Corso zero matematica - Parte 4

SISTEMI DI EQUAZIONI A PIÙ VARIABILI

x, y (variabili)

{ ex + by = c ex + by = c

Il sistema indica che stiamo cercando le soluzioni comuni delle due equazioni.

Il sistema ha soluzioni? Ci sono sistemi che non hanno soluzioni e si dice allora IMPOSSIBILI.

ESEMPIO

{ x + y = 1 x + y = 2

IMPOSSIBILE Hanno gli stessi coefficienti (1 + 1 e 1 + 1)

Perché sono due informazioni contraddittorie motivo per cui non posso proseguire.

SISTEMI DI EQUAZIONI A PIU' VARIABILI

• x, y (variabili)

1. ex + by = c
2. ex + by = c

Il sistema ha soluzioni? Ci sono sistemi che non hanno soluzioni e si dicono IMPOSSIBILI.

ESEMPIO

1. x + y = 1
2. x + y = 2

IMPOSSIBILE - Hanno gli stessi coefficienti (1 + 1 e 1 + 1)

Perchè sono due informazioni contraddittorie motivo per cui non posso proseguire.

{ ex + by = c

ex + b’y = c’

KRAMER

Dice che per risolvere questo sistema devo fornire un

valore a x e uno ad y.

X =

|e, c

e’, c’|

---------------------------------------- , Y =

|e, b| |e, c|

|e’, b’| |e’, c’|

⬇

------------------------------------------

|e, b|

|e’, b’|

⬇

DETERMINANTE DEL 2° ORDINE

⎡

mettere il determinante che ⎣

si ottiene sostituendo a elle colonne

dei coefficienti delle x i termini noti!

⎡

invece in b

sostituisco

termini noti e lascio i coeff. delle x

|e, x b|

|e’, x b’| = e’b - e b’

e b - e’ b = 0 quando

--------------------------------

le coppie dei coeff. delle 2° eq devono essere

proporzionali alle 1° eq dalla pari non si può applicare

Keamer perchè i determinatori saranno zero quindi il sus non ha soluzioni!!

ESEMPIO 2

{x + y = 12x + 2y = 2​}{y = 1 - x​}

ogni valore di x avràun valore di y.

Si puòapplicare Kramer? Il determinante dei coeff.è ≠ 0?

|1 1||2 -2|= 2 - 2 = 0

NON SI PUÒ APPLICAREKRAMER

Infatti, se moltiplichiamo la 1^a equazione il 2^o membroper 2 ottieni: l'equivalente della 2^a equazioneviceversa se divido, per 2 la seconda ottieni la 1^a.

Quindi è come se dando le stesse informazioni per duevolte posso eliminare 1.

Chiedersi allora se questo sistema ammette soluzioni ecome chiedersi se una sola equazione ammette soluzioni.

SI, SONO INFINITE SOLUZIONI!

Se il determinante è ≠ 0 il sistema ha 1 solasoluzione. Se è = 0 puo' non ammettere soluzioni oaverne infinite.

Quando abbiamo più variabili che equazioni, probabilmenteil sistema ammette infinite soluzioni!

ESEMPIO

x + y - z = 1

2x + y + z = 0

De due equazioni posso ricavare due variabili: alle posizioni i coeff di x e y.

[1 1 -1][2 1 1]

1 - 2 = -1 ≠ 0

Questo sistema si può risolvere rispetto le variabili x e y e assumiamo z come parametro cioè come quantità libera di vincoli (nelle teorie dei sistemi si chiamate incognite libere) che portano al z centro perché non le considero più incognite ma un parametro.

x + y = 1 + z

2x + y = -z

Adesso posso risolverlo rispetto x e y.

x + y = 1 + z

2x + y = -z

x =

1 + z     1-z        1

=

x = \frac{1 + z - (-z)}{-1} = -1 + 2z

y =

1     1 + z2       -z

=-\frac{z - 2 (1 + z)}{-1} = -z - 2 - 2z=\frac{-3z -2}{-1} => y = 3z + 2

Le soluzioni sono le terne

(-1 - 2z, 2 + 3z, z) per ogni z ∈ ℝ

Ogni volta che assegno un valore a z, trovo una soluzione.

Sistema lineare significa di 1^o grado

Un sistema può essere illimitato o impossibile.

Un sistema che ammette una sola soluzione è detto determinato.

Fine

Sistemi di equazioni a piu variabili - Inizio eq. valore assoluto

Equazioni irrazionali

Introduzione

x ∈ ℝ ≥ 0

√_n x quel numero reale >0 tale che elevato ad n de x

Esempi

Se x ∈ ℝ

√x² = |x|

perché sappiamo che x è un numero reale ma non