Corso di Matematica 2

Corso di matematica 2

Vettori nel piano R²

Un vettore è un segmento orientato definito da:

• l = lunghezza
• d = direzione
• v = verso

Se due vettori hanno uguale l, d, v, allora sono uguali e non mi interessa dove sono nel piano. Quindi per convenzione li faccio partire dall'origine.

Vettori nello spazio R³

Il discorso si può ampliare allo spazio Rⁿ ed in particolare in R³ (a, b, c, tempo).

Esempio R² (a, b, c, tempo, a', b', c') dove c' è in delta tempo velocità.

Somma di vettori

(Regola del parallelogramma)

• Somma = w + v
• Somma = (a+c, b+d) dove w (a,b) v (c,d)

Differenza di vettori

Applico la regola che w - v = w + (-v).

Moltiplicazione e divisione

v(a, b) ed un numero r:

• Definisco r v = (r a, r b)
• Definisco ^v⁄_r = (^a⁄_r, ^b⁄_r)

Generalizzazione a Rⁿ

v (v₁, v₂, v₃, ..., v_n)

w (w₁, w₂, w₃, ..., w_n)

v + w = (v₁ + w₁, v₂ + w₂, ..., v_n + w_n)

r v = (r v₁, r v₂, r v₃, ..., r v_n)

Comunque un vettore _{nel piano} è sempre la somma dei 2 vettori, uno lungo l'asse x e uno lungo l'asse Y cioè:

v(a, b) = v₁(a, 0) + v₂(0, b) = a (1, 0) + b (0, 1)

Vettore lungo 1 asse

xi

yj

v(a, b) = a i + b j

Dello spazio R³

v(a, b, c) = a (1, 0, 0) + b (0, 1, 0) + c (0, 0, 1)

ijk

Per convenzione:

• v è un numero
• V è un vettore

Lunghezza = c = ² + ² e si indica |v| (norma o modulo)

Quindi |i| = 1 |j| = 1

Nel piano, un vettore v con modulo |v| = 1 è un versore. Per ogni vettore c'è un versore dato da v/|v| che è = 1. Cioè:

² + ²v_1,2|v| = ⁵v/|v| = (1/⁵ 2/⁵)|v/|v| | = ⁵/⁵ = 1

Generalizziamo

Sia v contenuto - v (v₁, v₂, ...v_n)

|v| = ² + ² ...v_n² e se viene 1 è un versore.

{i, j} Base dei vettori R² i (0, 1) j (1, 0)

{i, j, k} Base dei vettori R³ i (1, 0, 0) j (0, 1, 0) k (0, 0, 1)

{e¹, eⁿ} Base dei vettori Rⁿ e¹ (1, 0, 0) eⁿ (0, 0, ...1)

Quindi viene fuori la:

Combinazione lineare di vettori della base

v (v₁, v₂, v_n) = v₁ e₁ + v₂ e₂ + v₃ e₃ ... v_n e_n base standard.

Esempio in R² {i, j} base.

v (1, 2) = 1i + 2j

- Naturalmente ci sono altri insiemi diversi da B {i, j} che sono basi di R² e sono specificati così: B = {(0, 1) (1, 1)}

- In R² tutte le basi sono costituite da 2 vettori.

- In Rⁿ tutte le basi sono costituite da n vettori.

Base di un vettore

Come vediamo che un insieme è una base di un vettore?

Siamo in Rⁿ e ho una serie di vettori v₁, ... v_r, allora:

• v₁ ... v_r sono linealmente indipendenti se a₁v₁ + a₂v₂ + a_nv_n = 0 soltanto se tutti gli a_i = 0

Esempio in R¹

r (1, 0) e w (1, 1) - Sono Linealmente ind. i.l.

Prendo una combinazione a (1, 0) + b (1, 1) = 0 -> a = 0 b = 0

(a, 0) + (b, b) = 0 = (0, 0)

a(1,0) + b (r₁,1) = (0,0)

(a,0) + (b,b) = (0,0)

(a+b, b) = (0,0)

Quindi:{a+b = 0 b = 0}→{a = 0 b = 0}

Quindi v e w sono linearmente indipendenti.

Nel caso contrario sono linearmente dipendenti.

Esempio: V (r₁,1) W (1,0) U (2,1)

① av + bw + cu = 0

a (r₁,1) + b (r₁,0) + c (2,1) = 0

(a, a) + (b,0) + (2c,c) = 0

(a+b+2c, a+c) = (0,0)

{a+b+2c = 0 a+c = 0}→{b+c = 0 b = -c}

{-c + b + 2c = 0 a+c = -c}

{a = -c a = -c}