Corso completo di Fondamenti di matematica

Definizioni e proposizioni

Le proposizioni sono frasi di senso compiuto che possono essere vere o false. Ad esempio: "4 è pari".

Operatori logici

• Negazione - ("non"), inverte il valore di verità/falsità
• Binari (operano su 2 proposizioni)
• Congiunzione ∧ ("e")
• Disgiunzione ∨ ("o")
• Implicazione ⇒ ("implica")

L'implicazione (p vera ⇒ q vera) è utilizzata nelle dimostrazioni dirette, l'implicazione contro-nominale (p non vera ⇒ q non vera) invece nelle dimostrazioni per assurdo. Una condizione è sufficiente nel caso "se p… allora q…", è necessaria nel caso "solo se p… allora q…".

Quantificatori

In p(x), x indica una variabile, in questo caso la proposizione si dice "aperta", essa si può chiudere con i quantificatori: non va mai invertito l'ordine di essi sennò cambia il significato.

• Universale ("per ogni")
• Esistenziali ("esiste")

"Tale che" viene scritto "t.c." (:)

Insiemi

Vengono indicati con la lettera maiuscola ("A"), vengono rappresentati per elencazione {1,2,3…} o per caratteristica {n|n è pari}. Gli elementi che vi appartengono vengono indicati con la lettera minuscola ("a"), il simbolo di appartenenza è "∈".

A ⊆ B: "A" è contenuto in "B", qualunque elemento di "A" appartiene anche a "B".

Operazioni tra insiemi

• A ∪ B: Unione
• A ∩ B: Intersezione
• A \ B: Differenza

Insieme vuoto (φ): non contiene nessun elemento. Complementare di "A": ΦA.

Insiemi numerici

N-Naturali, Z-Interi, Q-Razionali, R-Reali, vengono rappresentati sulla "Retta Reale", i Reali la ricoprono tutta (continuità della Retta Reale). Esistono intervalli limitati chiusi (a≤x≤b) indicati con [a,b] e aperti (a<x<b) indicati con ]a,b[ o (a,b).

Piano cartesiano

Esistono anche intervalli illimitati: superiormente chiuso [a, +∞[ A={0} "0" definito "singoletto" inferiormente chiuso ]-∞, a] superiormente aperto ]a, +∞[ inferiormente aperto ]-∞, a[

+∞[ / ]-∞ sono considerati chiusi, non aperti!

Prodotto cartesiano (A×B): insieme delle coppie ordinate {(a,b) : a ∈ A, b ∈ B}. Ad esempio, A = {x,y}, B = {1,2}, A×B = {(x,1), (y,1), (x,2), (y,2)}. Si può fare anche A×A.

Facendo R×R viene il Piano cartesiano che rappresenta tutte le coppie di numeri reali, ogni punto di esso è in corrispondenza biunivoca con una coppia.

Funzioni

Se ho 2 insiemi X,Y si definisce funzione da X ad Y un’assegnata corrispondenza che associa ad ogni elemento di X un elemento di Y. X = variabile indipendente, Y = variabile dipendente. f: R→R = "funzione reale di variabile reale".

Proprietà

• Iniettiva, se per ogni x ∈ X esiste al più un y ∈ Y.
• Suriettiva, se per ogni x ∈ X esiste almeno un y ∈ Y.
• Biiettiva (biunivoca), se è sia iniettiva che suriettiva.

Dominio

D(f) è più meno uguale al campo di esistenza (C.E). f(a) = immagine di f appartenente ad R. Se f è iniettiva e va da a ad f(a), la sua inversa va da f(a) ad a, le variabili si scambiano, essa viene rappresentata sul piano cartesiano come simmetrica alla funzione di partenza rispetto alla bisettrice del 1° e del 3° quadrante.

Funzione composta

Ha come variabile un’altra funzione, f ∘ g = f(g(x)) (f: R→R, g: R→R).

Funzione identità

f(I∘f(x)) = (f ∘ I∘f )(x) = Iy.

Funzioni elementari

• Crescente in senso stretto se x₁<x₂ ⇔ f(x₁)<f(x₂);
• Crescente se (e solo se) x₁<x₂ ⇒ f(x₁)≤f(x₂);
• Decrescente in senso stretto se x₁<x₂ ⇒ f(x₁)>f(x₂);
• Decrescente se x₁<x₂ ⇒ f(x₁)≥f(x₂).

Altre tipologie di funzioni

Funzione pari – f: A ⊆ R, con A simmetrico rispetto all’origine, se f(x) = f(-x).

Funzione dispari – f: A ⊆ R, se f(x) = -f(-x).

Funzione convessa

Se per ogni coppia x₁,x₂ ∈ R, considerati i punti (x₁, f(x₁)), (x₂, f(x₂)), il segmento che li unisce è al di sopra del grafico di f. Ad esempio f:y=x².

Funzione concava

Se il segmento che li unisce è sempre al di sotto del grafico di f. Ad esempio f: y=-x², f: y=x³ invece non è né concava né convessa.

Funzioni lineari

C’è proporzionalità diretta tra x e y, passano per l’origine ("O"). Ad esempio y = k.

Coefficiente angolare (m)

Grado di inclinazione di una retta rispetto all’asse x, y = mx.

Termine noto (q)

Traslazione della retta rispetto all’asse x, y = mx + q.

Retta per un punto

y - y₀ = m(x - x₀)

Retta per 2 punti

y = ((y₀ - y₁)/(x₀ - x₁)) *(x - x₁) + y₁.

Rette parallele

m₁ = m₂

Rette perpendicolari

m₁ = -1/m₂.

Funzioni quadratiche

y = ax² + bx + c (a≠0), esse possono avere nessuna/una/due soluzioni a seconda che il "Delta" ("D") sia minore/uguale/maggiore a 0. Senza ledere (perdere) la generalità, si può supporre a>0, quindi si ricava la formula per il calcolo dell’incognita: x = -b/2a ± √D/2a, con D = b² - 4ac.

Iperboli

La formula è: y = (ax + b)/(cx + d), essendo x ≠ -d/c. Le equazioni degli asintoti sono y = a/c e x = -d/c, il punto con tali coordinate è il "centro di simmetria".

Per stabilire l’orientamento dell’iperbole si fa f(0).

Funzione modulo di x (|x|)

Definita a tratti in un sistema che presenta il caso f(x)>0, f(x)<0. Viene utilizzato anche per misurare la distanza tra 2 punti.

• Nel caso di f(x)>k le soluzioni sono x<-k ∨ x>k
• Nel caso di f(x)<k sono invece –k<x<k (k>0).

Funzione potenza

f(x) = xⁿ ≥ 0. Tutte le funzioni potenza passano per il punto P(1;1) e in particolare per 0<x<1 x²>x³, invece per x>1 x²<x³.

• Allo stesso modo per 0<x<1, la funzione radice cubica di x è maggiore della funzione radice quadrata, viceversa per x>1.

Logaritmi

Funzione esponenziale (y = a^x): è iniettiva, sempre convessa e crescente in senso stretto se a>1, decrescente in senso stretto invece se 0<a<1; a⁰=1.

Proprietà

• a^x x a^y = a^x+y
• a^x : a^y = a^x-y
• a^x alla j = a^x*j

Se a<b, b^x>a^x per x>1, invece se a>b, a^x>b^x per x>1. Viceversa per 0<x<1 è il contrario. e = 2,718… = limite per x che tende a infinito di (1+1/x)^x.

Se la base è minore di 1, bisogna sempre cambiare di verso la disequazione (</> >/<).

Funzione logaritmica

(y = log_ax): è la funzione inversa dell’esponenziale, per a>1 è crescente in senso stretto e concava, per a<1 invece è decrescente in senso stretto e convessa.

• Scrivere logx è come scrivere log₁₀x, invece lnx indica il log_ex cioè il logaritmo naturale di x.

Proprietà

• log_a(x*y) = log_ax + log_ay (per ogni x>0, y>0, quindi anche per x*y>0)
• log_a(x/y) = log_ax - log_ay
• log_ax^h = hlog_ax (per ogni x>0).

Per risolvere sistemi di disequazioni si utilizza una tabella dei segni con al posto dei segni, delle linee tratteggiate in presenza della soluzione.

Disequazioni irrazionali

Per risolvere una disequazione del tipo: √(ennesima di) q(x) < p(x), se "n" è dispari basta fare il cubo delle due espressioni, se invece è pari si applica il sistema {q(x) > 0, p(x) ≥ 0, q(x) ≤ [p(x)]²}.

Per risolverne invece una del tipo: √(ennesima di) q(x) > (o ≥) p(x), con qualsiasi "n" si applica il sistema {q(x) ≥ 0, p(x) ≤ 0}, unito al sistema {p(x) ≥ 0, q(x) ≥ [p(x)]²}.

Disequazioni

Per risolvere una disequazione con uno o più valori assoluti si può utilizzare una tabella del tipo:

• - |x| < k -k < x < k
• - |f(x)| < k -k < f(x) < k
• - |x| > k x < -k ∨ x > k
• - |f(x)| > k f(x) < -k ∨ f(x) > k

(Esempio per la disequazione: |x-1| + |x-2| > 1).

Grafici di funzioni

Nel caso y = x, se si aggiunge 1 (y = x + 1) il grafico viene traslato verso l’alto di una unità e viceversa. Se invece si aggiunge uno a y = x², in modo che diventi y = (x+1)², il grafico viene spostato di un’unità a sinistra e viceversa.

Si può anche moltiplicare f(x) per una costante (k), se essa è maggiore di 1 il grafico verrà moltiplicato in altezza, se k è minore di 1 invece il grafico cambia verso di concavità. Se si applica il valore assoluto all’intera funzione, il grafico di essa verrà traslato specularmente sopra l’asse orizzontale nelle sue parti minori di 0. Se il modulo viene invece applicato alla sola incognita "x", il grafico risultante sarà solo la parte a destra dell’asse verticale rispetto al grafico di partenza.

A volte per disequazioni tipo "√(x+1) > 1 - √x" la risoluzione grafica è molto più semplice.

Limiti

Distanza tra 2 punti: |x₁-x₂|

Intorno: I(x₀, r) r > 0 = {x ∈ R: d (x, x₀) < r}, -r < x-x₀ < r quindi –r+ x₀ < x < r+x₀. Si può considerare anche solo l’intorno destro (+), [x₀, x₀+r[, o sinistro (-),]x₀-r, x₀].

I(+∞) = ]a, +∞], per ogni "a" ∈ R. La stessa cosa simmetrica con l’intorno di –∞.

Punto di accumulazione (x₀): è un punto a cui i punti dell’insieme stanno molto vicino, ma non fa parte dell’insieme. Per ogni I(x₀, r) (A ∪ {x₀}) ∩ I≠ φ.

Limite: si scrive nella forma lim f(x) = T con p che può essere uguale a x₀/+∞/-∞ x T che...