4 ,

[0,2]

: → ℝ

Equazioni parametriche cos(−)

=

"

V = sin(−)

,

Il sostegno della curva è ancora una circonferenza, ma percorsa in verso opposto.

≠ ≠ .

Quindi

DEFINIZIONE !

: ⊆ ℝ → ℝ

Sia .

∀ , ∈ , ≠

Una curva si dice semplice se con e tali che almeno uno dei due è interno a I, si ha

" , " ,

che: )

( ) ≠ (

È una disuguaglianza che va intesa in senso vettoriale, cioè almeno una componente deve essere diversa.

Un esempio di curva semplice è la circonferenza percorsa una sola volta.

DEFINIZIONE !

[, ]

: → ℝ

Una curva si dice chiusa se () = ()

DEFINIZIONE !

< : → ℝ

Siano I un intervallo di estremi e sia .

∈ (),

Diremo che è regolare se cioè se è derivabile almeno una volta con derivata continua, ed

∀ ∈ (, ):

inoltre, !

,

) ) ,

b[

() ()|` ()]

≠ 0 ↔ `| ≠ 0 ↔ ≠ 0

#

#/"

DEFINIZIONE ),

′( ) ( =

Se è regolare, si dice vettore tangente (o velocità) nel punto per .

$ $

∀ ∈ (, ):

In tal caso, si pone ′()

() = ()|`

)

`|

Dove T è il versore tangente, che indica “quanto sta cambiando la direzione”.

Osservazione

()

Se è regolare, allora è privo di punti angolosi e cuspidi.

"

().

In generale ciò è falso se è solo

[−1,1]

: → ℝ

Infatti, se consideriamo tale che - ,

( )

() = ,

La derivata ) ,

()

= (3 , 2)

= 0 ∈ (−1,1)

Esiste però tale per cui: ) (0)

= (0,0)

Quindi non è regolare. - "

=

V → = -

,

=

"

() =

Il sostegno della curva è il grafico di , dove troviamo una cuspide in (0,0)

#

DEFINIZIONE !

: → ℝ

Una curva si dice regolare a tratti se l’intervallo I si può suddividere in un numero finito di sotto

intervalli, in ciascuno dei quali la restrizione di risulta regolare.

ESEMPIO - ,

() = ( , )

Una curva è regolare a tratti.

[−1,0]

- Nell’intervallo è regolare

[0,1]

- Nell’intervallo è regolare

[−1,1].

Non è regolare in

ORIENTAMENTO

DEFINIZIONE

= ( ) = ( ) < , ∈ .

Diremo che precede nel verso indotto dal parametro t se dove

" ,

ESEMPIO

L’orientamento di una curva regolare, in generale, è dato dal verso del vettore tangente.

Prendiamo la curva (cos

() = , sin )

) ()

= (− sin , cos )

= 0:

Se ) (0)

= (0,1)

(0,0) → (0)

È versore tangente in

0

=

Se :

,

)

k l = (−1,0)

2

0

→ k l

È versore tangente ,

-0

=

Idem per .

,

CURVE EQUIVALENTI

DEFINIZIONE ! !

[, ] [, ]

: = → ℝ : = → ℝ

Due curve e entrambe regolari.

Esse si dicono equivalenti se esiste una funzione scalare

: →

Tale che sia

1) Suriettiva

()

2) Di classe

) ()

≠ , ∀ ∈

3)

∀ ∈ :

E, () = -()/ = ( ∘ )()

()

La funzione è detta cambio di parametrizzazione ammissibile.

Osservazione

()

La funzione è anche iniettiva, quindi è biunivoca.

Infatti

) )

> 0 < 0

oppure ovunque, per teorema degli zeri (è continua e non si annulla mai)

Quindi è strettamente monotona, e di conseguenza è iniettiva.

Risulta ben definita la funzione inversa, continua poiché il reciproco di funzioni continue è continua:

1" "

: → ∈ ()

∀ ∈ :

Calcolo la derivata, 1

1" )

[ ()] = ≠0

()/

) 1"

-

∀ ∈ :

Quindi, 1" 1"

( )() ()/

() = ∘ = -

1

Perciò anche è un cambio di parametrizzazione ammissibile.

ESEMPIO

,

Le curve sono equivalenti?

,

[0,2]

: → ℝ () = [cos , sin ]

,

[0, ] (cos

: → ℝ () = 2 , sin 2)

(cos

() , sin ) = -cos-2()/ , sin-2()//

Dobbiamo cercare e trovare una tale che

"

= 2() → () =

Basta imporre che ,

[0,2] [0, ]

()

1) è biunivoca tra e

"

) ()

= ≠ 0

2) ,

Quindi le due curve sono equivalenti.

DEFINIZIONE

,

Due curve si dicono equivalenti con lo stesso verso (opposto) se sono equivalenti e hanno lo stesso

verso di percorrenza (opposto).

Osservazione ) )

> 0 < 0).

Le due curve sono equivalenti con lo stesso verso (opposto) se e solo se (

LUNGHEZZA DI UNA CURVA

!

[, ]

: → ℝ [, ]:

Sia una curva. Consideriamo una partizione di

= < < < ⋯ < < =

$ " , 21" 2

), ).

( … , (

A cui corrispondono i vari $ 2 ), ), ) ).

( ( , ( … , (

Posso considerare la spezzata di vertici

La lunghezza della spezzata è: 21" ) )|`

() = b`|( − (

#4" #

#/$

E approssima per difetto la lunghezza della curva.

Π ≔ {tutte

Introduco l’insieme le possibili spezzate della curva}

DEFINIZIONE !

[, ]

: → ℝ

Data una curva . Definiamo lunghezza di la quantità:

() = () >

∈

() < +∞,

Se la curva si dice rettificabile.

TEOREMA ! "

[, ] ])

([,

: → ℝ

Sia , con almeno .

Allora è rettificabile e vale la formula: ) ()|`

() = … `|

Osservazione

Due curve equivalenti hanno la stessa lunghezza.

ASCISSA CURVILINEA

!

[, ]

: → ℝ ∈ [, ],

Sia una curva regolare. Per ogni poniamo

: ) ()|`

() ≔ … `|

;

[, ]

: → [0, ],

Osserviamo che inoltre

) )

() ()|`

= `| > 0

- () [0, ]

- è suriettiva su

"

() ∈ ()

- per teorema fondamentale del calcolo integrale

Conseguenza

() è invertibile e possiamo porre 1" (),

() = ∀ ∈ [0, ]

[0, ]

: → [, ]

Grazie alla derivazione della funzione inversa 1 1

) ()

≔ = ≠0

()|

)

)

Š` -()/`Š

:/:(=)

∀ ∈ [0, ]

Introduciamo la seguente parametrizzazione,

() ≔ -()/

, sono parametrizzazioni equivalenti per costruzione.

Inoltre: ) ()

= ′() ∙ ′-()/ 1

) ) ) ) ) )

()|` () ()

`| = Š` ∙ -()/`Š = ∙ Š` -()/`Š = ∙ Š` -()/`Š

)

Š` -()/`Š

Quindi ) ()|`

`| = 1

Questo significa che ? ?

) ()|`

() = … `| = … 1 =

$ $

S è l’ascissa curvilinea/parametro d’arco

INTEGRALE CURVILINEO (O DI PRIMA SPECIE)

: ⊆ ℝ → ℝ

Sia una funzione di più variabili, cioè:

( , … , )

" !

[, ]

: = → ℝ

Sia tale per cui il sostegno di questa curva sia contenuto in A, cioè:

() ⊆

Consideriamo la funzione composta reale e di variabile