Corso zero Matematica completo

TEORIA DEGLI INSIEMI

Indichiamo gli insiemi con delle lettere generiche A B & lo rappresentiamo graficamente attraverso delle figure del piano racchiuse da una linea chiusa & i suoi elementi si possono pensare come dei puntini inseriti in queste figure

Q ∈ A

indice che un elemento sta in A

Q ∉ A

indice che un elemento non sta in A

Un insieme senza elementi si dice INSIEME VUOTO

∅ (es. l'insieme dei triangoli con 5 lati, non esist.)

A ⊆ B

Un insieme A è contenuto in un insieme B

Ogni elemento dell'insieme A si trova nell'insieme B, si utilizza questa simbolog.

∀ x ∈ A ⇒ e ∈ B

per ogni elemento di A esiste che A si trova in B.

Quindi A è sottoinsieme di B.

OPERAZIONI DI INTERSEZIONE

Se A e B sono insiemi,

A ∩ B = { x ∈ A, x ∈ B }

A intersezione B è formato da tutti gli elementi x che stanno sia in A che in B.

Le virgole si indice "e" ma si dovrebbe mettere sopra, anziché le virgole.

è formato da tutti gli elementi che si trovano nella regione.

Calcolare:

(X \ Y) ∪ (X \ Z)

{ X > 7/2 } ∪ { -√2 ≤ X ≤ 3/4 }

Allora:

X \ (Y ∩ Z) e (X \ Y) ∪ (X \ Z)

sono lo stesso insieme.

X \ (Y ∩ Z) = (X \ Y) ∪ (X \ Z)

1^a LEGGE DI DE MORGAN

X \ (Y ∪ Z) = (X \ Y) ∩ (X \ Z)

2^a LEGGE DI DE MORGAN

f: ℝ → ℝ

f(x) = ¹/_x

non è una funzione perché non è vero che a ogni numero reale corrisponde un numero reale, se do zero alla x sappiamo che non esiste, o meglio non è consentito.

ℝ* = ℝ \ {0}

L'insieme di partenza si chiama DOMINIO e l'insieme dove le funzioni mandano si chiama CODOMINIO

(ESEMPIO)

f: A → B

DOMINIO CODOMINIO

f: ℝ* → ℝ

f(x) = ¹/_x

Questa volta è una funzione, e a ogni numero reale non nullo posso fare corrispondere un numero reale.

Quando si parla di funzioni reali, il dominio non è necessariamente tutto ℝ ma è un sottoinsieme di ℝ, in questo caso tutti i numeri reali salvo lo zero.

Fattorizzazione in fattori primi

2 è divisibile per 2

1750 | 2

875 | 5

175 | 5

35 | 5

7 | 7

1

non è divisibile per 3 perché sommando le cifre ottengo 20 che non è divisibile per 3

1750 = 2 · 5³ · 7

Chi ha più divisori?

1. Fattorizzo
2. Vedo quanti divisori ha ciascun numero primo e
3. Li moltiplico

Chi dei due ha più divisori?

n^primo

p → 2 divisori

p² → 3 divisori

(1, p, p²)

p^m → 1, p, p², p³, ..., p^m ha m+1 divisori

1750 = 2 · 5³ · 7

→ 2 div · 4 div · 2 div = 16 divisori

560 | 2

280 | 2

140 | 2

70 | 2

35 | 5

7 | 7

1

560 = 2⁴ · 5 · 7

→ 5 div · 2 div · 2 div = 20 divisori

560 ha più divisori di 1750

IL CAMPO DEI NUMERI RAZIONALI

INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI

RAPPRESENTATO DAI NUMERI FRATTI RAPPORTO TRA DUE NUMERI INTERI RELATIVI

³/₅ → ¹⁸/₃₀

Due frazioni si dicono uguali quando il prodotto in croce è uguale

3·30 = 18·5 => 90 = 90

^e/_b = ^c/_d

Quando e·d = c·b

^m/_m

m ≠ 0

Lo zero non ha l'inverso non esiste un numero che moltiplicato per zero mi dà 1!!

^e/_b = ^c·c/_b·c

Moltiplico num e den per uno stesso numero le frazioni si equivale

c·b·c = b·e·c

18/30 = 3/5

Entrambi sono divisibili per 6

26)

987 / 45 = 21,93

987 / 45

90

87

45

420

405

15

135

= 15

Ogni numero razionale è esprimibile sotto forma di un numero decimale che consiste in una parte intera una virgola ed una parte dopo la virgola finita o ad un certo momento diventa periodica ed è sempre un NUMERO RAZIONALE

COME TRASFORMARE IL NUMERO RAZIONALE DECIMALE IN FRAZIONE

1. 98,625 = 98625 = 789

   1000 = 8

Tanti zeri quante sono i numeri dopo le virgole

2. 30,8

   308-30

   278

   9

   - totale 9 quante sono le cifre periodiche

3. 21,9³ = 2193-219 = 987

   90 = 45

- tanti 9 quanti sono le cifre periodiche e tanti 0 quanti sono le cifra decimali.

Potenze

q^e = q² - esponente

q - base

q ≠ 0   ha l'inverso

(quel n° che moltiplicato ad esso dà q)

q¹ = q

q^-5 = ¹/_q⁵

q⁰ = 1

Proprietà delle potenze

1. q^m · q^m = q^m+m
2. (q^m)^m = q^m·m
3. (q^m)/(q^m) = q^m-m

Diseguaglianze

q^{m ≥} q^m

È vero che se   m > m   =>   q^m > q^m?

(Falso)

Esempio

q = ¹/₂   m = 3   m = 2

(¹/₂)³ > (¹/₂)²   =>  ¹/₈ ? > ¹/₄   =>   4 > 8

Dunque

Se   q > 1   ed   m > m   =>   q^m > q^m

Se   q < 1   ed   m > m   =>   q^m < q^m

P(x) + Q(x)

R[x] rispetta all'operazione somma

Sono due polinomi la cui somma è un polinomio.

Ve potte raggruppando i termini simili

Cosa succede in R[x] rispetto dell'operazione somma

Siccome esiste il polinomio nullo, esiste l'opposto di un polinomio?

P(x) + -P(x) = 0

L'opposto di un polinomio è quel polinomio tale che sommato e P(x) mi dà un polinomio nullo.

Come si ottiene l'opposto di P(x)?

È quel polinomio che ha i coefficienti tutti opposti a quelli di P(x)

Es:

• P(x) = a₀ + a₁x + ... + a_zx^z
• -P(x) = -a₀ - a₁x - ... - a_zx^z

EQUAZIONI ALGEBRICHE

Un'equazione è un uguaglianza tra due polinomi che non è sempre vera, ma è verificata solo per qualche valore delle variabili x.

P(x) = Q(x)

ESEMPIO 1

(x - 2)² + 2x + 1 = x² - 2x + 3

x² - 4x + 4 + 2x - 1 = x² - 2x + 3

stiamo eseguendo il 1^o membro al posto di x²

- 4x + 2x + 2x = + 3 - 3

0 = 0

Queste uguaglianze è sempre vera qualunque sia il valore di x.

NON È UNA EQUAZIONE MA PRENDE IL NOME DI IDENTITÀ!!