Corso zero Matematica - Parte 5

Cenni Teorici Trigonometria

La parte di matematica che si occupa del modo in cui vengono utilizzati gli angoli è detta goniometria; quando queste vengono applicate ai triangoli prende il nome di trigonometria.

Un angolo è l'intersezione di due semipiani, le parte interposte è quella vicino al vertice.

Rappresentiamo più angoli in una circonferenza.

Il punto d'incontro degli assi è l'origine e noi possiamo rappresentare gli angoli con vertice nell'origine, fissando un punto P così che gli angoli vengano rappresentati a partire da P.

P rappresenta l'angolo zero, partendo da P il verso positivo è antiorario.

1/360 dell'angolo più si chiama 1 grado.

Consideriamo un angolo d in una circonferenza che ha convenzionalmente raggio 1. Fissare un angolo equivale a fissare un punto della circonferenza goniometrica, quindi all'angolo d corrisponde sottraente l'arco PA.

Possiamo identificare l'angolo con l'arco. L'arco AP è una grandezza lineare cioè è omogenea ai segmenti. Abbiamo deciso di scegliere come unità di misura degli archi il raggio stesso. L'arco AP è un numero reale puro (adimensionale): r raggio. Queste sono le misure in radianti.

Nell'angolo retto il raggio quante volte entra? Se prendiamo una corda maggiore il rapporto entra 3 volte unità dell'esagono regolare inscritto ma passando le corde minori dell'arco stesso significa che l'arco entrere più di 3 volte dell'angolo piatto. Il rapporto fra la circonferenza e il raggio è π che vale un po' più di 3 cioè 3,14. AP / r = π

PT = tg Θ

tg Θ = ^{sen Θ}/_{cos Θ}

Le tangenti non è sempre definita. Non è definita per gli archi ^π/₂ e ^3π/₂ perchè in questi archi il prolungamento del raggio non incontra l'asse delle tangenti.

Θ ≠ ^π/₂ + 2kπ, ^3π/₂ + 2kπ possiamo dunque dire:

^{Θ ≠ π}/₂ + kπ

^π/₂ mezzo piano e così via

Le tg non è definita per questi valori!

L'asse delle tangenti è solo uno!

tg (^{Θ + π}/₄) = tg Θ

sen ⁵⁄₁₂ π = sen ^π⁄₄ cos ^π⁄₆ + cos ^π⁄₄ sen ^π⁄₆

= ^√ 3⁄₂ x ^√ 2⁄₂ + ^√ 2⁄₂ x ¹⁄₂

= ^√ 6⁄₄ + ^√ 2⁄₄ = ^{√ 6 + √ 2}⁄₄

Se volessimo fare la differenza dei due angoli ^π⁄₄ - ^π⁄₆ = ^π⁄₁₂

e il complementare di ⁵⁄₁₂ π = 75°, quindi posso anche

non applicare le formule perché si invertano seno e coseno.

sen ^π⁄₁₂ = cos ⁵⁄₁₂ π = ^{√ 6 - √ 2}⁄₄

cos ^π⁄₁₂ = sen ⁵⁄₁₂ π = ^{√ 6 + √ 2}⁄₄

(1 + tgx)² / (1 + tgx)(1 - tgx) = (1 + tgx) / (1 - tgx)

verificato

es. tgx = 2

x + ... x - 2 =

- si sepala all' espressione del primo membro dati potenze ... sottostante sepale e cosa ...

1 - tg²x

Supponiamo di avere:

cos 2x + cos 3x + cos 4x + cos 5x = 0

Ci vengono in auto le formule di Prostaferesi

2 cos ^7x / ₂ . cos ^3x / ₂ + 2 cos ^7x / ₂ . cos ^x / ₂ = 0

cos ^7x / ₂ (cos ^3x / ₂ + cos ^x / ₂) = 0

adesso bisogna risolvere singolarmente cos ^7x / ₂ = 0

⁷x / ₂ = π /2 + kπ => moltiplico per 2 e dividi per 7

x = π/7 + 2/7 (kπ)

Esempio Numero 1

sen x · cos x = 1

2t / 1 + t² · 1 - t² / 1 + t² = 0

14t² · 2t + 1 - t² - 1t² = 0 · 1 + t²

2t + x - t² - x - t² = 0

2t - 2t² = 0

x²t² - x / x

t² - t = 0 → t ( t-1 ) = 0

t=0 ⇒ tg x/2 = 0

x/2 = kπ

x = 2kπ

t=1 ⇒ tg x/2 = 1

x/2 = π/4 + kπ

x = π/2 + 2kπ

Quando la somma fra sen e cos del quadrile e 1, 0 e π/2

Mentre un'equazione algebrica ha di solito in un

numero finito di soluzioni, l'equazione

trigonometrica ha un numero infinito di soluzioni che

rappresenta in intervalli che possono anche essere

illimitati. Nelle disequazioni parametriche le soluzioni si

rappresentano in intervalli ma nelle circostanze

trigonometriche.

DISEG. ELEMENTARE

cos x

cos x > h

-1 < h ≤ 1

cos x < h

cos x = h

sen x > k

sen x < k

-1 < k < 1

sen x = k

Teorema di Carnot

Il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, diminuito del doppio prodotto dei due lati per il coseno dell'angolo compreso tra essi.

a² = b² + c² - 2 · b · c · cos α

b² = a² + c² - 2 · a · c · cos β

c² = a² + b² - 2 · a · b · cos γ

È un teorema che può essere applicato per tutti i triangoli compreso rettangolo ma per quello c'è già Pitagora.

1° Caso

Dati: a e α, β, γ

Applico il teorema dei seni

a / sin α = b / sin β

a / sin α = c / sin γ

b = a · sin β / sin α

c = a · sin γ / sin α