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ANALISI I
LOGICA
A ⇒ B
IMPLICAZIONE
- Se A, allora B
- A è condizione SUFFICIENTE per B
- B è condizione NECESSARIA per A
A ≠ B ⇒ A
CONTRO-NOMINALE:
- non B ⇒ non A
BI-IMPLICAZIONE:
A ⇔ B
- A se e solo se B
- A è condizione NECESSARIA e SUFFICIENTE per B
Si scrive SE e SOLO SE
PREDICATI
- enunciati che dipendono da variabili libere di variare in un insieme o determinate a priori
QUANTIFICATORI:
- ∀x per ogni x
- ∃x esiste x
A(x,y) = x < y
X = {2,4,6,8,...}
- ∀x ∈ X ∀y ∈ X A(x,y) → FALSA
- ∀x ∈ X ∃y ∈ X A(x,y) → VERA
- ∃x ∈ X ∀y ∈ X A(x,y) → FALSA (x = x)
- ∃x ∈ X ∃y ∈ X A(x,y) → VERO
INSIEMI NUMERICI
N = {0, 1, 2, ...} naturali
Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} relativi
Q = {m⁄m, m ∈ Z, m ≠ 0} razionali
→ rappresentazione decimale
limitata
periodica
Densità dei numeri ℚ: ∀ x, y ∈ ℚ con x ≠ y ∃ z ∈ ℚ / x < z < y
L’ sembra che esaminano la retta ℬIN ℝO
Per coprire la retta: ℝ = {?} reali → rappresentazione decimale
arbitraria → successione di n° decimali
sensa periodicità
Teorema:
√2 ∈ ℚ / x² = 2
⟹ √2 ∉ ℚ
Dim per assurdo: Supp che ∃ x ∈ ℚ / x² = 2
Allora x = m⁄m dove m, m ∈ N, m, m ≠ 0
Supp che la frazione sia ridotta ai minimi termini
↳ m e m non hanno fattori comuni
Poiché x² = 2 = m²⁄m² ⟹ m² = 2m² ⟹ nu2 è pari
Allora m = 2k con k ∈ N, da cui
- 4k² = 2m²
- m² = 2k²
- m² è pari
- m è pari
- ◻ Non è possibile perché
- m e m non dovrebbero avere fattori comuni
f(x) = √x = x1/n, n pari
Dominio di f: [0, +∞)
Immagine di f: [0, +∞)
f crescente su [0, +∞)
limx→+∞ f(x) = +∞
f è l’inversa della restrizione di xn (n pari) a [0, +∞)
Funzioni esponenziali e logaritmiche
Studio delle funzioni ax e loga x per a > 0, a ≠ 1.
f(x) = ax, a > 1
Dominio di f: ℝ
Immagine di f: (0,+∞)
f crescente su ℝ
limx→−∞ f(x) = 0; limx→+∞ f(x) = +∞
f(x) = cos x
Grafico di cos(x)
Dominio di f: ℝ
Immagine di f: [-1, 1]
f periodica di periodo 2π: f(x + 2π) = f(x), per ogni x ∈ ℝ
limx→±∞ f(x) non esiste
f pari su ℝ: f(-x) = f(x), per ogni x ∈ ℝ
13
Binomio di Newton
Fattoriale = moltiplico m per tutti i suoi precedenti (m ∈ ℕ)
M = numero di disposizioni di n oggetti in m postiM! = m ⋅ (m - 1) ⋅ (m - 2) ⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 1
1! = 10! = 1
Definiamo Ckm = M!⁄k! (m - k)!
Combinazione di m oggetti distribuiti in gruppi di k
Numero di sottoinsiemi con k elementi di un insieme di m elementi
Proprietà: simmetria
C0m = 1 C1m = m Ckm = Cm-km
Ckm = (m - 1)Ck-1 + (m - 1)CkVerifica:
(m - 1)!⁄(k - 1)!>+(m - 1)!⁄(k - 1)! =
(m - 1)! ⋅ k + (m - 1)! ⋅ (k + m - k)⁄k! (m - k)!
Teorema
(a + b)m = ∑k=0M CkM am-kbk = C0M amb0 + ... +CMM a0bm
= am + mam-1b + ... + mabm-ab + bm
FORMA ESPONENZIALE
eiθ = cosθ + isinθ
z = ρeiθ
Abbiamo che z1 · z2 = ρ1eiθ1 · ρ2eiθ2 = ρ1ρ2 ei(θ1 + θ2)
z-1 = ρ-1e-iθ
z = ρeiθ
1/z = 1/z · z/z̅ = 1/|z|2 = ρ-1e-iθ
z2 = ρ2eiθ2
Esercizio
z = √3 + i ; z5 = ?
ρ = √3 + 2 => θ = π/6
z = 2 (cos π/6 + isin π/6) = 2eiπ/6
(= 2ei5/6π)
RADICI n-esime COMPLESSE
Dato n ∈ ℕ, m ≥ 1 e w ∈ ℂ → studio zm = w , z ∈ ℂ
Scrivo z = ρeiθ e w = xeiφ
ρm = x
zm = ei(mθ)
mθ = φ + 2kπ k ∈ ℤ
ρ = m√x ; θ = φ + 2kπ/m
Quindi: ogni numero complesso (non nullo) ha esattamente n distinte radici in ℂ e sono disposte ai vertici di un n-gono regolare.
2)
xo∈ℝ, ℓ = +∞
lim f(x) = +∞ ↔ ∀M>0 ∃δ>0 / |x-xo|M
x→xo
|x∈If(xo) β(x)∈In(+∞)
La retta x = xo è ASINTOTO VERTICALE
3)
xo=+∞, ℓ∈ℝ
lim f(x)=ℓ ↔ ∀ε>0 ∃k>0 / x>k ⇒ |β(x)-ℓ|0 ∃k>0 / x 0 ∀ x ∈ I(xo) \ {xo} ⇒ limx → xo f(x) > 0
Dim: Per assurdo, se l = limx → xo f(x) < 0
⇒ dal teo precedente ∃ J(xo) / f(x) < 0 ∀ x ∈ J(xo) \ {xo}
Quindi x ∈ (I(xo) ∩ J(xo)) \ {xo}
Oss. Se f(x) > 0 su un I(xo) non posso concludere che valga
limx → xo f(x) > 0
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