Matematica Finanziaria - Corso completo

INVESTIMENTO

operazione mediante la quale un operatore si priva di una sommatoria di capitale

al tempo t₀ e si riceve una sommatoria M (maturata) al tempo t₁.

C → M = rC

M - C = i

i=interesse

C → M

M/C = r (fattore di capitalizzazione)

i = iC

M = rC

assegnato un tasso di interesse

M = C + i

r = 1 + i

interesse generato dal capitale unitario

M > C ↔ I > 0 ↔ i > 0 ↔ r > 1

M = C ↔ I = 0 ↔ i = 0 ↔ r = 1

M < C ↔ I < 0 ↔ i < 0 ↔ r < 1

M = 0 ↔ I = -C ↔ i = -1 ↔ r = 0

ANTICIPAZIONI (SCONTO)

cedere un credito per ottenere un valore attuale.

valore attuale

valore attuale del capitale a scadenza unitario

K = P + D

K

P

fattore di attualizzazione

P = vK

D/K = d

tasso di sconto

D = dK

1 = v + d

0 < p < k → d < d < k ↔ 0 < d < 1 ↔ 0 < d < 1

p = k ↔ d = 0 → n = 1 ↔ d = 0

p = 0 ↔ d = k → n = 0 ↔ d = 1

B / A = r

A / B = ν

valore attuale di B investente di A

μ · ν = 1

• κ = 1 + i
• κ ν = 1
• 1 = ν + d

1 / r => 1 = ν · κ

tasso di rinato = tasso d'interesse anticipato

i = d / ν

i > d

d = ν i

i = r d

tasso di rinato = tasso di int. moltiplicato per il fattore di rinato

ö = d

d = i ν

tasso di rinato = tasso di int. rinato.

C = 2000   i = 0,08

M(1) = 2160

2000 →

0   0,3   0,08   0,8   1

2000 [1 + 0,08 · 0,3] = 2053,33

nell'interesse semplice l'interesse è 1/3 dell'interesse

alla fine dell'investimento

2053,33 [1 + 0,08 · 2/3] = 2162,84

circa di 2160

Considerazioni

È un mercato ideale, senza attriti.Nel tempo ottimo il decremento del montante anzitutto (infatti più capitaliche riducono maggiormente la rette) e delper l'intero (più tempo per far fruttare il montante).

montante finale:   C (1 + it)montante parziale:   C (1 + it)  

nuovo montante finale: C (1 + it) [1 + i (T - t)]

= C + C i (T - t) + Cit + C i² (T - t) == C + C i T - C i t + C i² t T - C i² t² =

d/dt   C + C i T + C i² t T - C i² t² = C i² T - 2 C i² t < 0

3) Perché non ripetere l'operazione?C (1 + i T/2) [1 + i (T - T/2)] == C (1 + i T/2)²

          T = T/2

momento migliore per lacapitalizzazione degli interessi(che in questo esempio conviene meglio)

₁/m

₁/m²

ln a^i_m = ¹/m log e

Quindi nel caso frazionale δ = 9.76% (i = 10,25%)

flusso di cassa

se essi si ripetono gli interessi che hanno

se il flusso viene poi

δ = log(1+i)

tra ₀, 1

flusso pagato

δ = e^{t i + i}

futuro di att

oltre che

risultato

quindi :

H(x) = C r(x) = C e ^{∫₀x δ(t) dt} → δ è costante

e ^{∫_t0x δ(t) dt} = ∫_t0^x δ(t) dt = e ^{∫₀x δ}

e ^δ(x) = e ^∆x

r(x) = (1 + i) = e ^dt

δ = log(1 + i) Solo nell'int. composto il tasso istantaneo è costante.

Solo se r(t_c) = derivabile si può trovare il tasso istantaneo

- ∫_a^b δ(t) dt = r(a, b) è implicita.

si nomina r(x) = r(c) e ^{∫₀x δ(t) dt}

• NOTA BENE :
• TASSO ISTANTANEO
• LEGGE SCINDIBILI
• TASSO NOMINALE
• TASSI EQUIVALENTI

RENDITA : Successioni di pagamenti.

In ogni scadenza c'è un pagamento (rate).

• CERTA : Quando è determinato in tutti i suoi elementi (date e pagamenti)
• ALEATORIA
• PERIODICA : Quando le rate si assegnano ad intervalli costanti
• APPLICABILE
• COSTANTE : Quando tutte le rate sono uguali
• NOMINALE
• TEMPORANEA : Durata limitata
• PERPETUA
• ANTICIPATA : il pagamento avviene all'inizio del periodo.
• POSTICIPATA

Scegliere un tempo di riferimento e un tasso di interesse si riportano le rate a quello istantaneo (VALUTAZIONE) → VALORE (valore attuariale) che diamo alle rendite.

2 istanti sono i più importanti : il tempo 0 (valore attuale delle rendite iniziale e il tempo finale.

- log_{25.000 - 1250} / 2500 = 14,2067

log (1,05) = 25000 * 1,05¹⁴ = 49.008,29

Si può avere avantui i 14 vers., unaal 15^o varr_à almeno fissi 2500.

Quanto varranno allora alla fine del14^o vers?

25.000 * 1,05¹⁴ = 49.008,29

14aⁱ1¹⁴ / R_attⁱ 48.896,58

Sottrarre il risultato delle ratenumerle (anche le capitalizzate esottrarre continuamente fissi i 14periodi).

50,174C’è che avanzo e non riesce a diminuire2500 alla fine di 15^o periodi.

Intervallo riposponmento:2500 /- 1,05¹⁴0,05 = 24743,60

Facciamo il valore attualedi rendita continua = 1 / d < E aⁱ

Sono diventati per esito un numero reale qualunqueè quindi pari e ripetta 14,2067 etc. e accettabile.

Il resultato di 1 euro rimesso con continuità nel corso dell’annoè subito restituto.

Ratare continue 1 / ^R 2500 = 24391,94

Ratare posticipate 1 / d+ (L) ratea numerale che conta nella il flusso¹ (L foggio di una ratea posticipatemese e voglio di una anticipata.25000,05)

Determinazione del tasso

A = R a_nili = R_1-(1+i)^-n / i

A = P ( nv+z+...+nv^m) _1/1+i

Terema di Cartesio (regola dei segni)

Il numero delle radici positive di un'equazione algebrica reale e munire $uguale al numero delle variazioni di segno nelle successioni degi coefficentidal numerazione e del numaratori

a x⁴ + b x³ + d x² + e x + f⁰ =^O

(a, b, c, d, e, f)

La differenza n⁹ è un numeo pari

sotto queste verità e verovariazioni di segno.x²-2x+1=02 variazioni2 soluzioni: 1, -1

3 anni

C = 8000

160 int. anticipati

7840 (1 + 0,025) = 8000 = 9,087...

20000 4,5% 5 anni ann. to francese

debito residuo alla fine del 3^o anno?

R = ^C/_0,04 ⁱ

R = ^{20'000 * 0,045}/_{1 - (1 + i)^-n}

R = ^{20'000 * 0,045}/_{1 - (1 + 0,045)^-5} = 4555,83

• 1 4355,83
• 2 " "
• 3 " "
• 4 " "
• 5 " " 0

4359,65 896,48

ricordiamo che C_fp è la quota capitale pagata

all'^th esimo anno.

C_(l+1) è il debito residuo all'^l anno.

C_n = ulteriore quota capitale

(C^(k-1)) = quota int.

C_n+l + C_n+i = C_n (1+i) = R

R nell'ann.to francese

il quanto dell'ulteriore

quota cap. deve essere

uguale al debito residuo alla

fine del penultimo anno.

C_n + R^N3 ulteriore quota capitale

R^N1

R^N2

R^N R - R^N R 0

R = C_f + C(^(l-1)) = C_ln+l + ( ^(l-1)_C) ^{C_l = caso specie}

C^(l) = C(^(k-1)) = C_l

R_l = C_n + (C(^l-1)C_l) i

C_ln = Ch^n+l - C_h i

C_h + C_n+i = C_n+1

C_ln (λ+i) = C_ln+1

R C_h = C_ln+1+ C_l

quindi

C_n-1 = R^N2

C_n-2 = R^N3

C_h = C_h+1 R

la commutativa (sans episorder)

R (l) (+ + ) C_k+1