Corso zero matematica - Parte 3

POLINOMI

x² + bx + c

TRINOMIO DI II^o GRADO

Scegliamo un insieme che sia sufficientemente ricco; in generale scegliamo i coefficienti e, b, c appartenenti a ∈ ℝ

e, b, c ∈ ℝ

Fatto ciò indichiamo con ℝ[x] l'insieme di tutti i polinomi nelle variabili x a coefficienti reali.

P(x) ∈ ℝ(x)

Preso un polinomio...

P(x) = e₀ + e₁x + ... + e_zx^z

somme di tre monomi, il grado del polinomio è vero grado z se il coefficiente e_z ≠ 0, cioè è la potenza massima delle variabile x

e ∈ ℝ ⇒ e ∈ ℝ [x]

Le costanti vengono interpretate all'interno di ℝ[x] come polinomi di grado zero.

0 ∈ ℝ [x]

POLINOMIO NULLO

Lo interpretiamo come il polinomio che ha coefficienti nulli in tutti i gradi.

POLINOMI

αx² + bx + c

TRINOMIO DI II^o GRADO

Scegliamo un insieme X che sia abbastanza ricco, in particolre

scegliamo i coefficienti α, b, c appartatenti ad ℝ:

α, b, c ∈ ℝ

Fatto ció, indichiamo con ℝ[x] l'insieme di tutti i polinomi

nelle variabili x a coefficienti reali.

P(x) ∈ ℝ(x) preso un polinomio...

P(x) = e₀ + e₁x + ... + e₂x²

Somma di tre monomi, il grado del polinomio

avrá grado 2 se il coefficiente e₂ ≠ 0, cioé é

la potenza massima della variabile x

e ∈ ℝ => q ∈ ℝ[x]

Le costanti vengono interpretate all'interno di ℝ[x]

come i polinomi di grado ZERO.

0 ∈ ℝ[x]

POLINOMIO NULLO

Lo interpretiamo come il polinomio che ha coefficienti

nulli in tutti i gradi.

P(x) + Q(x)

Sono due polinomi la cui somma è un polinomio

Ve lle fate raggruppando i termini simili

Cosa succede in R[x] rispetto all'operazione somma

Siccome esiste il polinomio nullo, esiste l'opposto di un polinomio:

• P(x) + Q(x)
• -P(x) = P(x) + (-P(x)) = 0

L'opposto di un polinomio è quel polinomio tale che sommato a P(x) mi dà un polinomio nullo.

Come si ottiene l'opposto di P(x)?

È quel polinomio che ha i coefficienti tutti opposti a quelli di P(x).

Es.

P(x) = c₀ + c₁x + ... + c_zx²

-P(x) = -c₀ - c₁x - ... - c_zx²

R[x] Rispetto All'operazione Differenza

p(x) - q(x) = p(x) + (-q(x))

Prodotto di Polinomi

p(x)= e₀ + e₁x + ... + e₂x²

q(x)= b₀ + b₁x + ... + b_Sx^S

p(x) * q(x) = e₀b₀ + (r₀b₁ + e₁b₀)x + ... + e₂b₂x^2S

Si moltiplica ciascun addendo del 1^o polinomio per tutti gli addendi del 2^o polinomio

Conviene guardare i gradi e sistemarli per gradi partendo dal termine noto

Se io considero un polinomio p(x) che sta in R[x], esiste un altro polinomio q(x) tale che p(x) * q(x) = 1?

p(x) ∈ q(x); p(x) * q(x) = 1?

NO! Infatti nessun polinomio è invertibile perché 1/x non è un polinomio.

Rimanendo in R[x] due polinomi non si possono dividere l'uno per l'altro.

p(x) : qd(x)

Per effettuare questo problema

polinomio

∃ q(x) ; p(x) = d(x) . q(x) + r(x)

tale che

purché il grado di r(x) < d(x)

Dato p(x), quali sono i polinomi q(x) che dividono

p(x). Tale che nella divisione ti debba resto zero?

ESEMPIO 1

x³ + 4 x² − 2 x + 1

0 − 4 x² − x + 1

0 − x + 5

Non è una divisione esatta (verificare resto)

quindi (x + 4) non è il quoto si chiama

con nel caso in cui il resto zit zero

ne il polinomio

REGOLA

Si inizia dividendo

il termine di grado

massimo del dividendo

per il termine

di grado max del

divisore, il risultato

lo si moltiplica per

il divisore, e si

dispongono ordinatam

i termini che si

ottengono cambiando

di segno.

ESEMPIO 2

P(x) = x³ - 3x² + x + 1

• Quali polinomi di 1^o grado dividono questo polinomio?
• (x - e) in quale ci divide il polinomio P(x), in R polinomio.

Quando il divisore è di 1^o grado si puo applicare la regola di RUFFINI!

(x - e) divide P(x) quando P(e) = 0

Ruffini ci dice che questo numero (e) fa posano essere dei divisori del termine noto:

P(1) = 1 - 3 + 1 + 1 = 0

Quindi: P(x) è divisibile per (x - 1).

REGOLE DI RUFFINI

P(x) = (x - 1) * (x² - 2x - 1)

P(x) ∈ ℝ[x]

Le ricerche delle radici x può fare per polinomi fino al grado 4 anche con procedimenti complicati, oltre il grado 4 non esiste alcuna formula risolutiva per trovare le radici.

ℝ[x,y]

INSIEMI DI POLINOMI CON PIÙ VARIABILI

Un polinomio è una somma di monomi nei quali contiamo potenze di x e potenze di y.

P(x,y) = e_o + a₁x + b₁y + ...

exy + by² + cx³

∈ ℝ[x,y]

sto dicendo che le variabili sono x e y e a, b, c sono i coefficienti che stanno in ℝ, se non lo scrivessi non saprei quali fossero variabili e coefficienti.

EQUAZIONI ALGEBRICHE

Un'equazione è un'uguaglianza tra due polinomi che non è sempre vera, ma è verificata solo per qualche valore delle variabile x.

p(x) = q(x)

ESEMPIO 1

(x - 2)² + 2x - 1 = x² - 2x + 3

x² - 4x + 4 + 2x - 1 = x² - 2x + 3

-4x + 2x + 2x = +3 - 3

0 = 0

Queste uguaglianze sono sempre vere qualsiasi sia il valore di x.

NON È UNA EQUAZIONE MA PRENDE IL NOME DI IDENTITÀ!

Esempio 2

(x - 2)² + 2x - 1 = x² - 2x

x² - 4x + 4 + 2x - 1 = x² - 2x

x² - 4x + 2x + x² + 2x = -3

0 = -3

3 = 0

È una uguaglianza impossibile!

È una supertante sempre falsa per ogni x!

Esempio 3

(x - 2)² + 2x - 1 = 3

x² - 4x + 4 + 2x - 1 = 3

x² - 2x + 3 = 3

x² - 2x = 0

È un'equazione!

Non è sempre vera. Ci sono valori di x che soddisfano e valori di x che non soddisfano!

Equazione di 1^o grado

ex = b e ≠ 0

= 1/e * b => x = b/e

Equazione di 2^o grado

ex² + bx + c = 0 e ≠ 0

x = [-b ± √Δ] / 2e Δ = b² - 4ec Discriminante del trinomio

1. Δ > 0 x₁ = [-b - √Δ] / 2e , x₂ = [-b + √Δ] / 2e
2. Δ = 0 x₁ = x₂ = -b / 2e

   quando x₁ = x₂, il trinomio è un Quadrato Perfetto e si può scrivere come:

   (x + b/2e)² = 0

   eliminiamo il quadrato perché facciamo il prodotto di due binomi uguali quindi le radici sono due ma coincidenti

   3)

   Δ < 0

   soluzioni non reali ma complesse

   le radici di un № negativo.

   RELAZIONE TRA LE RADICI x₁ e x₂ E I COEFFICIENTI

   e, b, c,

   ex²+bx+c=0

   x₁ = -b - √b²-4ec

   x₂ = -b + √b²-4ec

   x₁+x₂ = -b

   x₁x₂ = c

   e

   e

   Queste ci consentono di scomporre il trinomio:

   ex²+bx+c = e (x - x₁) (x - x₂)

   ex²+bx+c = ex² - e (x₁+x₂) x + e (x₁x₂)

   sostituendo otteniamo il trinomio di partenza

   DISEQUAZIONI ALGEBRICHE

   p(x) > q(x)

   polinomi

   trovare quei valori di x per cui queste sono vere

   ESEMPIO

   (x-2)² + 2x - 1 - (x² - 2x + 3) > 0

   0 > 0

   Non dipende dai valori che assume la x ma bensì dal segno, e così scritto >k⟩", sarebbe stato sempre vero qualunque valore assunto da x.

   Che si tratti di una vera disequazione oppure no lo capiamo solamente una volta "pulita".

   p(x) > q(x)

   p(x) + d(x) > p(x) + d(x)

   p(x), d(x) > q(x), d(x)

   d(x) ≠ 0

   d(x) > 0

   d(x) < 0

   equivale

   significa moltiplica per l'inverso

   cambio di segno <

   QUESTI PASSAGGI SERVONO A RIPULIRE LA DISEQUAZIONE!

   Una volta svolte troviamo una disequazione di questo tipo che dobbiamo risolvere:

   ρ(x) > 0

   Per risolvere dobbiamo prendere il grado. Dobbiamo isolare le x.

   1⁰ GRADO

   ex + b ≥ 0

   e ≠ 0

   ex ≥ -b

   1. se e > 0

   x ≥ -b/e

   2. se e < 0

   x ≤ -b/e

   2⁰ GRADO

   ex² + bx + c > 0

   e ≠ 0

   ex² + bx + c = 0 z = 2 scopre all'equazione secondo il teorema di Viète della radice.

   1. Δ < 0

   b² - 4ec < 0

   escluso = positivo

   ex² + bx + c ≠ 0

   In questo caso questo trinomio non si annulla mai, ha sempre il segno del primo coefficiente.

   2. Δ ≥ 0

   ex² + bx + c = e ( x - x₁ )²

   -x₁ = x₂ quindi mettiamoci il quadrato.

   In questo caso il trinomio ha il segno di e se x ≠ x₁, o =0 per x = x₁.

   3)

   Δ > 0   e > 0   ex²+bx+c ≥ 0

   e (x-x₁)(x-x₂) > 0

   • x-x₁ > 0
   • x-x₂ > 0

   oppure

   • x-x₂ < 0
   • x-x₁ < 0

   b < 0

   P(x) > 0

   P(x) grado > 2

   In caso di grado superiore al secondo il polinomio si deve poter spezzare in polinomi con grado < 2.

   ESERCIZIO

   x³ + 3x² - x - 3 > 0

   1) Dobbiamo trovare una radice per poter scomporre il grado.

   X = 1

   1 + 3 - 1 - 3 = 0

   2) Conoscendo una radice possiamo applicare Ruffini

   (x² + 4x + 3) (x - 1) > 0

   3) Per stabilire il segno del prodotto dato basta controllare il segno di ciascuno dei due fattori.

   (X-1) (X²+4X+3) > 0

   disce l'prado il tepo andato

   DOBBIAMO TROVARE LE SUE RADICI

   X² + 4X + 3 = 0

   X = ^{-4 ± √16 - 12}/₂

   -1

   -3

   X > 1

   -3 -1 1 3

   e -3,1, 1X il polonomio ee nero puille sono le radici.

   ESEMPIO 2

   X³-4X²+3X+2 > 0

   X = 1: 1 - 4 + 3 + 2 ≠ 0

   X = -1: -1 - 4 - 3 + 2 ≠ 0

   X = 2: 8 - 16 + 6 + 2 = 0

   le radici. xi trovano tre i divijoni del termine meto!! Quindi 1, -1, 2, -2

   RADICE INTERA TROVATA

   X > 2

   Possiamo usare le formule ridotte quando il coefficiente "b" è pari.

   X = - ^b/₂ ± √[^(b)/₂]² - ac

   X = 1 ± √2

   Il trinomio risulta positivo per X > 1 + √2 e 1 + √2 < X < 2

   Esempio 3

   x⁴ + 2x³ − x² − 2x > 0

   Si può scomporre in due modi differenti:

   1. (x² − 1) (x² + 2x) > 0
   2. (x² − x) (x² + 3x + 2) > 0

   1 DIAGRAMMA

   +                     −     +          −2    −1    0     1

   2 DIAGRAMMA

   +               −           +          −2    −1    0     1

   I diagrammi sono totalmente diversi, ma le soluzioni sono le stesse!

   Disequazione Fratta

   _P(x) ⁄ _φ(x) > 0

   Rapporto tra due polinomi

   Esempio 1

   x + 2 ⁄ 2x + 1 > x

   2x + 1 ≠ 0

   x ≠ ¹⁄₂

   Poniamo l'equazione esatta:

   x + 2 ⁄ 2x + 1 = x

   Facciamo il m.c.m. (Si può fare solo in caso di equazione!)

   x + 2 = 2x² + x

   x² - 1 = 0

   x + 2

   2x + 1

   è vera quando x ≠ -1/2

   quel polinomio è negativo (vedi *)

   Non posso esprimerlo nel disegno, ma sappiamo che il denominatore al variare di x cambia segno:

   • per x > -1/2 è positivo
   • per x < -1/2 è negativo

   x + 2

   x

   2x + 1 > 0

   Facciamo il m.c.m.

   x + 2 - 2x²

   Divido il num. per -2 (lo capì); maggiore di 0

   x² - 1

   2x + 1 < 0

   è equivalente a dire

   x² - 1 (2x + 1) < 0

   non può esistere in -1/2