Corso di Matematica 2

Corso di Matematica 2

Vettori nel piano

R²

Un vettore è un segmento orientato definito da:

• l: lunghezza
• d: direzione
• v: verso

Se due vettori hanno uguale l, d, v allora sono uguali e non mi interessa dove sono nel piano. Quindi per convenzione li faccio partire dall'origine.

{i,j} Base dei vettori R² i (0,1) j (1,0)

{i,j,k} base dei vettori R³ i (1,0,0) j (0,1,0) k (0,0,1)

{e¹,e²,eⁿ} Base dei vettori Rⁿ e¹ (1,0,0) eⁿ (0,0,…,1)

Quindi viene fuori la

combinazione lineare di vettori della base

v (v₁,v₂…v_n) = v₁e₁ + v₂e₂ + v₃e₃ … v_ne_n base standard

Esempio in R² {i,j}_base

v (1,2) = 1i + 2j

Naturalmente ci sono altri insiemi diversi da B {i,j} che sono basi di R²

e sono specificati così B = {(0,1) (1,1)}

In R² tutte le basi sono costituite da 2 vettori

In Rⁿ tutte le basi sono costituite da n vettori

Come vediamo che un insieme è una base di un vettore?

Siamo in Rⁿ e ho una serie di vettori v₁…v_r allora:

v₁…v_r sono linearmente indipendenti se a₁v₁ + a₂v₂ + a_nv_n = 0

soltanto se tutti gli a_i = 0

Esempio in R¹

v (4,0) e v (1,1) sono linearmente ind. t. l.

Prendo una combinazione a (1,0) + b (1,1) = 0 a = 0 b = 0

= (a,0) + (b,b) = 0 = (0,0)

Matrici

righe

matrice 2 x 2

colonne

• Posso fare la somma ma devono avere la stessa dimensione.
• a) Somma = somma (elemento per elemento)
• b) moltiplicazione per un numero (moltiplico elemento per elemento)

Matrici con numero di righe = n colonne si chiamano quadrate

Matrici ed applicazioni lineari

f: R² ⟶ R²

(x, y, z) ⟶ (3x + y + z, −x + 3y + z)

Ad f (applicazione) ci associo una matrice

A_f = ^{(3 1)}      (−1 3 1)        coefficenti di a         

A_f è 2 x 3

R² R³(arrivo partenza)

• Data una Matrice A, trovare l’applicazione f

A = ^{(2 0)}   (1 2)   (0 1)e 3 x 2       1 1R²   R²(arrivo partenza) quindi:

g_A: R² ⟶ R³(x, y) ⟶ (2x, x + 2y, y)

g_A = {(x, y): (2x, x + 2y, y)}

Somma di sottospazi e in uno spazio

Prendo U e W come sottospazi

U + W = { u + w con u ∈ U e w ∈ W }

Esempio ^R3

• W = {x, y, z} = {y + 3z, y, z}
• U = {x, y, z} = {2y, y, z}

U + W = {x, y, z} = {3y + 3z, 2y, 2z} somma dei sottospazi vettorialiPer la teoria degli insiemi, il sottospazio somma è ancora uno sottospazio.

Applicazioni Lineari

Vogliamo costruire funzioni tra spazi vettoriali che le variano

ρ: ^R3 → ^R2

(x, y, z) → (x, y)

DefinizionePrendo V e W come sottospazi vettoriali e definiscof: V → W come applicazione lineare se:

1. ρ(v + v') = ρ(v) + ρ(v')
2. ρ(rv) = rρ(v)

Rango di una matrice

Si dice rango di A, il massimo numero di colonne linearmente indipendenti. Le considero come dei vettori messi nella matrice in colonna

A ( ¹ ₃

)

rg A ≤ 3

Il rango di A può essere anche fatto per righe ma per il teorema

rg_col A = rg_rig A

Quindi si vede sempre qual è il minimo tra righe e colonne e poi si fanno i conti.

Esempio

A ( ¹ _{1 0}

)

Vedo che il rango può essere 0, 1 o 2

• Se è 1 significa:

(1, 1, 0) = c (2, 1, 1) ---> ( ¹ _{1 0}

) = cnon c'è nessun numeroche moltiplicato il vettorea mi dà il vettoreb

Quindi il rango non è 1

N.B.

Se 2 vettori hanno zeri in posti diversi, non sono linearmente indipendenti

• Ricapitoliamo come vedere se vettori sono l.i.

Caso 1: direttamente con il sistemamatrice quadratadet = 0 sono dip.

Caso 2: Li mettiamo in colonnamatrice quadratadet ≠ 0 sono indip.matrice non quadrata(si fa il rango)

Esercizio

Data \( f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 \)

\((x, y, z) \rightarrow (x-y, x+2z)\)

Trovare nucleo, immagine di \( f \) con le rispettive dimensioni.

Nucleo

Ker\( f = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3: f(x, y, z) = (0, 0)\}

\(\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3: f(x-y, x+2z) = (0, 0)\}\)

• \(\begin{cases} x-y=0 \\ x+2z=0 \end{cases}\)

• \(\begin{cases} x=y \\ x=-2z \end{cases}\)

\(Ker f = \{(-2z, -2z, z) | z \in \mathbb{R}\}\)

Dim Ker\( f \), numero variabili libere \(= 1\)

Base di Ker\( f \): \( v=(-2, -2, 1)\)

Dim Im\( f \) = Dim \(\mathbb{R}^3 - \) Dim Ker\( f = 2\)

Im\( f = \mathbb{R}^2\)

Base di Im\( f \): base canonica \(\{(1, 0), (0, 1)\}\)

Dim Im F = R² - Dim Ker f = 2 - 0 = 2

Questo significa che Dim Im f non coincide con lo spazio R³ quindi

non posso prendere una base canonica di R³

Come faccio a trovare una base di Im f?

Nella matrice associata, la base di Im f sono le colonne linearmente

indipendenti. Nel nostro caso, se che Dim Im f = 2, ho 2 colonne

quindi le prendo entrambe

Base Im F = < (1,1,1), (0,7,0) >

Sistemi Lineari

omogenei

N.B. Deve comparire anche:

matrice associata

Ha sempre soluzione banale

(x,y,z)= (0,0,0)

che c'è sempre. Ce ne saranno altre?

Ha soluzioni diverse solo se rg A < 2

N.B. Se A è quadrato cioè il numero delle equazioni è uguali al numero

delle incognite, c'è soluzione diversa da (0,0) se det A = 0

Con λ = 0

(1 0 3)

(1 0 3) + I = (1 0 3)

(0 2 0)

{x + 3z = 0 y + 3z = 0 2y = 0

{x = -3z y = 0

V₀ = {(-3z, 0, z) | z ∈ ℝ}

Con λ = 3

(1 0 3)

(1 0 3) - 3I = (-2 0 3)

(0 2 0)

{-2x + 3z = 0 -3y + 3z = 0 2y - 3z = 0

{x = 3/2 z y = 3/2 z z = 0

V₃ = {(3/2 z, 3/2 z, z) | z ∈ ℝ}

Con λ = -2

(1 0 3)

(1 0 3) + 2I = (3 0 3)

(0 2 0)

3x + 3z = 0 2y + 3z = 0 2y + 2z = 0

{x = -z y = -z

V_-2 = {(-z, -z, z) | z ∈ ℝ}