Corso completo di Fondamenti di matematica

Studio di Funzione

R,f’<0 è decrescente in I. Nel caso in cui f(x) = 0 la funzione è costante.

Punti Stazionari (f’ = 0):

• Punto di Massimo, può essere relativo ad un intorno I o assoluto in tutto R, in esso f(x’)>f(x);
• Punto di Minimo, //, in esso f(x’)<f(x)
• Punto di Flesso, nel caso in cui anche la derivata seconda di f (f’’(x)) sia uguale a 0, si individua un punto di cui si verifica un cambio di concavità.

Se f’’(x) > 0 la funzione è convessa, se invece f’’(x) < 0 la funzione è concava.

Nello studio di funzione si procede attraverso questo metodo:

1. Si studia il campo di esistenza (C.E) di una funzione e si stabilisce se è pari o dispari;
2. Si trovano il segno e le intersezioni con gli assi;
3. Si calcolano i limiti e si ricavano gli asintoti;
4. Si cerca la derivata prima analizzando massimi e minimi;
5. Si calcola la derivata seconda e si studiano i punti di.

flesso;6) Si traccia il grafico della funzione.

Asintoto Obliquo:

• Il coefficiente angolare m si trova attraverso il limite per x→∞ di f(x)/x;
• Il termine noto si ricava con il limite per x→∞ di f(x) – mx.

18Teorema De L'Hospital

Se esiste finito o infinito il limite per x→p di f(x)/g(x) e da una forma indeterminata del tipo 0/0 o ∞/∞ allora esso è uguale al limite (sempre per x→p) delle derivate f'(x)/g'(x).

Alcuni limiti che presentano forme indeterminate diverse come ∞×0 o ∞^0 possono essere ricondotti al tipo 0/0 o ∞/∞ in quanto ∞×0 = ∞×1/∞ = ∞/∞.

Da questo teorema si ricavano delle formule che semplificano molto i calcoli conosciute come Limiti Notevoli:

• Lim per x→∞ (1+ 1/x)^x = e
• Lim per x→0 (e^x-1/x) = 1
• Lim per x→0 (a^x-1/x) = ln(a)
• Lim per x→0 (ln(x+1)/x) = 1
• Lim per x→0 (logₐ(x+1)/x) = 1/ln(a)
• Lim per x→0 ((1+x)^a-1/x) = a

19Teoremi Di Rolle e Lagrange

Il limite per x→x₀ di f(x) alla g(x) è uguale al

limite per x→x₀ di e^ag(x)*ln(f(x)) = e^ag(x)*ln(f(x)).

Esistono anche forme indeterminate come 1^∞, 0⁰ ed ∞⁰.

La derivata di f(x) alla g(x) è e^{g(x)*ln(f(x))} * la derivata di g(x)*ln(f(x)).

Teorema di Rolle: se una funzione f(x) è continua in [a,b], derivabile in ]a,b[ e f(a) = f(b) allora esiste almeno un c appartenente a ]a,b[ tale che f'(c)=0.

Teorema di Lagrange: se f è continua in [a,b] e derivabile in ]a,b[ allora esiste c appartenente a ]a,b[ tale che f''(c) = (f(b)-f(a)) / (b-a).

Integrali Indefiniti

Dimostrazione Rolle: nel caso in cui f(x) sia costante su [a,b], f''(x) = 0 per ogni x appartenente a ]a,b[. Se invece f(x) non è costante su [a,b], essendo continua, per il teorema di Weierstrass esistono massimo e minimo di f(x) su [a,b]; visto che almeno uno tra i due è interno all'intervallo (sennò sarebbe costante), chiamiamo questo valore "c" - f(c) > f(c+h) e

poiché c' è derivabile su ]a,b[, la sua derivata sinistra deve coincidere con quella destra quindi limite per h→0+ di f(c+h) - f(c) / h = limite per h→0- di f(c+h) - f(c) / h = f'(c)= 0 (esiste) Dimostrazione Lagrange: ricordando la formula per l'equazione della retta f(x) -[f(a) + f(b)-f(a)/b-a *(x-a), essa è una differenza di due funzioni continue e derivabili ed è quindi a sua volta continua e derivabile, inoltre f(a) = f(b) quindi soddisfa tutte le condizioni del teorema di Rolle pertanto r' = f'(x) - [f(b)-f(a)/b-a] = f'(c) = 0 f'(c) = [f(b)-f(a)/b-a]→ Integrale Indefinito: data f(x): I c R→R trovare F(x) tale che D(F) = f. F(x) si chiama "primitiva" (o "anti-derivata") di f(x) e l'integrale indefinito è l'insieme di tutte le primitive del tipo "f(x) + c" (per ogni c appartenente ad R) e si scrive ∫f(x)dx, in cui "dx" indica la

variabile- Esistono funzioni di cui non è possibile calcolare l'integrale, come ad esempio e^-x².∫xᵃdx = xᵃ+¹/a+1 ∫1/xdx = ln|x| ∫eᵡdx =eᵡ∫aᵡdx = aᵡ/lna∫[f(x)±g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx∫kf(x)dx = k∫f(x)dx (proprietà di linearità dell'integrale indefinito)

Integrali Definiti

Integrali Indefiniti quasi Immediati: vanno seguite 3 principali regole

1. ∫e^f(x)*f'(x)dx = e^f(x) + c
2. ∫f(x)ᵃ*f'(x)dx = f(x)ᵃ+¹/a+1 +c
3. ∫f'(x)/f(x)dx = ln|f(x)| + c

Integrali Definiti: si utilizza per calcolare l'area di piano compresa tra una funzione f(x) e l'asse x, questa regione di piano può essere rappresentata tramite un numero (che più è alto, maggiore è la precisione) di trapezi che la compongono, se la base va da 'a' a 'b', essa viene suddivisa in tanti piccoli segmenti (a-x1, x1-x2, ..., xn-b) che

Sono le basi di tali trapezi. Ogni trapezio ha una punta più alta (L) ed una più bassa (l) rispetto ad y, la prima prende il nome di "superiore di f(x)" (x₀ = sup), l'altra di "inferiore di f(x)" (x1 = inf.).

L'area totale della regione approssimata per difetto è quindi l(x1-x₀) + l₁(x2-x1)+ ... e viene chiamata "somma inferiore di f relativa alla suddivisione h" (s(f,H)). Con H uguale all'insieme di punti compresi tra a e b.

L'area totale approssimata per eccesso è invece L(x1-x₀) + L₁(x2-x1) + ... e viene denominata "somma superiore di f relativa alla suddivisione h" (S(f,H). S(f,H) > (o uguale) s(f,H)

Se il superiore maggiore di s e l'inferiore minore di S coincidono allora si dice che f(x) è integrabile (secondo Riemann) e si utilizza la scrittura ∫ₐᵇf(x)dx (integrale da a a b di f(x) in dx) che corrisponde ad un numero finito uguale al valore

dell'area totale.- a viene definito in questo caso estremo inferiore di integrazione, b estremo superiore ed x rappresenta la variabile muta (sarebbe uguale se fosse f(t) in dt). L'area totale può essere anche scritta tramite il simbolo ᵑΣᵢ₌₁ l/Lᵢ(xᵢ-xᵢ₋₁) (sommatoria n con i=1 di l/L, a seconda se è approssimata per difetto o eccesso, in base i per xᵢ-xᵢ₋₁). Proprietà degli Integrali Definiti Se una funzione va sotto l'asse x, per calcolare l'area totale bisogna sommare la parte di area sopra con la parte sotto cambiata di segno (Atot = A1-A2). - Se una funzione è dispari (ad esempio y = x³ in [-1,1]) il suo integrale viene 0. Se f è limitata e continua/monotona/discontinua in un numero finito di punti su [a,b] allora è integrabile. Proprietà: - ∫ₐᵇf(x)dx = -∫bᵃf(x)dx - ∫ₐᵃf(x)dx = 0 - ∫ₐꞓkf(x)dx = k∫ₐꞓf(x)dx 23 - ∫ₐꞓ[f(x)+g(x)]dx =

∫ₐꞓf(x)dx + ∫ₐᵇg(x)dx (linearità dell'integrale definito)- ∫ₐᵇf(x)dx = ∫ₐᵘf(x)dx + ∫ᵤꞓf(x)dx essendo a < u < b (additività)- |∫ₐꞓf(x)dx| < (o uguale) ∫ₐꞓf(x)dx- Se f(x) < g(x) per ogni x ϵ [a,b] allora ∫ₐꞓf(x)dx < ∫ₐꞓg(x)dx (monotonia)Teorema della Media Integrale (Valor Medio): se f: [a,b]R è continua (e quindi integrabile), esiste c ϵ [a,b] t.c f(c)= ∫ₐꞓf(x)dx /b-a (chiamato media integrale)= υ ("mi").- Dimostrazione: per il teorema di Weierstrass esistono max e min di f su [a,b] quindi ∫ₐꞓmdx < ∫ₐꞓf(x)dx < ∫ₐꞓMdx ma essendo m ed M costanti m <∫ₐꞓf(x)dx /b-a < M. Da ciò consegue che A (area) = (b-a)*f(c); inoltre è necessario applicare alla funzione il teorema dei valori intermedi in quanto se fosse discontinua presenterebbe un intervallo di altezza y variabile di valori intermedi che

non soddisfano il teorema. Funzione Integrale: F(x) = ∫ₐᵡf(t)dt per ogni x ϵ [a,b] con x che varia tra a e b. Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale: data sempre f: [a,b] → R, continua, allora F(x) = ∫ₐᵡf(t)dt è derivabile e F'(x) = f(x). - Ogni primitiva di f(x), che chiamiamo G(x), è uguale a F(x) + c = ∫ₐᵡf(t)dt + c, quindi ∫ₐᵡf(t)dt = G(b) - G(a) = F(b) - F(a) = F(x)|ₐꞓ. Metodo per Parti e Sostituzione Integrazione per Parti: ∫f'(x)*g(x)dx = f(x)*g(x) - ∫f(x)*g'(x)dx | ∫f(x)*g'(x)dx = f(x)*g(x) - ∫f'(x)*g(x)dx Integrazione per Sostituzione: nel caso si presenti un integrale del tipo ∫1/(1+5x)^1/2 dx, esso va ricondotto al tipo ∫1/x^1/2 dx, per farlo scriviamo che 1+5x = t (x = (t-1)/5) con dx = (1/5) dt, in tal modo viene fuori ∫1/t^1/2 * (1/5) dt che risulterà poi (1/5) * 2t^1/2 + c = 2(1+5x)^1/2 /5 + c. - Nel caso l'integrale sia definito bisognacalcolare gli estremi di integrazione in base alla variabile cambiata (se x = 3+ t, ∫˳ᵡ = ∫ᶟ⁺ ). Funzioni in 2 Variabili I punti stazionari vengono anche chiamati "critici". f(x,y): R² → R, si ha una coppia x,y a cui viene associato un valore z. Queste funzioni non possono essere rappresentate nel piano cartesiano bidimensionale perciò si ricorre ad un terzo asse z. x² + y² è una funzione definita "Paraboloide". Metodo tramite le curve (o insiemi) di Livello: data f(x,y): R² → R uguale a k, 25lev (level) = kf = {(x,y)ϵR² * f(x,y) = k}- Per rappresentare tale porzione di spazio si interseca un piano z alla funzione, l'intersezione risulta essere (nel caso di una funzione x² + y²) una circonferenza e viene riportata a livello z = 0. Funzioni in 2 Variabili Se consideriamo la funzione f(x,y) = x*y, il piano cartesiano rappresenta il livello lev=0 di f. gli altri livelli si calcolano con x*y = k x =y/k. → Curve di Indifferenza/Isoquanti: rappresentano l'insieme delle curve corrispondenti ai livelli della funzione. Per esempio per la funzione di prima, gli isoquanti sono tutti gli iperboli che si allontanano nelle varie direzioni all'aumentare o al diminuire di k.

Distanza tra 2 Punti: r = √((x₁-x₀)²+(y₁-y₀)²)
Se eleviamo questa formula al quadrato viene fuori proprio la formula della circonferenza di raggio r e centro (x₀,y₀): r² = (x₁-x₀)²+(y₁-y₀)².

Derivate Parziali:
Vengono scritte nella forma ꞓf/ꞓx (x,y) ("de effe in de x") per indicare una derivata nella sola variabile x e nella forma ꞓf/ꞓy (x,y), per indicare una derivata in y.
ES) f(x,y) = x²y + xy² + 3xᶟ
ꞓf/ꞓx (x,y) = 2xy + y² + 9x² (la y viene considerata come un)