Corso di Analisi 1

ANALISI

LOGICA MATEMATICA

La matematica NON è una SCIENZA SPERIMENTALE.

A differenza dalle altre scienze, dunque, si basa su un concetto diverso di VERITÀ.

In matematica occorre DIMOSTRARE le proposizioni.

DIMOSTRARE significa eseguire un RAGIONAMENTO LOGICO-DEDUTTIVO

partendo da alcune premesse dette IPOTESI parto a alle conclusioni dette TESI.

rog.

• IPOTESI TESI
• logor deduttivo

La LOGICA MATEMATICA studia le regole di tale ragionamento.

Occorre però adottare un LINGUAGGIO UNIVOCO che non dia adito ad interpreta

zioni ambigue.

ES:

"Per due punti di un piano possiamo condurre una retta."

• UN ➔ UN ARBITRARIO
• UNA ➔ ALMENO UNA (I punti possono coincidere.)
• ➔ ESATTAMENTE UNA (Se i punti sono distinti.)
• POSSIAMO CONDURRE insinua che è possibile avere due più non decolo.
• Si formulino dunque le proposizioni invararoli matemate.

"Per OGNI plous setto ARBITRARIAMENTE + PER OGNI coppia di punti appart

menti al plous ESISTE ALMENO una retta che li ei COMMUNE"

Euclides Taylor Ceveu Porto

ANALISI

LOGICA MATEMATICA

Le matematica NON È una SCIENZA SPERIMENTALE

A differenza dalle altre scienze, dunque, si basa su un concetto diverso di VERITÀ

In matematica occorre DIMOSTRARE le proposizioni.

DIMOSTRARE significa eseguire un RAGIONAMENTO LOGICO-DEDUTTIVO che partendo da una premessa atte IPOTESI porta a una conclusioni atte TESI.

log.

IPOTESI TESI

rag. deduttivo

La LOGICA MATEMATICA studia a scopo di tali ragionamento.

Occorre però adottare un LINGUAGGIO UNIVOCO e un modo adatto ad interpretazioni ambigue.

ES.

"Per due punti di un piano possiamo condurre una retta."

• UN → UN ARBITRARIO
• UNA → ALMENO UNA (I punti possono coincidere)
• → ESATTAMENTE UNA (Se i punti sono distinti)

POSSIAMO CONDURRE implica che è possibile avere di piú ma alcuna.

Sì formulano dunque le proposizioni introdussi matematica:

"Per OGNI piano selle ARBITRARIAMENTE - PER ogni coppia di punti appartenente al piano ESISTE ALMENO una retta che li ciomune."

Tettasi Taylor - Coerino Polite.

LE PROPOSIZIONI (O ENUNCIATI)

Nel linguaggio sono frasi che esprimono determinate regole.

• In matematica sono AFFERMAZIONI a cui si può attribuire un GRADO DI VERITA, ossia di cui si può decidere se sono VERE o FALSE.

N.B.

L'ultimo teorema di Fermat afferma che 7 p,q,r ∈ Z t.c. p^m+q^m ≠ r^m ∧ m > 3.

Può rimanere indimostrato per secoli, ciò non significa che non sia un teorema.

È comunque un'affermazione VERA o FALSA.

ESEMPI

1 + 1 = 2 PROPOSIZIONE VERA

7 è un numero reale PROPOSIZIONE VERA

1 + 1 = 3 PROPOSIZIONE FALSA

1 + 1 - NON È UNA PROPOSIZIONE, SINTATTICAMENTE SCORRETTA

π è un numero simpatico NON È UNA PROPOSIZIONE, NON DIMOSTRABILE

OPERAZIONI TRA PROPOSIZIONI

Indichiamo con p, q, r le proposizioni.

NEGAZIONE ()

¬p si legge "non p". È un'operazione UNARIA ovvero agisce su una proposizione.

• se p VERA → ¬p FALSA
• se p FALSA → ¬p VERA

Altra notazione nei suoi primordi ¬p o ṗ.

CONGIUNZIONE ()

p ∧ q si legge "p e q". È un'operazione BINARIA ovvero agisce su due proposizioni.

p ∧ q è VERA solo se tutt'e due p e q sono vere. Falsa in tutti gli altri casi.

DISGIUNZIONE ()

p ∨ q si legge "p o q". È un'operazione BINARIA.

p ∨ q è VERA se almeno una delle due proposizioni è vera, falsa se p e q sono entrambe false.

ESEMPI

• p: 1+1=2
• q: 1+1=3

¬p → ¬(1+1=2) → 1+1 ≠ 2 da V→F

¬q → ¬(1+1=3) → 1+1 ≠ 3 da F→V

p ∧ q → (1+1=2) ∧ (1+1=3) F 1+1 non può fare contemporaneamente 2 e 3.

p ∨ q → (1+1=2) ∨ (1+1=3) V uno delle due è vero.

IMPLICAZIONE (=>)

È un'operazione BINARIA

p => q si legge "p implica q"

• "se p allora q"
• "p è condizione SUFFICIENTE per q"
• "q è condizione NECESSARIA per p"

ES. p: "lo studente Piero punta 24 all'esame di analisi"

q: "lo studente supera l'esame di analisi"

p => qse p ∨ _A q √

p => q è V

se p ∨ _F q Fp => q è F

* se p _Fp => q è V

Introduciamo dunque le TAVOLE DELLA VERITÀ

• p   q   p∧q   p∨q   p => q   (p∧q)∨¬p
• √   √   √   √   √   √
• √   F   F   √   F   F
• F   √   F   √   √   √
• F   F