Riassunto Matematica - corso base

SERIE GEOMETRICA

Differenza tra le definizioni di somma e serie: ≥ 2

somma→ operatore che addiziona un numero finito di termini.

operatore che addiziona un’infinità numerabile di termini che possono essere messi in

Serie→

corrispondenza biunivoca con i numeri naturali.

∈ ,

In entrambi i casi sommiamo termini che sono indicizzati con i numeri naturali rispettivamente

per k= 1, 2, …, n { }

In una serie sommiamo i termini di una successione di numeri reali . Per estendere la somma ad un

∈

numero infinito di termini occorre poterla calcolare quando n aumenta indefinitivamente. Utilizzeremo

dunque l’operatore di limite per → ∞ applicandolo ad una successione di numeri reali particolare detta

{ } { }

Successione delle somme parziali di e indicata con .

∈

{ }

Somma parziale di { } { }

= , , … , , …

Consideriamo una successione di numeri reali Si definisce somma parziale di

1 2

{ },

arrestata al termine n la somma dei primi n termini della successione cioè:

= ∑

=1

Si ha: 1

1 ↔ = ∑ =

1 1

=1

2

2 ↔ = ∑ = +

2 1 2

=1

3

3 ↔ = ∑ = + +

3 1 2 3

=1

↔ = ∑ = + + + ⋯ +

1 2 3

=1

Ogni volta che fissiamo un successivo valore di n = 1, 2,… definiamo una somma che rispetto alla

{ }. ∈

precedente include un termine in più della successione Al variare di risulta così definita una

{ } { }.

nuova successione detta: successione delle somme parziali di

∈

{ } { }

Se la successione è indicizzata a partire da 0, la successione è comunque definita come la

{ }.

sequenza delle successive somme dei primi uno, due, tre.. termini della successione

{ }

Data la successione si definisce serie la somma di tutti i suoi (infiniti) termini cioè:

∈ ∞

∑

=1

lim = lim = ±∞

Se la serie è convergente con somma s; Se la serie è divergente (positivo o

→∞ →∞

lim ∄

negativo); Se la serie è indeterminata.

→∞

Per poter calcolare la somma di tutti gli infiniti termini della serie si ricorre alla successione delle somme

{ } lim

parziali e si calcola :

→∞

∞

∑ = lim ∑ = lim

→∞ →∞

=1 =1

La serie ∞

∑

=1

≥ 0 ∀ ∈ .

si dice a termini positivi se

La serie ∞

∑

=1

< 0 > 0 ∀ ∈ > 0 < 0 ∀ ∈

Si dice a segni alterni se: oppure

2−1 2 2−1 2

Serie armonica 1

{ } { }

= ∞:

Consideriamo i termini della successione armonica e facciamo la somma fino a

∈ ∈

∞ 1

∑

=1

La somma dei primi n termini è: ∞ 1 1 1 1

= ∑ = 1 + + + ⋯+

2 3

=1

1 si riduce all’aumentare di k.

{ }

Il generico termine della successione ∈

Questo può indurre nella conclusione erronea che la serie sia convergente. Si può invece dimostrare che la

serie è divergente. In questo caso si ha il risultato:

lim = +∞ ℎ lim = 0

→∞ →∞

Serie geometrica

Consideriamo progressione geometrica di ragione q e la somma dei suoi primi n termini (da k = 0 a k = n-1):

−1

∑

=0

Possiamo riscrivere la serie in maniera equivalente, ma a partire dal termine k-1:

−1

−1

∑ = ∑

=0 =1

Estendendo la somma agli infiniti termini della progressione si ha:

∞ −1 →

∑ serie geometrica di ragione q

=1

∞ −1 →

∑ serie geometrica di ragione q e primo termine a

=1

≠ 1

Per la somma dei primi n termini è data da:

1 −

−1 2 3 −1

= ∑ = 1+ + + +⋯+ =

1−

=1

E da:

1 −

−1 −1

= ∑ = ∑ =

1−

=1 =1

1− 1

0 < < 1: lim = lim =

Se quanto più q è piccolo e vicino a 0, tanto più la somma degli

1− 1−

→∞ →∞ 1

=

infiniti termini si avvicina a 1. La serie è convergente con somma 1−

1−

lim = lim = +∞

Se q > 1: il numeratore diverge negativamente, ma il denominatore, per n

1−

→∞ →∞

elevato, è negativo. La serie diverge positivamente.

Per la serie geometrica il caso q = 1 va valutato a parte perché non si può applicare la formula sopra e si ha:

= 1 + 1 + ⋯ + 1 (n volte). Tutti i termini della serie sono positivi e uguali a 1. La serie diverge

positivamente. ()

Tipologie di discontinuità per () : → , ∈ ,

Consideriamo la definizione di continuità di in un punto . Sia punto di

0 0 0

accumulazione per A. è continua in se:

0

• lim () =

Esiste finito → 0

• = ( )

0

()

Se in per si ha una discontinuità di qualsiasi tipo, si dice punto singolare di f.

0 0

()

Per classificare tutti i casi di discontinuità di in :

0

Discontinuità di I specie ⌊⌋,

() =

Esempio: la funzione con dominio R presenta una discontinuità di I specie (di salto) in ogni

= , ∈ .

0 1

() = , /{0} = 0

Esempio: la funzione con dominio presenta una discontinuità di II specie in dovuta

0

al fatto che sia il limite destro che quello sinistro per x che tende a 0 risultano infiniti.

sin

() = ∈ /{0} = 0

Esempio: la funzione , con presenta una discontinuità eliminabile in perché la

0

= 0.

funzione non è definita 0

TEOREMI PER FUNZIONI CONTINUE

Teorema della permanenza del segno ) (( )

(): → , ∈ ( > 0 < 0)

Data di accumulazione per A, se f è continua in : se allora

0 0 0 0

() > 0 (() < 0).

esiste un intorno di in cui

0

(): → , (): → , ∈ ∩

Dati di accumulazione sia per A che per B, se e sono entrambe

0

continue in anche le funzioni seguenti:

0 () + ()

() − ()

() ∗ ()

() ( ) ≠ 0

0

() 2

() = + + + ⋯ + ≠ 0

La funzione polinomiale è continua su tutto R.

0 1 2

2

+ + +⋯+

0 1 2

() = , ≠ 0

La funzione polinomiale è continua su tutto il dominio.

2

+ + +⋯+

0 1 2

MASSIMI E MINIMI DI UNA FUNZIONE

Punto di massimo relativo

() ∈ ,

Data la funzione definita su un intervallo A, e un punto è detto punto di massimo relativo

0 0

() ,

per se esiste un intorno di , tale che:

0 0 ∈ ∩ → () ≤ ( )

0

0

( ) ().

Il valore è detto massimo relativo di

0

Punto di minimo relativo

() ∈ ,

Data la funzione definita su intervallo A, e un punto è detto punto di minimo relativo per

0 0

() ,

se esiste un intorno di , tale che:

0 0 ∈ ∩ → () ≥ ( )

0

0

( ) ().

Il valore è detto minimo relativo di

0

Si parla di punto di massimo e minimo proprio quando la disuguaglianza è stretta.

()

Punto di massimo assoluto per

() ∈ ,

Data la funzione definita su un intervallo A, e un punto è detto punto di massimo assoluto

0 0

()

per se: ∈ → () ≤ ( )

0

( ) ().

Il valore è detto massimo assoluto di

0

Punto di minimo assoluto

() ∈ ,

Data la funzione definita su un intervallo A, e un punto è detto punto di minimo assoluto

0 0

()

per se: ∈ → () ≥ ( )

0

)

( ().

Il valore è detto minimo assoluto di

0 ()

Un punto di massimo (minimo) assoluto per è necessariamente un punto di massimo (minimo) relativo

().

per ()

Dimostrazione: se è un punto di massimo assoluto per si ha:

0 ∈ → () ≤ ( )

0

Considerando i soli punti x in un qualsiasi intorno di si ha:

0

0

∈ ∩ → () ≤ ( )

0

0

Teorema di Weierstrass

Ogni funzione continua in un intervallo chiuso e limitato è dotata di massimo e di minimo assoluto, cioè

[,

, ∈ ]

esistono tali che:

) ) [,

= ( ≤ () ≤ ( = ∀ ∈ ]

significa che negli estremi a e b dell’intervallo essa assume valori finiti

() [, ]

definita e continua in

() ():

e lim () = () lim () = ()

−

+ →