Appunti completi del corso di Analisi matematica 2

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F C (Ω) R R2 2⊆ →F : Ω (431)1∈F C (Ω) (432)è conservativo, allora vale la seguente equazione

Se F ∂F ∂F1 2(x, y) = (x, y)∂y ∂x

Dimostrazione Poichè F è conservativo esiste il suo potenziale U , tale per cui

∂U ∀(x, ∈(x, y) = F (x, y) y) Ω (433)1∂x

∂U ∀(x, ∈(x, y) = F (x, y) y) Ω (434)2∂y

1Dato che F ed F sono C (Ω) per ipotesi, vale il teorema di Schwarz [24], cioè

1 2 ∂ ∂U ∂ ∂U=∂x ∂y ∂y ∂x

da cui deriva che ∂F ∂F1 2(x, y) = (x, y)∂y ∂x

134 Campi vettorialiR R3 3Teorema 51. Sia F un campo vettoriale definito da Ω aperto di a valori in dove1∈F C (Ω) R R2 3⊆ →F : Ω (435)1∈F C (Ω) (436)è conservativo, allora valgono le seguenti equazioni

Se F  F = F1y 2x F = F1z 3x F = F 2z 3yè conservativo esiste il suo potenziale U , tale per cui

Dimostrazione Poichè F∂U ∀(x, ∈(x, y, z) =

F (x, y, z) y, z) Ω (437)1∂x∂U ∀(x, ∈(x, y, z) = F (x, y, z) y, z) Ω (438)2∂y∂U ∀(x, ∈(x, y, z) = F (x, y, z) y, z) Ω (439)3∂z 1Dato che F , F ed F sono C (Ω) per ipotesi, vale il teorema di Schwarz [24], cioè1 2 3    ∂F ∂ ∂U ∂U∂ ∂F1 2= (440)= =∂y ∂y ∂x ∂x ∂y ∂x   ∂F ∂ ∂U ∂ ∂U ∂F1 3= (441)= =∂z ∂z ∂x ∂x ∂z ∂x   ∂F ∂ ∂U ∂ ∂U ∂F2 3= (442)= =∂z ∂z ∂y ∂y ∂z ∂yEsempio 64. Le condizioni dei teorema appena visti sono solo necessarie. Infatti se siconsidera il seguente campo vettorialeR R2 2− {(0, →F : 0)} (443) xy→ − , (444)(x, y) 2 2 2 2x + y x + yLe derivate parziali nominate dai teoremi sono2 2 2 2 2−x − −∂F y + 2y y x1 (x, y) = = (445)2 2 2 2 2 2∂y (x + y ) (x + y )2 2 2 2 2− −∂F x + y

2x y x² (x, y) = = (446)² 2² 2² 2² 2²∂x (x + y ) (x + y )

Il loro valore è uguale, ma se si considera una curva γ la cui rappresentazione è pari a(x(t) = cos t ∈r(t) = t [0, 2π]y(t) = sin t135

Campi vettorialiper quanto riguarda la circuitazione si ottiene2πZI 2² ̸sin t + cos t dt = 2π = 0ω = 0γ

Quindi il campo F non è conservativo.R R2 2− {(0,Nonostante Ω = 0)} sia connesso, il fatto di differire da per un solo puntogli conferisce proprietà diverse.Infatti se si considera lo stesso campo, definito sullo stesso insieme ma si prende una curva δdefinita come segue γ 3γ γ4 2γ 1∪ ∪ ∪γ = γ γ γ γ1 2 3 4(x(t) = t ∈Cδ = (r , ) r : t [0, 1] (447)1 1 1 1 y(t) = 1(x(t) = 1 ∈Cδ = (r , ) r : t [0, 1] (448)2 2 2 2 y(t) = t( −x(t) = 1 t ∈Cδ = (r , ) r : t [0, 1] (449)3 3 3 3 y(t) = 2(x(t) = 0 ∈C, ) r :δ = (r t [0, 1] (450)4 4 4 4

δ.Intanto si noti che γ è la frontiera di un cerchio che non è contenuto in Ω, infatti il cen-tro di tale cerchio è (0, 0), non presente in Ω, mentre questo non avviene per la curva δ,infatti tutti i punti delimitati da tale curva sono interni a Ω.

In modo intuitivo, si dice che una curva ε chiusa, semplice e regolare a tratti il cui sup-porto è contenuto in Ω è omotopa a un punto interno a essa se può essere deformata concontinuità fino a ridurla al punto considerato, sempre rimanendo dentro a Ω.

Inoltre un insieme aperto A si dice semplicementre connesso se e solo se ogni curva ε chiusasemplice e regolare a tratti è omotopa a ogni suo punto interno.

Nel caso in esame, Ω non è semplicemente connesso poichè γ non è omotopa al punto(0, 0).

7.2 Teorema di Green R R2 2Sia F un campo vettoriale vettoriale definito da Ω aperto di a valori in con F di classe1C (Ω) R R2 3⊆ →F : Ω (455)1∈ C (Ω)

(456)FSia poi E un insieme aperto, connesso e limitato tale che ∪ ⊂D = E ∂E Ω

Si supponga che la frontiera di D, che coincide con la frontiera di E, sia costituita da un numero finito n di curve γ , γ , ..., γ chiuse, semplici e regolari a tratti e a due a due disgiunte.

1 2 n Dγ γi nγ 2γ 1137

Campi vettoriali

Le parametrizzazioni delle curve γ vengono scelte in modo da avere i punti interni di D sempre alla sinistra del verso di percorrenza.

Si definisce l’integrale della 1-forma associata a F sulla frontiera di D come

Z Z Z Zω = ω + ω + ... ω∂D γ γ γn1 2

e D il campo vettoriale e l’insieme definiti in precedenza.

Teorema 52 (di Green). Siano F

Allora vale la seguente equazione

Z ZZZ ∂F ∂F2 1−ω = [F (x, y)dx + F (x, y)dy] = (x, y) (x, y) dxdy1 2 ∂x ∂y∂D ∂D D

La dimostrazione del teorema precedente verrà fatta solo per i casi

più importanti.Dimostrazione [caso uno] R2{(x, ∈ ≤ ≤ ≤ ≤D = y) : a x b, α(x) y β(x)} 1 (x, y) = F (x, y), 0 è di classe dove α e β sono funzione di classe C ([a, b]) e il campo F 11C (Ω). y γ 3 β(x)γ 2Dγ 4 α(x)γ 1a xbLe curve scelte per parametrizzare la frontiera di D sonoC1. γ = (r , ) con1 1 1 (x(t) = t ∈r (t) = t [a, b]1 y(t) = α(t)C2. γ = (r , ) con22 2 (x(t) = b ∈r (t) = t [α(b), β(b)]2 y(t) = t138 Campi vettorialiC3. γ = (r , ) con3 3 3 ( -tx(t) = ∈ -a]r (t) = t [-b,3 y(t) = β(-t)C, ) con4. γ = (r 44 4 (x(t) = a ∈ -α(a)]r (t) = t [-β(a),4 -ty(t) = sulle varie curve valgonoQuindi i vari integrali dell'1-forma associata a FbZZ ·ω = F t, α(t) 1dt (457)1γ a1 β(b)Z Z ·F (b, t) 0dt (458)ω = 1γ α(b)2 -aZZ -

<p>&part;D D139Campi vettorialiDimostrazione [caso due] R<sup>2</sup>{(x, &isin; &le; &le; &le; &le;D = y) : a <= x <= b , &alpha; (x) <= y <= &beta; (x)} (462)</p>
<p>1 1 1 1 1R<sup>2</sup>{(x, &isin; &le; &le; &le; &le;D = y) : a <= x <= b , &alpha; (x) <= y <= &beta; (x)} (463)</p>
<p>2 2 2 2 2&cup;D = D D (464)</p>
<p>1 2</p>
<p>dove tutte le funzioni sono di classe C sugli intervalli dove sono definite e il campo vettoriale 1F (x, y) = F (x, y), 0 è di classe C (Ω).</p>
<p>I due insiemi possono essere rappresentati come segue</p>
<table>
  <tr>
    <td>y</td>
    <td>&gamma;</td>
    <td>&delta;</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>3</td>
    <td>&beta; (x)</td>
    <td>&beta; (x)</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>2</td>
    <td>&gamma;</td>
    <td>&delta;</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>1</td>
    <td>a</td>
    <td>b</td>
  </tr>
</table>
<p>1 2</p>
<p>dove le varie parametrizzazioni sono analoghe a quanto visto nel punto precedente.</p>
<p>Per il primo insieme si può scrivere</p>
<p>Z ZZ &part;F 1&minus; (x, y)dxdy&omega; = &part;y&part;D D1 1</p>
<p>ma l’integrale sulla frontiera di D si può spezzare negli integrali sulle varie curve</p>
<p>Z Z Z Z Z&omega; = &omega; + &omega; + &omega; + &omega;&part;D &gamma; &gamma; &gamma; &gamma;1 1 2 3 4</p>
<p>Per quan</p>