Corso di recupero Analisi 1

9 luglio 2018 Lezione 1

Estremo superiore ed inferiore

Topologia insiemistica dato un insieme vi avranno regole e assiomi (vedere.)

ℝ ⊃ ℚ ⊃ ℤ ⊃ ℕ

Proprietà (sfruttate negli esercizi)

ℕ va giustificato la provenienza:

ℤ: è sotto insieme che sembra più grande di ℕ ma ha corrispondenza biunivoca tra ℕ e ℤ

Tutti gli interi sono associabili

ℤ è insieme numerabile

ℚ ⟶ ℕ numero più grande di ℕ ma c'è ancora corrisp.

biunivoca.

ℚ è numerabile

L'insieme ℤ è discreto: posso sempre considerare 2 interi (consecutivi) tra cui non si hanno altri interi

∀ a ∈ ℤ b ∈ ℤ / ∃ c ∉ ℤ pur con a << c << b

ℚ non è discreto! Insieme denso: intermedio tra continui e

discreti. Analiticamente nego la proprietà di essere associato

∀ a,b ∈ ℚ (a+b) / 2 ∃ c ∈ ℚ / a << c << b

ciò non implica l'essere continuo.

denso ma non continuo!

non numerabile non razionale

proiezione non rappresentabile razionale

Viene usato un nuovo insieme irrazionale

ℚ |⟶ ℝ unione tra razionali e ℚ

sono insiemi adiacenti!

Dimostrare che

ℝ è denso

Denso: ∀a0 ∃c...

9 luglio 2018 Lezione 1

ESTREMO SUPERIORE ED INFERIORE TOPOLOGIA INSIEMISTICA

Dato un insieme N avranno regole e assiomi (vedere.)

R ⊃ Q ⊇ Z ⊃ N

Proprietà (sfruttate negli esercizi)

N va giustificato la provenienza:

Z: è sottoinsieme che contiene più grande di N ma ha corrispondenza biunivoca tra N e Z Tutti gli interi sono associabili Z = insieme numerabile

Q ⊃ N numero è più grande di N ma c’è ancora corr. risp. biunivoca. Q è numerabile

L’insieme Z è discreto: posso sempre considerare 2 interi (consecutivi) tra cui non ci saranno altri interi ∀ a ∈ Z ∃ b ∈ Z, ∃ c ∈ Z con a < c < b

Q non è discreto! Insieme denso: intermedio tra continuo e discreti. Analiticamente nego ea proprietà di essere associato.

∀ a, b ∈ Q (a+b) ∃ c ∈ Q / a < c < b

ciò non implica l’essere continuo.

Viene usato un nuovo insieme irrazionale

QUI → IR unione tra razionali e Q sono insieme aggiunti! Dimostrabile che I è denso

Q ed R sono due cerchie in R.

Q ₂, Π ₂ densi in R ma lavorando solo in Q, devo passaread R

∀a, b ∈ R (a ≠ b) ∃ c ∈ Q/a < c < b(quindi la densitá viene conservata anche ampliando il dominio

TRA DUE RAZIONALI ESISTONO P LORO INTERMEDI! 1 RAZIONALE

a • • • • ^εR • • • • b ➝ SE NE CADE UNO, ALLORA NE CADONO DUE ↓

ESTREMO:

superiore: vocabolario di maggiorani

Proposto A ⊂ R

definizione: M ∈ R è detto maggioran0 di A se∀ x ∈ A, M ≥ x con x generico elemento di A

definizione: m ∈ R è detto minoran0 di A se∀ x ∈ A, m ≤ x con x generico elemento di A.

A limitato superiormente se ∃ minorani ni

A limitato superiormente se ∃ maggiorani

A limitato inferiormente se ∃ minoraniA limitato inferiormente se ∃ minorani

ESTREMO SUPERIORE:

⊂ R e pure per DUE [limitato superiormente [(ado Maggioran.]]

individuabile 1x minimo maggiorante!

definizione: Δ ∈ R è estremo superiore ∩ [(Δ ^sup A)⟺ ∀ Δ > ∀ x ∈ A [out._ di maggior]

∀ε > 0 ∃ x ∈ A | x > Δ - ε

(Stesso per estremo inferiore)

NO

k R

-ε _anotativoξ è piccolo grazzie

DENSITÁ

MAX ASSOLUTO: estremo superiore ma compreso nell'insieme A.

definizione: M ∈ ℝ è massimo assoluto di A (∃! = max A)

• ∀ x ∈ A e ∃ maggiorante
• M ∈ A

max ⟶ sup ma sup ⟶ max NO

Inferiore lun. inferenza

definizione: m ∈ ℝ ridice estremo inferiore di A (∃: = inf A)

• ∃ x ∈ A / x ∊ A
• ∀ ε > 0, ∃ x ∈ A / x < a + ε

definizione minimo assoluto: m ∈ ℝ e' minimo assoluto di A

• (m = minA) se
• m ∈ A, ∀ x ∈ A
• m ∈ A

PROPRIETÀ: ASSIOMA DI ORD DI COMPLETEZZA (solo per ℝ)

ogni sottoinsieme dei reali lun. sup o inferiore (o dei natur.)

e non vuoto, ammette estremo superiore e/o estremo

inferiore.

ESERCIZIO TEORICO:

N ⊂ ℝ (naturali e reali) e' illimitato