Corso zero matematica - p.2 (22 pagine, 2 parte)

Numeri Naturali

IN = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

Ogni numero ha il seguente ed ogni numero ha un suo precedente tranne lo zero.

Somma

1. a+b = b+a _commutativa
2. (a+b)+c = a+(b+c) _associativa
3. 0+a = a _{(lo zero è l'elemento neutro dell'addizione)}
4. Legge di cancellazione: a+b = c+b ⇒ a=c (b ≠ 0)

Prodotto

1. a·b = b·a _comm.
2. (a·b)·c = a·(b·c) _ass.
3. 1·a = a _{(l’uno è l'elemento neutro della moltip.)}
4. Proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma a·(b+c) = a·b + a·c
5. Legge dell’annullamento del prodotto: a·b=0 ⇒ a=0 oppure b=0

In IN _x c'è un ORDINAMENTO

∀ x, y ∈ IN

x ≤ y oppure y ≤ x

...

a ogni volta che prendo due elementi appartenenti ai numeri naturali devo poter dire quale dei due è minore o uguale al secondo

a < b in IN

significa che esiste un numero naturale h ∈ IN, che sommato ad a dà b, a + h = b

PRODOTTO

b divide a e (IN* = IN {0}), se esiste q ∈ IN*: b · q = a

(b | a quando questo segno legato dice

{ b è un divisore di a e a è un multiplo di b

ESEMPIO

6 | 18

6 · 3 = 18

5 | 7

5, 7 ∈ IN* non esiste nessun numero naturale che moltiplicato per 5 mi dà 7

MCD (1750, 1960) = 2 · 5 · 7 = 70

1750 = 2 · 5³ · 7

1960 = 2³ · 5 · 7²

fra i tanti divisori in comune che hanno questi due numeri 70 è il più piccolo dei divisori comuni

a, b ∈ ℕ⁺

Qual è il più piccolo dei multipli comuni?

infatti a è multiplo di a e di b

per qualsiasi numero naturale (escluso lo zero) ottengo sempre un multiplo.

a = p₁^α₁ ... p_β^α_β

b = p₁^β₁ … p_β^β_β

m.c.m (a, b) = p₁^t₁ p_β ...

t_i = massimo dei due esponenti {α_j, β_j}

m.c.m (1750, 1960) = 2³ · 5³ · 7²

1750 = 2 · 5³ · 7

1960 = 2³ · 5 · 7²

l' incognita ≠ 0.

_a/_{b         b}/_a

è sempre ≠ 0,     ha senso in quanto a ≠ 0

a e b sono l’ uno l’inverso dell’ altro

                                   _a/_b

_a/_b = _b/_a

TUTTE LE FRAZIONI      _a/₁            SI ABBREVIANO IN  a

DIVENTANDO UN INTERO RELATIVO.

                          _a/₁ = a

TUTTE LE EQUAZIONI DI 1° GRADO DI QUESTO TIPO

                                           _ax = b

Hanno soluzione in    Q

1m² = 2m²

Questa equazione non potrà mai esistere poiché da un

lato avrei il 2 con esponente pari e dall'altro il 2 con esponente

dispari.

Non esiste nessuna frazione che goda delle proprietà che

ha esibito il quoziente valga 2. Non possono esistere

i numeri necessari per esprimere le diagonali del quadrato!

CAMPO DEI NUMERI REALI

R permette di scrivere un numero decimale con

infinite cifre dopo le virgole e non periodiche

(è differente di Q in cui sono finiti o infinite

ma periodiche)

ESEMPI

33)

per il teorema fondamentale

questo non ha senso poiché tutti

i numeri vedi positivi: allora metto il (-) davanti

mettiamo da parte il teorema

m √e

ipoteziamo

e ∈ ℝ

esiste un numero reale, tale che elevato ed m dice e?

(tutto il fatto che sia positivo)

1. se e > 0 ed m è dispari:
   • ∃! m √e
2. se e > 0 ed m è pari:
   • ∃! ± m √e

es. +5 e -5 numero la elevato di quadrato danno 25

3. se e < 0 ed m è dispari:
   • ∃! - m √e
4. se e < 0 ed m è pari:
   • non ∃ alcun numero reale