Corso zero matematica - Parte 3

Polinomi

Trinomio di II° grado

Scegliamo un'insieme sufficientemente ricco, in generale scegliamo i coefficienti a,b,c appartenenti ai ⊂ IR e a,b,c ⊂ IR

Fatto ciò indichiamo con IR [x] i tutti i polinomi nelle variabili x a coefficienti ➍□.

\[P(x) ⊂ IR (x)\]

Preso un polinomio

\[P(x) = e_0 + e_1 x + \ldots + e_2 x^2\]

(somma di tre monomi) il grado del polinomio avrá grado z se il coefficiente e_2 ≠ 0; cost è la potenze massima delle variabile x

• \[e ⊂ IR ⇒ e ⊂ IR [x]\]

Le costanti vanno interpretate all'interno di IR [x] come a polinomi di grado zero.

• \[0 ⊂ IR [x]\]

Polinomio Nulla

Lo interpretano come il polinomio che ha cœfficiente nulla in tutti i gradi.

R(x) rispetto all'operazione somma

P(x) + Q(x)

Sono due polinomi la cui somma è un polinomio.

Ve potete raggruppando i termini simili

Cosa succede in R(x) rispetto all'operazione somma

Siccome esiste il polinomio nullo, esiste l'opposto di un polinomio

- P(x) = P(x) + (- P(x)) = 0

Fi opposto di un polinomio è quel polinomio tale che sommato e P(x) mi da un polinomio nullo.

Come si ottiene l'opposto di P(x) ?

È quel polinomio che ha i coefficienti tutti opposti e quelli di P(x)

es:

P(x) = a₀ + a₁x + ... + a₂x²

- P(x) = - a₀ - a₁x - ... - a₂x²

p(x) ∈ ℝ[x]

La ricerca delle radici x può fare per polinomi fino al grado 4 anche con procedimenti complessi oltre il grado 4 non esiste alcuna formula risolutiva per trovare le radici.

ℝ[x,y]

insiemi di polinomi con più variabili

Un polinomio è una somma di monomi, ciascuno dei quali contiene potenze di x e potenze di y.

P(x,y) = e₀ + a₁x + b₁y + ...

exy + by² + cx³

∈ ℝ[x,y]

sto dicendo che le variabili sono x, ye e, b, c sono i coefficienti che stanno in ℝ. Se non lo scrivessi non saprei quali fossero variabili e coefficienti.

DISEQUAZIONI ALGEBRICHE

P(x) > Q(x)

POLINOMI

ESEMPIO

(x - 2)² + 2x - 1 - (x² - 2x + 3) > 0

0 > 0

Non dipende dal valore che assume la x ma bensì dal segno, se avessi scritto >(K) sarebbe stato sempre vero qualunque valore assume la x.

Che si tratti di una vera disequazione appena la capiamo solamente una volta ripulite!

P(x) ≥ Q(x)

P(x) + D(x) ≥ Q(x) + D(x)

P(x) ∙ D(x) > Q(x) ∙ D(x)

• D(x) ≠ 0
• D(x) > 0
• D(x) < 0 CAMBIA DI SEGNO

QUesti passaggi servono a ripulire la disequazione!

X > 2

Potenze lineare

Potenze di 2^grado

Posiamo usare leformule ridotte quando ilcoefficiente "b" è pari.

X = -b/2 ± √(b/2)² - c

X = 1 ± √2

Per X > 1 + √2e 1 + √2 < X < 2

Il termine risulta positivo per X > 1 + √2 e X < 2