Teoria degli insiemi parte 1 ( corso zero matematica)

Teoria degli Insiemi

Indichiamo gli insiemi con delle lettere generiche A, B & lo rappresentiamo graficamente attraverso delle regioni del piano racchiuse da linee chiuse.

Q ∈ A

indica che un elemento sta in A

Q ∉ A

indica che un elemento non sta in A

Un insieme senza elementi si dice insieme vuoto

Ø (es. l'insieme dei triangoli con 5 lati, non esiste)

A ⊆ B

Un insieme A è contenuto in un insieme B

Ogni elemento dell'insieme A si trova nell'insieme B, si utilizza questo simbolo.

∀ x ∈ A ⇒ x ∈ B

per ogni elemento di A segue che A si trova in B.

Quindi A è sottoinsieme di B.

OPERAZIONI DI INTERSEZIONE

Se A e B sono insiemi,

A ∩ B = {x ∈ A | x ∈ B}

A intersezione B è formato da tutti gli elementi x che stanno sia in A che in B.

Le virgole si indica “e”

ma si dovrebbe mettere sopra, anziché le virgole

è formato da tutti gli

elementi che si trovano nella regione.

Calcolare:

(X\Y) ∪ (X\Z)

{X ≥ 7/2} ∪ {-√2 ≤ X ≤ 34}

Allora:

X \ (Y ∩ Z) e (X\Y) ∪ (X\Z) sono lo stesso insieme.

X \ (Y ∩ Z) = (X\Y) ∪ (X\Z)

1^a LEGGE DI DE MORGAN

X \ (Y ∪ Z) = (X\Y) ∩ (X \ Z)

2^a LEGGE DI DE MORGAN

f: ℝ → ℝ

f(x) = 1/x

non è una funzione perché non è vero che a ogni numero reale corrisponda un numero reale, se do zero alle x sappiamo che non esiste, o meglio non è consentito.

ℝ* = ℝ \ {0}

L'insieme di partenza si chiama DOMINIO e l'insieme dove le funzioni mandano si chiama CODOMINIO

[ f: A → B ]

DOMINIO CODOMINIO

ESEMPIO

f: ℝ* → ℝ

f(x) = 1/x

questa volta è una funzione, e ad ogni numero reale non nullo posso fare corrispondere un numero reale.

Quando si parla di funzioni reali, il dominio non è necessariamente tutto ℝ ma è un sottoinsieme di ℝ, in questo caso tutti i numeri reali salvo lo zero.