Corso zero matematica - Parte 4

SISTEMI DI EQUAZIONI A PIÙ VARIABILI

x, y (variabili)

• ax + by = c
• cx + dy = e

(Il sistema lineare che stiamo cercando le soluzioni comuni alle due equazioni)

Il sistema ha soluzioni?

Ci sono sistemi che non hanno soluzioni e si dicono IMPOSSIBILI.

ESEMPIO

• x + y = 1
• x + y = 2

IMPOSSIBILE

Hanno gli stessi coefficienti (1 + 1 e 1 + 1)

Perché sono due informazioni contraddittorie motivo per cui non posso proseguire...

ex + by = ce'x + b'y = c'

KRAMER

Dice che per risolvere questo sistema devo fornire un valore ad x e uno ad y.

x = ^{c     c'}/_{e    be'   b'}    , y = ^e   c/_{e   be'   b'}

Determinante del 2° ordine

Il numeratore deve mettere il determinante che si ottiene sostituendo alle colonne dei coefficienti delle x i termini noti.

vi scrivono in b determinato:termini noti e basso i coeff. delle x

^e    b_e'    b' = e b' - e' b

e b - e'b = 0 quando ^{e   >   b}_e'   b' cioè quando

Le coppie dei coefficienti della 1° eq devono essere proporzionati alle 2° eq. Allora non si può applicare Kramer perché i denominatori fanno zero quindi il sistema NON HA SOLUZIONI!!

Equazioni irrazionali

Introduzione

Se x ≥ 0

√_nz è quel numero reale > 0 tale che elevato ad n dà z

Esempi

• Se x ∈ ℝ

√x² = |x|

perché sappiamo che x è un numero reale ma non sappiamo se è positivo o negativo

√(x⁴y⁶) = x² |y³|

prendo in valore assoluto le y perché il cubo potrebbe ess. positivo o negativo non avendo alcuna informazione, mentre x² è un numero positivo non ha importanza che xè positivo o negativo

Se a, b > 0

È vero che √(a+b) = √a + √b?

NO!, FALSO!

(√(a+b))² = (√a + √b)²

a+b = a + b + 2√a√b

0 = 2√a√b

FALSA! (a,b>0)

ESMPIO NUMERICO 2

faccio il m.c.m. degli indici

per 3 e 2 il m.c.m. è 6, allora elevo ambi i membri alla sesta:

(³√x+9)⁶ = (²√3-x)⁶

Sto elevando ad una potenza pari quindi posso introdurre soluzioni strane:

Potremmo anche scrivere con... (x+9)^_1/3*6 = (3-x)^_1/2*6

(x+9)² = (3-x)³

Adesso è stato trasformato in equazione polinomiale o algebrica

x² + 18x + 81 = 27 - 27x + 8x² - x³

x³ - 8x² + 45x + 54 = 0

x = -1 è una soluzione

-1 - 8 + 45 + 54 = 0

0 = 0

√x²-x² < 2x ⇒ ¹⁄₅ < x < 1

ESERCIZIO 2

√x-1 > -3

indipendentemente dal fatto che le x di 2^o membro non

oppure posso risolvere in altro maniera

X - 1 > 0

le soluzioni sono tutti i numeri X > 1

-3 non dipende da x quindi una cosa negativa è

certamente minore di uno positivo

NON POSSO ELEVARE AL QUADRATO SE ENTRAMBI NON

SONO POSITIVI!!!

ESEMPIO 1

|x| > x+1

x+1 < 0

VERIFICATA

un numero non negativo è sempre maggiore di un numero negativo

x+1 > 0

x² > (x+1)²

x² > x² + 2x +1

2x < -1

x < -1/2

Il discorso è più complesso quando il valore assoluto anche al 2^o membro

ESEMPIO 3

|x-2| > 1

l'argomento del valore assoluto cambia segno in un intorno di 2, quindi definiamo 2 casi:

x = 2

0 > 1

FALSA

x > 2

x-2 > 1

x > 3

VERIFICATA

ESQUAZIONI E DISEQUAZIONI ESPONENZIALI

In questo caso l’incognita non è più la base ma l’esponente delle potenze.

Q>0

e^x = e² >= > x=2

x₁ >= x₂ m > m => q^m > q^m?

ESEMPIO 1

(1/5)³ > (1/5)² FALSO!

5^-3 > 5^-2 1/5³ moltiplico ambo i membri per 5³

1 > 5

ESEMPIO 2

2³ > 2²

8 > 4 VERI!

DISTINGUIAMO 2 CASI

q>1

• => l m > m
• => q^m > q^m

q=1

• => 1^m =1^m = 1

q<1

• => l m > m
• => q^m < q^m

funzione y= e^x è crescente

funzione y= e^x è decrescente

Esercizio 2

log₃ 7 + log₃ 9^1/2

non so quali sono questi numeri dunque applicando le proprietà ottengo:

log₃ 7 · 9^1/2 = log₃ 9 = 28

Equazioni e Disequazioni Logaritmiche

L'incognita x₁ presente nell'argomento del logaritmo.

Equazione di Base (Fondamentale)

^elog x = b =>

e > 0, e ≠ 1

Siccome x appare come argomento del logaritmo, dire ^elog x = b vuol dire che b è l'esponente da dare alla base per ottenere x.

=> x = e^b

Esempio Elementare

1. ²⁵log x = ¹⁄₁₂₅ => x = 25^1/25 = ²⁵√_√25

2. ²⁵log x = ^-1⁄₂ => x = 25^-1/2 = ¹⁄_25^1/2 = ¹⁄√₂₅ = ¹⁄₅