Corso di recupero Analisi 1

9 luglio 2018 Lezione 1

Estremo superiore ed inferiore Topologia insiemisticaDato un insieme di avanno regole e assiomi (vedere.)

R > Q ≥ Z > N

Proprietà (Sfruttabile negli esercizi)

N va giustificato la provenienza.Z: è sottoinsieme che include piu grande di N ma hacorrispondenza biunivoca tra N e ZTutti gli interi sono associabili

• Z è insieme numerabile

Q → N numero + grande di N ma cè ancora corrisp.va biunivoca.Q è numerabile

L’insieme Z è discreto; possono comunque considerare 2.(intervalli consecutivi tra cui non ci saranno altri interi

• ∀ a ∈ Z b ∈ Z, ∃ c ∈ Z per cui a < c < b

Q non è discreto! Insieme denso: intermedio tra continui ediscreti: Analiticamente nego ea proprietà di essere a un altro

• ∀ a, b ∈ Q (a+b) ∃ c ∈ Q / a < c < b

ciò non implica l’essere continuo.

Viene usato un nuovo numeri irrazionali

QUI → RI unione tra razionali e Qsono numeri aggiunti!Dimostrazione cheI È denso

• Denso: ∀a 0

  n (n+1)

  n^(1/n) > Θ ∀ n ∈ N. Sempre verificata perchè

  11 min. delle cose

  Interi positivi:

  Ciò indica che la regola supposta prima vale all'infinito!

  Θ = min A

  Esr. Superiore

  è una successione divergente diretta. Crescente

  Dimostrarlo usando limiti.

  A ∪ il superiore lim (n^(1/n) - 1) = ±∞

  ⁿn + k + 0

  E il numer. ∀ K > 0 ∃ n ∈ N / 1/n > K ma e l'esercizio x

  (K arbitrariamente grande) usando la diversità e

  la divergenza della serie.

  n² k n - 1

  modulo: parabola

  n

  K + √(k² + q)

  2

  vero per numeri x_e e _xr

  y = f(x) = (x^-1/2)^3/4 (Θ,+∞) = D_f

  lim_{x→0⁺ f(x) (è funzione composta) = → Θ⁺ (tende a 0 dall'alto)}

  lim_{x→0^- f(x) = → Θ^- (dal basso)}

  f'(x) = (x ^-3/4)(2x^-3/2 ln 2 - (1/x))

  studiare il segno: (>0 ; <Θ ; <Θ)

  intervallo positivo → crescente

  chi sono quindi estremo superiore e inferiore?

  • sup A: (1) = max A
  • inf A: (1/2) = min A

  ESERCIZIO

  TROVARE ESTREMI SE ESISTONO

  A = {x ∈ ℝ / x = (-1)ⁿ * n / n² + 1} ∀ n ∈ ℕ

  • m = 1 → x_m = (- 1/3)
  • m = 2 → x_m = (+ 2/5)
  • m = 3 → x_m = (- 3/7)
  • Etc...

  Considero A pari ed A dispari! Spero per semplificare.

  Si ha una sequenza a segno alterno.

  A= B ∪ C

  • B negativi ← m dispari m = 2K - 1
  • C positivi ← n pari n = 2a

  C = {x ∈ ℝ / 2n / 4n + 1} ∀ n ∈ ℕ

  B = {x ∈ ℝ / - 2K - 1 / 4K - 1} ∀ n ∈ ℕ

  Per l’estremo superiore cerco in C perché ha elementi naturalmente maggiori

  Per l’estremo inferiore è in B (perché è decrescente)

  DIMOSTRARE A CASA

  sup A = 1/2 ← su C

  inf A = -1/2 ← su B

  ESERCIZIO: dimostrare che

  1² + 2² + ... + n² = ∑ K² ∀n∈N

  forma aperta

  HP 1) n = 1: 1 = 1

  2) ∑ K² = (n+1)(n+2)(2n+3) / 6

  TH la forma aperta permette di usare l'ipotesi induttiva

  = n(n+1)(2n+1) / 6 + (n₂)² è una forma chiusa.

  Fare a casa: dimostrare che ∑ K³ - n²(n+1)² / 4

  ESERCIZIO: sia x un numero ≥-1 ∀n∈N vale che (1+x)ⁿ ≥ 1+nx

  1) n = 1 → 1+x ≥ 1+X

  2) (1+x)^m+1 [1+(n+1)x sfrutto proprietà delle potenze]

  y(1+x) m,+(1+x) e sfrutto l'ipotesi induttiva

  > 1+mx

  (1+x) ma: la costante può essere negativa o positivanell'induttivo nel sommare la costanza negativa è positiva

  risulta →1+(n+1)x

  13 luglio 2018 Lezione 5

  f : D_f M ∈ ℝ è maggiorante di _f

  ∀y ∈ C_f ℝ Vuol dire che ∀y ∈ C_f M > y (già nota)

  ma non compare e quindi si ha un'alternativa:

  ∀x ∈ D_f M = f(x)

  m è minorante f ∀x ∈ D_f m < f(x)

  definizione: f è limitata superiormente se ammette M "limitata inferiormente, minorante"

  Λ∈ℝ (sup f) x ∈ Λ ⇔ f(x) < Λ ∀x ∈ D_f

  1. ∀ɛ>0 ∃y ∈ C_f y > Λ-ɛ
  2. ∀ɛ>0 ∃x ∈ D_f f(x) > Λ-ɛ ← ɛ UNICO!

  MASSIMO ASSOLUTO M ∈ ℝ (max f) se

  1. M > f(x) ∀x ∈ D_f
  2. ∃!x_m ∈ D_f f(x_m) = M (indica l'appartenenza al codominio)

  MINIMO ASSOLUTO

  λ ∈ ℝ (inf A) se

  1. λ < f(x)
  2. ∀ɛ>0 ∃x ∈ D_f f(x) < λ+ɛ

  codominio f continua: [m, M]

  Potenze esponente razionale

  f: [0, +∞] → [0, +∞]

  x^r y=f(x)=x^r

  r > 1

  0 < r < 1

  r= ⁿ/_m

  • x^1/3 # √x attenzione!!

  Non vale il viceversa!

  • x^n/m = √ⁿ_m

  Non vale per x < 0 perché

  -3³=-√-27 ok √-x = √x forse vero per xcc: per valori x < 0

  -(-2)^4 5 -√(-2)^4 il negativo div a =3

  ma è un assurdo.

  f^-1: [0, +∞] → [0, +∞]

  y ↦ x = f^-1(y) = y^1/n