Corso di Analisi Matematica I

LOGICA DELLE PROPOSIZIONI

PROPOSIZIONE ➔ Affermazione di senso compiuto a la quale si può attribuire un valore di verità

P F V F

PREDICATO ➔ Proposizione che dipende da 1 o + variabili:

• P(x) ➔ dipende da 1 variabile
• P(x,y) ➔ dipende da 2 variabile

CONNETTIVI LOGICI ➔

• Negazione
• Congiunzione
• Disgiunzione
• Implicazione
• Equivalenza (doppia implicazione)

non.P ➔ opposto di P

e ➔ vere tutte e due

o ➔ è vera se è vera o una o l'altra

=> ➔ se è vera la prima deve essere vera la seconda

<=> ➔ entrambe devono essere vere o false (hanno stessa tabella di verità)

TABELLA DI VERITA'

P₁ V V

non P₁ F F

P₂ V F

non P₂ F V

P₁ ∧ P₂ V F

P₁ ∨ P₂ V V

P₁ => P₂ F V

P₁ P₂ V F F V

• ≡ controrversa di (P₁ => P₂)
  • (non.P₂ => non.P₁)
• A ≡ B

A e B devono avere stessa tabella di verità:

P₁ V V

P₂ F V

non P₁ P₂ non P₂ F V

V F

TEOREMA

Dimostrazione di un risultato portato da ipotesi ( le contratti veri a priori o controllati già dimostrati)

LEMMA

risultato meno importante dimostrato e un risultato importante

COROLLARIO

risultato meno importante dimostrato con teoremi o assiomi.

ASSIOMA

Proposizione presa per vera senza dimostrarla e che assumiamo proprietà evidenti

DIMOSTRAZIONE DIRETTA

dalle ipotesi attraverso deduzioni successive si prova la tesi

DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO

si suppone falsa la tesi, con le deduzioni si deduce la negazione dell'ips ed tesi, giungendo a una contraddizione e quindi dalla falsità del risultato si deduce perck la tesi è vera.

L'equivalente o alla base della dimostrazione per assurdo

QUANTIFICATORI

• QUANTIFICATORE UNIVERSALE ∀ - per ogni
• QUANTIFICATORE ESISTENZIALE ∃ - esiste
• QUANTIFICATORE NON ESISTENZIALE ∄ - non esiste
• QUANTIFICATORE ESISTENZIALE UNICO ∃! - esiste ed è uno

si mettono davanti ai predicative renonoli preposizioni

∃_x P(x) - ora è una proposizione

∀_x P(x)

∃_y P(x;y)

∀_x ∃_y P(x;y)

∃_y ∀_x P(x;y)

∀_x ∃_y P(x;y)

∀_x ∀_y P(x;y)

• se lo stricibile renon x quantificato (2 variabili = 2 quantt)
• si cambio l'ordine dei quantificate donno il significato delle proposizioni
• ∀_x ∃_y P(x;y) è diverso da ∃_y ∀_x P(x;y)

NEGAZIONE DI PROPOSI CON QUANTIFICATORI

(∀_x ∃_y P(x;y) → non (∀_x ∃_y P(x;y)))

∃_x ∀_y non P(x;y)

• Per negare si sono gli quantificate e si nega il predicato

√2 non è razionale

√2 ∉ Q

dim x assurdo

√2 ∈ Q ― Per assurdo

∃ p,q ∈ Z : p/q = √2

prendiamo p e q primi tra loro (cioè p e q dispari)

p/q = √2

p²/q² = 2

p² = 2q²

p² è pari ⇒ p è pari

p=2m

(2m)² = 2q²

4m² = q²

4m² = 2n² ⇒ q² è pari ⇒ q è pari

Due numeri primi tra loro non possono essere pari ⇒ √2 ∉ Q

c.v.d.

dimostriamo che Q non è completo

A = {x ∈ Q : x ≤ 0 o x² ≤ 2}

B = {x ∈ Q : x > 0 e x² > 2}

A ⊂ Q

B ⊂ Q

A ∪ B = Q

A ∩ B = ∅

ma vol l’assione di Dedekind perchè se exista c dovrebbe essere x² = 2

ma nei numeri Q non esiste x² = 2

quindi x = √2 e √2 ∉ Q

Q non è completo

Corollario del principio di Archimede

se a = xb = 1

∀x > 0 ∃m ∈ N : ¹⁄_m < x

è lo stesso caso del principio di archimedema x > ba > b

es.

A = {¹⁄_n n ∈ N}Trovo max, min, inf e sup.

¹⁄_n ≤ 1 ∀n ∈ N ⇒ max A =1

inf A = 0 (0 ϵ A quidni A non ha min)

dim. ⇨ α > 0 ⇨ questo è sempre zreo

contodimostrazione dell'inf. ∀α > 0 ∃m_α ∈ N; ¹⁄_mα < 0 + ε⇒ ¹⁄_mα < ε ∀» principio di archiede

inf A = 0 c.v.d

es.

A = {^{n - 1}⁄_n, n ∈ N} Trovo max min, inf, sup.

Per vedere che 0 è il min

{0 ϵ A^{n - 1}⁄_n ≥ 0 ∀n ∈ N ⇒ min A =0

^{n - 1}⁄_n < 1 ⇒ 1 è sup A

dim. ⇨

1. ^{n - 1}⁄_n < 1 ⇨ vero
2. ∀ε > 0 ∃m_ε ∈ N_ε : ^{mè - 1}⁄_mε > 1 - ε

ε > 1 - ^m_ε-1 ⁄_mε⇨

ε > ^{m_ε -m_ε + 1} ⁄_mε⇨ vero e archimede

1 - ε sono vere quindi 1 è sup A c.v.d

Binomio Di Newton

    ^mC_m;k = ^m!/(m-x)!k!     C_m;k = ^mC_m;k = ^m!/((m-x)!k!)

Coefficiente Binomiale

    ^mC_m;k = ^m!/((m-x)!k!)

• n ≥ k

^mC₀ = 1 ^mC_m;k = 1

^mC_m;k = ^{m * (m-1) * ... *(m-k+1)} / k!.

Binomio Di Newton

^{(a + b)n} = ^{m∑_k=0 m!/((m-x)!k!) ak bm-x}

formula utile x sviluppare i binomi a qualsiasi potenza

Es.

• Se n=2

(a + b)² = ²C₀b² + ^{2C₁ab + 2C₂a2 = b2 + 2ab + a2 → Formula del quadrato di Binomio}

FUNZIONE SURIETTIVA

f:A → B è suriettiva se f(A)=B, cioè ogni elemento B è immagine di un elemento di A

• Se B=R la condizione non è verificata

FUNZIONE INVERTIBILE

f è invertibile se è sia iniettiva sia suriettiva

A volte si dice invertibile se si verificano (1) (2) poichè si sottintende che l'insieme di arrivo B= f(A) ovvero l'insieme immagine e non tutto R

Es:

• f: A → R → non è suriettiva
• f: A → f(A) → è suriettiva

L'iniettività è la proprietà sostanziale dell'invertibilità

Se f è invertibile posso definire la f._INVERSA

FUNZIONE INVERA

Quella funzione che dato un y mi permette di trovare un x

Data f: A → f(A) invertibile → la sua INVERSA è f^-1

f_-1: f(A) → A

∀ y ∈ f(A) ↔ f_-1(y)=x ↔ f(x)=y

Es: f(x)=c → non è iniettiva

Es: f(x) = x³ → è iniettiva

Es: f(x) = x → è iniettiva

L'inverso è f^-1(x) = x

Per inveritire trovo x in funzione di y

Es: f(x) = x. / X+1

Vedo se è iniettiva: dati x₁, x₂ f(x) = f_-1(x)

x. / x₁+1 = x₂/x₂