Corso zero Matematica completo

Teoria degli insiemi

Indichiamo gli insiemi con delle lettere generiche A, B e lo rappresentiamo graficamente attraverso delle regioni del piano racchiuse da una linea chiusa e i suoi elementi si possono pensare come dei punti interni in queste regioni.

Q ∈ A

indica che un elemento sta in A

Q ∉ A

indica che un elemento non sta in A

Un insieme senza elementi si dice insieme vuoto

Ø

es. l'insieme dei Triangoli con 5 lati, non esiste!

A ⊆ B

Un insieme A è contenuto in un insieme B

Ogni elemento dell'insieme A si trova nell'insieme B, si utilizzano questi simbolopi.

TEORIA DEGLI INSIEMI

Indichiamo gli insiemi con delle lettere generiche A, B e le rappresentiamo graficamente attraverso delle regioni del piano racchiuse da una linea chiusa e i suoi elementi si possono pensare come dei punti inseriti in queste regioni

x ∈ A indica che un elemento sta in A

x ∉ A indica che un elemento non sta in A

Un insieme senza elementi si dice INSIEME VUOTO Ø (es. l'insieme dei triangoli con 5 lati non esiste)

A ⊆ B Un insieme A è contenuto in un insieme B

Ogni elemento dell'insieme A si trova nell'insieme B, si utilizza questo simbolo.

∀ q ∈ A ⇒ q ∈ B

per ogni elemento di A segue che A si trova in B.

Quindi A è sottinsieme di B.

OPERAZIONI DI INTERSEZIONE

Se A e B sono insiemi,

A ∩ B = { x ∈ A , x ∈ B }

A intersezione B è formato da tutti gli elementi x che stanno sia in A che in B.

Le virgole si indica "e" ma si dovrebbe mettere sopra, anziché le virgole

è formato da tutti gli elementi che si trovano nella regione.

3)

OPERAZIONE DI UNIONE

A ∪ B = { x | x ∈ A oppure x ∈ B }

A unione di B formato da tutti gli elementi x tali che x appartiene ed A oppure x appartiene e B. Oppure vuol dire che x deve stare in A o in B o in entrambi.

L'unione serve rappresentata da tutti gli elementi che x trovano se in A che in B.

PROPRIETÀ FONDAMENTALI DI CUI GODONO QUESTE DUE OPERAZIONI:

1. A ∩ ∅ = ∅
2. A ∩ B = B ∩ A proprietà commutativa
3. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C proprietà associativa
4. A ∩ A = A
5. se B ⊆ A => B ∩ A = B

UNIONE

1. A ∪ ∅ = A
2. A ∪ B = B ∪ A _comm.
3. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) _ass.
4. A ∪ A = A
5. B ⊆ A ⇒ A ∪ B = A

OPERAZIONE DI DIFFERENZA

Se A e B sono insiemi

A ∖ B = { x ∈ A, x ∉ B }

A meno B è l'insieme formato dagli elementi x che si trovano in A ma non si trovano in B.

A ∖ B

B ∖ A

A ∖ B ≠ B ∖ A

Esempi

X = { x ∈ R | x > -√2 }

Insieme X formato da tutti i numeri reali tali che x siano > -√2.

Y = { x ∈ R | x < 7/2 }

Z = { x ∈ R | 3,4 < x < √17 }

Calcolare l'intersezione fra i tre insiemi:

X ∩ Y ∩ Z = { x ∈ R | 3,4 < x < 7/2 }

Rappresentato i numeri su una retta

Calcolare

X \ (Y ∩ Z) = { -√2 < x < 3,4 } ∪ { x > 7/2 }

Y ∩ Z = { 3,4 < x < 7/2 }

Calcolare:

(X \ Y) ∪ (X \ Z)

{ x > 7/2 } ∪ { -√2 ≤ x < 3.4 } ∪ { x > 7/17 }

Questi numeri sono già compresi in questi 2 quindi posso non scriverlo

Allora:

X \ (Y ∩ Z) e (X \ Y) ∪ (X \ Z) sono lo stesso insieme.

X \ (Y ∩ Z) = (X \ Y) ∪ (X \ Z)

1^a Legge di De Morgan

X \ (Y ∪ Z) = (X \ Y) ∩ (X \ Z)

2^a Legge di De Morgan

Problema

Supponiamo che gli iscritti al primo anno dei corsi di laurea in matematica in Sicilia sono 220 studenti.

Alla fine del primo anno il 70% degli studenti ha superato algebra. Il 40% ha superato analisi.

Il 20% ha superato entrambe le materie.

Quanti studenti non hanno superato né algebra né analisi?

Ho bisogno di sapere ciò che sta al di fuori dei due insiemi.

70% di 220 = (70 * 220) / 100 = 154 (Algebra)

40% di 220 = (40 * 220) / 100 = 88 (Analisi)

20% di 220 = (20 * 220) / 100 = 44 (Entrambe)

S \ (A ∪ B) = 220 - 198 = 22 (Studenti che non hanno superato nessuna delle due)

A ∪ B = 154 + 88 - 44 = 198

perché 44 trova posto sia in A che in B

Prodotto Cartesiano

Se A e B sono insiemi

A×B = { (e, b) | e ∈ A, b ∈ B }

Il prodotto cartesiano tra A e B è formato dalle coppie e, b tale che l'elemento piccolo e si trova nell'insieme A prende e l'elemento b piccolo si trova nell'insieme B prende.

Nelle coppie conta