Corso di Analisi 1

ANALISI

LOGICA MATEMATICA

La matematica NON È una SCIENZA SPERIMENTALE.

A differenza delle altre scienze, dunque, si basa su un concetto diverso di VERITÀ.

In matematica occorre DIMOSTRARE le proposizioni.

DIMOSTRARE significa scoprire un RAGIONAMENTO LOGICO-DEDUTTIVO che partendo da premesse atte IPOTESI porta a una conclusione, detta TESI.

La LOGICA MATEMATICA studia le regole di tale ragionamento.

Occorre però adottare un LINGUAGGIO UNIVOCO che non dia adito ad interpretazioni ambigue.

Es:

• Per due punti di un piano possiamo condurre una retta.
• UN → UN ARBITRARIO
• UNA → ALMENO UNA (i punti possono coincidere)
• → ESATTAMENTE UNA (se si pensa che i punti sono distanti)

POSSIAMO CONDURRE implica che è possibile avere di più ma almeno si formula dunque le proposizioni in termini matematici.

Per OGNI piano scelto ARBITRARIAMENTE e PER OGNI coppia di punti appartenenti al piano ESISTE ALMENO una retta che li congiunge.

Effetti Taylor Coeriva Polto

LE PROPOSIZIONI (O ENUNCIATI)

Nel linguaggio sono frasi che esprimono assertivamente qualcosa.

• In matematica sono AFFERMAZIONI a cui si può attribuire un GRADO DI VERITÀ, ovvero si può dire se sono VERE o FALSE.

N.B.

L'ultimo teorema di Fermat afferma che per n, p, q, r ∈ ℤ t.c. pⁿ + qⁿ = rⁿ ∧ n ≥ 3

Puó rimanere irrisolto per secoli, ciò non significa che non sia un teorema.

È comunque un'affermazione VERA o FALSA.

ESEMPI

• 1 + 1 = 2, PROPOSIZIONE VERA
• π è un numero reale, PROPOSIZIONE VERA
• 1 + 1 = 3, PROPOSIZIONE FALSA
• 1 + 1 =, NON È UNA PROPOSIZIONE, SINTATTICAMENTE SCORRETTA
• π è un numero simpatico, NON È UNA PROPOSIZIONE, NON DIMOSTRABILE

- DOPPIA IMPLICAZIONE (⇔)

p⇔q si legge: "p se, e solo se, q"

"p è condizione necessaria e sufficiente per q"

"q è _CNS per p"

È un’operazione SIMMETRICA ⇒ p⇔q = q⇔p

• P Q P⇔Q
  • V V V
  • V F F
  • F V F
  • F F V

PRINCIPIA DI DEDUZIONE LOGICA

Le formule sono TRU_⇔LOGIE, ovvero, combinazioni di proposizioni sempre VERE

1. PRINCIPIO DEL TERZO ESCLUSO

p ∨ ¬p

Le proposizioni p è o ^VERO o è falsa.

1. PRINCIPIO DI NON CONTRADDIZIONE

¬(p∧¬p)

La proposizione p non può essere se stessa e il contrario di se stessa contemporaneamente.

Dimostrazione dell'irrazionalità di √2

(per assurdo √2 = p/q)

"Non esistono p, q ∈ Z tali che (p/q)² = 2

q²(p/q)² = 2 non esiste con q ≠ 0 / p, q ∈ Z

p² = 2q² esiste

Poniamo p e q primi tra loro siano si unisce la validità del teorema.

(p/q)²

p² = 2q² ⇒ p² è PARI ⇒ p è PARI ; p = 2K

(2k)² = 2q²

4k² = 2q²

2k² = q² e p² è PARI ⇒ q è PARI ;

p e q hanno 2 fattori 2 in comune si giunge a un ASSURDO !

Il Controesempio

Teorema è sinonimo di proposizione (anche se si usa con accezione positiva)

Se si verifica il controesempio ⇒ il Teorema non è valido sempre

non solo per quell'esempio

Trovare controesempio ⇔ Teorema falso

*

si esprime con le quantificatori ∀

LE DIMOSTRAZIONI PER INDUZIONE

La dimostrazione per induzione possiamo vederla paragonata all'effetto domino:

1. Dimostrare P(n) per un m ⇔ Dare il colpo iniziale
2. Dimostrare per ogni p(m) ⇒ P(m+1) ⇔ Assicurarsi che le tessere sono ab. vicine

Soddisfatte entrambe le proprietà, l'effetto domino sarà assicurato.

DIMOSTRARE

\( \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{(m+1)(2m+1)}{6} \)

1. \( m = 1 \)

\( \frac{1(3)2}{6} = 1 \) ✓

1. \( \sum_{k=1}^{m+1} k^2 = \sum_{k=1}^{m} k^2 + (m+1)^2 \)

\( \frac{m(m+1)(2m+1)}{6} + (m+1)^2 = \frac{(m+1)(m)(2m+1) + 6(m+1)^2}{6} \)

• \( =(m+1)[(m)(2m+1)+6(m+1)] = (m+1)[2m^2+m+6m+6] = (m+1)(2m^2+7m+6) \)

\( = (m+1)[(2m+3)(m+2)] = \frac{(m+1)(m+2)(2m+3)}{6} \) ✓

DIMOSTRARE

\( \sum_{k=1}^{n} = \left[ \frac{m(m+1)}{2} \right]^2 \)

1. \( m = 2 \)

\( \left[ \frac{2(2+1)}{2} \right]^2 = 9 \) ✓

1. \( \sum_{k=1}^{m+1} = \sum_{k=1}^{m} + (m+1)^3 \)
2. \( \left[ \frac{m(m+1)}{2} \right]^2 \) + (n+1)^3 = \left[ \frac{(m+1)(m+2)}{2} \right]^2 \)

\( = \left[ \frac{m^2(m+1)^2}{4} \right] + \frac{(n+1)^3}{4} = \frac{m^2(m+1)^2 + 4(m+1)^3}{4} \)

\( = \frac{(m+1)[m^2(m+1)+4(m+1)^2]}{4} = \frac{(m+1)[m^3+5m^2+6m+4]}{4} = \frac{(m+1)(m+2)^2(2m+3)}{4} \) ✓

DIMOSTRARE CHE ∀ m ≥ 1

\( 6^m-1\) è divisibile per 5

1. \( 6^m-1 = 6-1 ≡ 5 \)
2. \( 6^{m+1}-1\equiv 5 \Rightarrow \)∃ k ∈ ℕ t.c. \( 6^{m+1}-1 = 5k \)

Dobbiamo anche mostrare che \( \therefore h ∈ ℕ t.c. 6^{m+1}=5h \)

1. \( 6^{m+1}-1 \) = \( 6(6^m-1) \right = (5k+1)6-1 = 30k-5 = 5(6k-1) \)

\( \therefore n \) cercato ∈ ℕ ✓

GLI INSIEMI NUMERICI

N NUMERI INTERI POSITIVI (NATURALI) = {0, 1, 2, 3 ...}

Ogni numero ha esattamente un successivo

Operazioni possibili: SOMMA e PRODOTTO

Z NUMERI INTERI RELATIVI = {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3 ...}

Le operazioni possibili sono SOMMA, PRODOTTO e DIFFERENZA

Q NUMERI RAZIONALI = ^m/_n m, n ∈ Z ∧ n ≠ 0

• ^m/_n = ^m/_n se m, m stesso segno
• ^-m/_n = a m, n segno diverso

In realtà, ogni numero di Q sono CLASSI DI EQUIVALENZA di frazioni ^m/_n

RICORDA!

CLASSE DI EQUIVALENZA x = x, {x} = {y ∈ X | y ~ x}

Relazione di equivalenza in Q:

^m/_n = ^m'/_n' → mn' = m'n

Come RAPPRESENTARE tali classi di equivalenza? Introduciamo il concetto di VALORE ASSOLUTO

m ∈ Z, |m|

• m se m ha segno +
• -m se m ha segno -

RAPPRESENTAZIONE DI CLASSE DI EQUIVALENZA DI RAZIONALI

^m/_n = r ± |r| se r ha segno +

• - |r| se r ha segno - e |r| = |m| / |n|
• (|m| ∧ |n|) sono ridotti ai minimi termini, no divisori comuni

Si può dimostrare che gli alcuni SOTTOINSIEME ai NUMERI INTERI ha la stessa

cardinalità di N, Anche Q ha la stessa cardinalità di N. Tutti gli insiemi che

possono essere messi in corrispondenza biunivoca con N si dicono NUMERABILI

o di CARDINALITÀ NUMERABILE ℵ_o.

Ciò significa che i suoi elementi possono essere ENUMERATI 1°, 2°, 3°, ... mentri

questo non comporta cui ORDINE. Esiste una LEGGE per cui alla fine si

scrive...

Z = NUMERABILE

0, +1, -1, +2, -2 ... (in questo modo si elencano tutti.)

Q = NUMERABILE dimostrazione:

- Come per Z si è dimostrato che razionali positivi sono numerabili, lo si fa

anche per quelli negativi.

- Costruiamo una tabella a doppia entrate e rimbor raggruppamento le frazioni

e rappresentiamo quelli che si ripetono.

1/1, 1/2, 2/1, 3/1, 2/2, 1/3

1/2, 2/3, 3/2, 4/1

1/3, 2/3, 3/3, 4/3

1/4, 2/4, 3/4, 4/4

1, 1/2, 1/3, 1/4, 2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 3/1, 3/2, 3/3, 3/4, 4/1 ...

e t.c. Q = NUMERABILE

PROPRIETA DI Q.

- DENSITÀ purché comunqe r,s ∈ Q com r