Corso zero matematica - p.2 (22 pagine, 2 parte)

NUMERI NATURALI

IN = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

Ogni numero ha il seguente ed ogni numero ha un suo precedete tranne lo zero.

IN +

_SOMMA

1. a+b = b+a _COMMUTATIVA
2. (a+b)+c = a+(b+c) _ASSOCIATIVA
3. 0+a = a _{(lo zero è l’elemento neutro dell’addizione)}
4. LEGGE DI CANCELLAZIONE: a+b = c+b ⇒ a = c

PRODOTTO

1. a⋅b = b⋅a _COMM.
2. (a⋅b)⋅c = a⋅(b⋅c) _ASS.
3. 1⋅a = a _{(l’uno è l’elemento neutro della moltiplicazione)}
4. PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA DEL PRODOTTO RISPETTO ALLA SOMMA
5. a⋅(b+c) = a⋅b + a⋅c
6. LEGGE DELL’ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO
7. a⋅b = 0 ⇒ a = 0 oppure b = 0

NUMERI NATURALI

IN = { 0, 1, 2, 3, 4, ... }

Ogni numero ha il seguente ed ogni numero ha un suo precedente tranne lo zero.

IN +, ·

SOMMA

1. a+b = b+a _COMMUTATIVA
2. (a+b)+c = a+(b+c) _ASSOCIATIVA
3. 0+a = a _{(lo zero è l'elemento neutro dell'addizione)}
4. LEGGE DI CANCELLAZIONE ⇨ a+b = c+b ⇒ a=c ( b )

PRODOTTO

1. a·b = b·a _COMM.
2. (a·b)·c = a·(b·c) _ASS.
3. 1·a = a _{(l'uno è l'elemento neutro della moltiplicazione)}
4. PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA DEL PRODOTTO RISPETTO ALLA SOMMA
5. a·(b+c) = a·b + a·c
6. LEGGE DELL'ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO
7. a·b = 0 ⇒ a=0 oppure b=0

In ℕ c'è un ordinamento

somma

∀ x, y ∈ ℕ

x ≤ y oppure y ≤ x

... ogni volta che prendo due elementi appartenenti ai numeri naturali devo poter dire quale dei due è minore o quale el secondo

c ≤ b in ℕ

significa che ∃ un numero naturale h ∈ ℕ:

che sommato ad c dà b

c + h = b

prodotto

b divide e (ℕ* = ℕ \ {0}) se esiste

q ∈ ℕ* : b ⋅ q = e

quando b è un divisore di e

questo dice che e è un multiplo di b

esempio

6 | 18

6 ⋅ 3 = 18

5 | 7

5, 7 ∈ ℕ* non esiste nessun numero naturale

che moltiplicato per 5 mi dà 7.

e ∈ IN*

N de divisori?

1 e divisore di e, perché esiste un numero naturale che moltiplicato per 1 ci dà e cioè e ed e qualit únque (esso n/e-)

e e divisore di e esieste un nmero naturale che moltiplicato pè/ ci dà/e cioeil cioè 1

Queiquen numero naturale prendiamo e e se stesso sono divisori

12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12 DIVISORI

7 = 1, 7 DIVISORI

I numeri ammettono come divi sori soltanto 1 e se stesso si chiamano NUMERI PRIMI.

1 non é un numero primo perché s trato el sempre 1

TEOREMA: SI

Qualunque numero naturale si può costruire come prodotto

di numeri primi.

Fattorizzazione in fattori primi

è divisibile per 2

non è divisibile per 3 perché sommando le cifre ottengo 20 che non è divisibile per 3

1. Fattorizzo
2. Vedo quanti divisori ha ciascun numero primo
3. Li moltiplico

1750 = 2 · 5³ · 7

Chi dei due ha più divisori?

p^m = p₁ p² p³ ... p^m ha m + 1 divisori

1750 = 2 · 5³ · 7

2 div. · 4 div. · 2 div. = 16 divisori

560 = 2⁴ · 5 · 7

5 div. · 2 div. · 2 div. = 20 divisori

560 ha più divisori di 1750

e, b ∈ ℕ^* Sono finiti.

Chi è il più grande dei divisori

Un divisore in comune cè l’hanno

   a = p₁^m₁p₂^m₂p_t^m_tq₁⁰q_r⁰

   b = q₁^m₁q₂^m₂q₃^m₃p₁⁰p_t⁰

       posso

   moltiplicare per gli

   stessi numeri elevato allo

   zero che fa 1, in

   modo da avere gli stessi

   fattori per entrambi.

ESEMPIO

12, 20

   12 = 2²3¹5⁰

   20 = 2²5¹3⁰

M.C.D     (a, b) = p₁^h₁...p_t^h_t

a =  q₁ ... q₂

  = p₁ ... p_t

b =  p₁ ... p_βt

h_i  = è il più piccolo dei due esponenti che appaiono in {α_i, β_i}

MCD (1750, 1960) = 2 . 5 . 7 = 70

1750 = 2 . 5³ . 71960 = 2³ . 5 . 7²

fra i tanti divisori in comune che hanno questi due numeri 70 è il più grande dei divisori comuni.

e, b ∈ IN⁺

Qual è il più piccolo dei multipli comuni?Sono infiniti → e . b è multiplo di e e di b e se lo moltiplico per qualche numero naturale (escluso lo zero) ottengo sempre un multiplo.

e = p₁^α₁ . . . p₃^α₃b = p₁^β₁ . . . p₃^β₃

posso pensarlo uguali ma con esponenti differente per il teorema dell'aritmetica.

m.c.m (e, b)= p₁^γ₁ . . .t_j = massimo dei due esponenti {α_j, β_j}

m.c.m (1750, 1960) = 2³ . 5³ . 7²1750 = 2 . 5³ . 71960 = 2³ . 5 . 7

INSIEME DEGLI INTERI RELATIVI

Z = { 0, ±1, ±2, ±3 ... }

Definiamo le due operazioni +, .

Verifica le proprietà dei numeri naturali, ma si aggiunge:

∀ u ∈ Z ∃ ū ∈ Z t.c. u + ū = 0

Per ogni intero relativo esiste un intero relativo tale che quando li sommo u + ū ottengo lo zero.Per ogni numero intero relativo c'è il suo opposto(es. +7 - 7 = 0)

X +7 = 2 non ha soluzione in IN ma in Z sì

x + 7 (-7) = 2 (-7)x = -5

e, b ∈ Z

∃ h ∈ IN^* tale che e + h = b (le definizione e l'uso di IN)

RELAZIONE D'ORDINE TOTALE

Esempio

e, b ∈ ℤ

-1 ≤ e ≤ 7

3 < b ≤ 10

Qual è il più grande e il più piccolo valore che e-b può assumere?

↓

e + (-b)

↓

maxe - b ≤ 7 - 3

devo sottrarre il numero più piccolo al numero più grande

e - b ≤ 4

e - b < -1 - 10

e - b < -11

-11 < e - b ≤ 4

IL CAMPO DEI NUMERI RAZIONALI

INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI

RAPPRESENTATO DAI NUMERI FRATTI RAPPORTO TRA DUE NUMERI INTERI RELATIVI

³/₅ = ¹⁸/₃₀

due frazioni si dicono uguali quando il prodotto in croce è uguale

3 · 30 = 18 · 5 => 90 = 90

^e/_b = ^c/_d QUANDO e · d = c · b

^m/_m m ≠ 0

lo zero non ha l'inverso non esiste un numero che moltiplicato per zero mi dà 1!!

^e/_b = ^{e · c}/_{b · c} moltiplica num. e den. per uno stesso numero le frazioni è uguale

¹⁸/₃₀ = ³/₅ entrambi sono divisibili per 6

e · b · c = b · e · c

OPERAZIONE DI ADDIZIONE IN Q

1) ^a/_b + ^c/_d = ^{a·d + b·c}/_b·d

PRODOTTO

1) ^a/_b · ^c/_d = ^a·c/_b·d

25/12 + 30/18 evitare di risolverle così come l'operazione ci indice, cercare il m.c.m. dei denominatori

12 = 2²·3

18 = 2·3²

m.c.m = 2²·3² = 36

moltiplicando num e den per lo stesso numero non alteriamo le frazioni, dunque

Il 12 diventa 36 moltiplicando per 3, il 18 per 2

Quindi:

25/12 + 30/18 = ⁷⁵/₃₆ + ⁶⁰/₃₆ = ¹³⁵/₃₆ = ¹⁵/₄

Minimo comune denominatore

Tutte frazioni sono divisibili per 3

TUTTI I NUMERI, ESCLUSO LO ZERO, HANNO L'INVERSO!

O SONO INVERTIBILI

continua

è _marcate ≠0.

^e⁄_b

^b⁄_e

è sempre ≠0, ha senso in quanto e ≠0

e eb sono l’uno l’inverso dell’otto

^e⁄_b x ^b⁄_e = e.b⁄b.e

Tutte le frazioni ^e⁄₁ si abbreviano in e

Diventando un intero relativo.

^e⁄₁ = e

Tutte le equazioni di 1^o grado di questo tipo

ex = b

hanno soluzione in Q

Ordinamento

in Q

• -⁵/₇
• -¹⁰/₁₃
• -¹/₃₀

Quando il denominatore è negativo puoi moltiplicare ambi i numeri per -1

e colui del più grande degli altri due andato positivo

^-5/₇ < ^-10/₁₃ < ^-1/₃₀ ORD.|CORRETTO

^-50/₉ < ⁹¹ > multiplica ambi i numeri per -1 ottengo anche L'OPP'

Come definire l'ordine:

^a/_b ≤ ^c/_d ↔ e.d < b.c

c, b, d > 0

FORMA DECIMALE DEI NUMERI RAZIONALI

789₈

...interpreto questa frazione come la divisione...

789 : 8 = 98,625

...sono due modi di scrivere un numero razionale...

NO DECIMALE PERIODICO

278₉...

= 30,₈

...lo scrivo cosí...

278 : 9 = 30,88...

...ottengo sempre 8...

98745= 21,₉₃

Ogni numero razionale (...), come frazione è esprimibilesotto forma di un numero decimale che consiste inuna parte intera una virgola ed una parte dopole virgole finita o ad un certo momento diventa periodicaed è sempre un numero razionale

COME TRASFORMARE IL NUMERO RAZIONALE DECIMALE IN FRAZIONE

1. 98,625 = = 986257898tanti zeri quanti sono i numeri dopo la virgola
2. 30,₈
3. (numero - il peiodico) - il precedente cioè i numeri che precedono il periodo tanti 9 quanti sono le cifre periodiche
4. 21,₉₃ = 2193 - 21990 = 98745tanti 9 quanti sono le cifre periodichee tanti 0 quanti sono le cifre decimali.

X² = 1² + 1²

=> X² : 2

Dobbiamo trovare quel numero razionale (perché conosciamo questo insieme per il momento) che diviso il prodotto per 2.

X = ^m⁄_m

numeratore e denominatore sono primi fra di loro

M.C.D. ^m⁄_m = 1

FRAZIONE RIDOTTA AI MINIMI TERMINI

QUINDI:

^m2⁄_m² = 2

=> m² = 2m²

Il fattore 2 in m² che esponente ha?

supponiamo che

m² = 2^h

m² = 2^2h

quindi nel primo membro il fattore 2 ha esponente pari

Sul secondo membro

m = 2^tp_m

2m² = 2^2t+1

im² = 2m²

Questa equazione non potrà mai esistere perché da un lato avrei il 2 con esponente pari e dall'altro il 2 con esponente dispari.

Non esiste nessuna frazione che goda delle proprietà che avevamo elencato al quoziente volpe 2. Non possiamo utilizzare i numeri razionali per esprimere le diagonali del quadrato!

CAMPO DEI NUMERI REALI

ℝ - mi permette di scrivere un numero decimale con infinite cifre dopo la virgola e non periodiche (e differente di in cui erano finiti o infinite ma periodiche).

PROBLEMA

MEDIA ARITMETICA

Supponiamo che un ragazzo abbia superato degli esami e se nel prossimo esame prenderà 30 avrà la media del 27 e invece prenderà 20 avrà la media del 25.

M = TOTALITÀ DEGLI ESAMI SOSTENUTI INCLUSO QUELLO DA DARE

Q = LA SOMMA TOTALE DELLE VOTAZIONI OTTENUTE NEGLI ESAMI SOSTENUTI

^{Q + 30}/_m = 27

^{Q + 20}/_m = 25

• Q + 30 = 27m
• Q + 20 = 25m

SOTTRAIAMO QUESTE DUE EQUAZIONI

• Q + 30 - Q - 20 = 27m - 25m
• 10 = 2m
• M = 5

ESAMI SOSTENUTI

PROBLEMA 2

MEDIE PONDERATE

V_i sono 4 prove in itinere durante l'anno

1^a prova

2^a prova

3^a prova

4^a prova

(de pesi) 1

2

3

4

24

25

20

x?

Quanto deve prendere nella 4^a prova, affinché la sua media ponderata sia 25?

Una media ponderata è una media aritmetica in cui si dà più peso ad alcune prove rispetto ad altre.

COME SI FA LA MEDIA PONDERATA?

ELEMENTI e₁, e₂, ... e_p

PESO m₁, m₂, ... m_p

SOMMA DEI PRODOTTI DI OGNI SINGOLO ELEMENTO CON IL SUO CORRISPETTIVO PESO

MEDIA PONDERATA (PESATA) =

m₁.e₁ + m₂.e₂ + ... + m_p.e_p

m₁ + m₂ + ... m_p

SOMMA DEGLI ELEMENTI

MEDIA PONDERATA =

24 + 50 + 60 + 4x = 25

10

=>

134 + 4x = 25

10

=>

134 + 4x = 250

=>

4x = 116

x = 29

(lo studente dovrà prendere 29 per avere una media del 25)

IN UNA MEDIA ARITMETICA IL PESO (M) È UGUALE A 1

Potenze

q⋅q = q² q ≠ 0

qⁿ ha l'inverso¹⁄_q⁵ = q^-51⁄_q = q^-1

q = 1

(quel n che moltiplica col m si deve)

Non importa in quale insieme ci troviamo

Proprieta delle Potenze

• q^m ⋅ qⁿ = q^m+n
• (q^m)ⁿ = q^m⋅n
• q^m⁄_qⁿ = q^m-n

Disuguaglianze

q^m > qⁿè vero che se m > n = > q^m > qⁿ

Esempioq = ¹⁄₂ m = 3 n = 2

(¹⁄₂)³ > (¹⁄₂)² >¹⁄₈ >¹⁄₄

4 > 8

FalsoDunque!

• Se q > 1 ed m > n = > q^m > qⁿ
• Se q < 1 ed m > n = > q^m < qⁿ

Teorema Fondamentale dei Radicali

Se e è un numero reale >0 ed m un intero m >1 esiste un unico numero reale positivo g tale che quando g^m = e.

Esempio 1

⁵√7⁵ = 7

e è un numero reale tale che x lo elevo alla quinta potenza fa 7.

Esempio 2

x² = 2x = √2

e è un numero razionale. Che elevato al quadrato fanno 2, non c’è mai m!Ma esiste per il teorema un unico numero reale positivo che elevato al quadrato fa 2.

^m√e è un numero positivo, che quando lo elevo ad m mi da e.^m√e = e^1/m = (e^1/m)^m = ^m√e^m

ESEMPI

3^2*1 / 3^2*3 = 3^2-3 = 3^-1

3^1/2*1 / 3^1/2*3 = 3^1/2-3/2 = 3^-1

3^3/2*1/2 = 3^3*1/2 / 3^1/2 = 3^-1

^3√-8 = -^3√8

per il teorema fondamentale

ipotizziamo

E ∈ B^*

exist un numero reale tale che elevato ad m dia e?

√e

1) se e > 0 ed m è dispari: √e

2) se e > 0 ed m è pari: {2 √e}

es. +5 e -5

3) se e < 0 ed m è dispari: {@1 -√e}

4) se e < 0 ed m è pari: NON √ ALCUN NUMERO REALE