Riassunto Matematica - corso base

MATEMATICA CORSO BASE

OPERAZIONI SUI LIMITI DI SUCCESSIONI

∈ ∈

Teorema Siano e due successioni convergenti per le quali si ha:

( ) ( )

lim = lim =

→∞ →∞

,

Il limite della successione che si ottiene sommando o sottraendo e oppure moltiplicando o dividendo

≠ 0) è uguale al risultato della stessa

le due successioni (per la divisione sotto la condizione che sia

.

operazione razionale applicata a e a

Caso 1: somma e sottrazione di limiti: lim ± = ±

→∞

Caso 2: prodotto di limiti: lim × = ×

→∞

Caso 3: divisione di limiti:

lim = ≠0

→∞

Caso 4: reciproco del limite: 1 1

lim = ≠0

→∞

Successioni infinite e infinitesime: 1

lim | | = +∞ =0

→∞

1

lim =0 = ±∞

→∞

In generale abbiamo i seguenti casi:

NOTA: Lo schema si legge riga per riga considerando gli elementi con segno ± nell’ordine in cui sono

scritti. Ad esempio la prima riga corrisponde a:

lim = lim = +∞ → lim + = +∞

→∞ →∞ →∞

lim = lim = −∞ → lim + = −∞

→∞ →∞ →∞

Come per i limiti di funzioni, si possono generare le quattro forme indeterminate:

0 ∞

+∞ − ∞ 0×∞ 0 ∞

Valgono anche i seguenti risultati. | | ||

lim = → lim =

Teorema: Se

→∞ →∞

lim = ≥ 0 → lim √ = √

Teorema: Se

→∞ →∞

SUCCESSIONI LIMITATE E ILLIMITATE

è limitata se l’insieme

∈

Una successione (1,2,3,…,,…) è limitato, cioè se:

≤

∃ ∈ : ∀ ∈

∈

Una successione è illimitata se non è limitata.

Se una successione è convergente → allora essa limitata. Non vale il viceversa: il teorema stabilisce una

condizione solo necessaria, cioè non è detto che una successione limitata debba convergere.

{(−1) }

La successione è limitata, ma non converge (è indeterminata).

Se una successione è divergente → allora essa illimitata. Non vale il viceversa: il teorema stabilisce una

condizione solo necessaria, cioè non è detto che una successione illimitata debba divergere.

indeterminata }

La successione{(−1) è illimitata, ma non diverge (è indeterminata).

REGOLARITA’ DELLE SUCCESSIONI MONOTE

)}

Una successione{( monotona non decrescente (non crescente) ammette come limite il suo estremo

Ricordando che il supA può essere finito o infinito, così come l’infA,

superiore (inferiore).

{(

= )}

considerando si ha:

è monotona e limitata → converge

{( )}

Se è monotona e illimitata → diverge

{( )}

Se {( )} {( )} =

Dimostrazione: non decrescente limitata superiormente con finito

{( )} = , ≤ ∀

Siccome si ha:

Considerando un qualsiasi ε > 0: ∃ : − < ≤

{( )} − < ≤ ≤ ∀ >

Siccome è non decrescente si ha:

∀ > 0 ∃ : − < ≤ ∀ >

Abbiamo:

∀ > 0 ∃ : − < ≤ + ∀ >

∀ > 0 ∃ : − < − ≤ ∀ >

lim =

→∞

{ } }

{ = +∞

non decrescente illimitata superiormente con

}

{ = +∞,

Siccome si ha:

∀ ∃ : >

{ }

Siccome è non decrescente si ha:

< ≤ ∀ >

∀ ∃ : < ∀ >

lim = +∞

→∞

INFINITI E INFINITESIMI

()

Data una funzione f: A→R, e punto di accumulazione per A. la funzione si dice infinitesima in

0 0

(o per x che tende a ) se

0 lim () = 0

→ 0

()

Data una funzione f: A→ R, e punto di accumulazione per A. la funzione si dice infinita in (o per

0 0

x che tende a ) se

0 |()|

lim = +∞

→ 0

() () →

Consideriamo due funzioni, e e (con finito o infinito). Nel caso in cui siano entrambe

0 0

→ () ()

infinite o entrambe infinitesime per x può essere necessario misurare la velocità con cui e si

0

avvicinano al loro valore limite quando si avvicina a .

0

Supponiamo: lim () = +∞ lim () = +∞

→ →

0 0

() ≠ 0 () ()

Se possiamo confrontare le velocità con cui e si avvicinano a +∞ attraverso il limite del

loro rapporto: ()

lim ()

→ 0

L’ordine di infinito di una funzione infinita misura la velocità con cui la funzione tende al suo valore limite

infinito. Calcolando il limite del rapporto di due funzioni infinite è possibile confrontare i loro ordini di

infinito.

L’ordine di infinitesimo di una funzione infinitesima misura la velocità con cui la funzione tende al suo

valore limite nullo. Calcolando il limite del rapporto di due funzioni infinitesime è possibile confrontare i

loro ordini di infinitesimo. () () () ≠ 0

Consideriamo due funzioni, e e x→ , con finito o infinito e in :

0 0 0

lim () = 0 lim () = 0

→ →

0 0

() ()

Infinitesimo di ordine superiore: si dice che è infinitesimo di ordine superiore rispetto a per

→ se:

0 ()

lim =0

()

→ 0

() ()

Infinitesimo di ordine inferiore: si dice che è infinitesimo di ordine inferiore rispetto a per

→ se:

0 ()

lim | | = +∞

()

→ 0

() () →

Infinitesimo dello stesso ordine: si dice che e sono infinitesimi dello stesso ordine per 0

se: ()

lim =

()

→ 0

() ()

Infinitesimi non confrontabili: se per e non vale alcuna tra le definizioni sopra citate, per

→ →

, si dice che f(x) e g(x) sono infinitesimi non confrontabili per . In questo caso

0 0

()

lim ∄

()

→ 0

() → ()

Infinitesimo di ordine r: si dice che è infinitesimo di ordine r per se, essendo

0

l’infinitesimo campione relativo a , si ha:

0 |()|

∃ > 0: lim = ( > 0 )

|()|

→ 0

() ()

La più semplice funzione infinitesima con cui confrontare la funzione infinitesima quando

→ è:

0

() = − ≠

se è finito:

0 0 0

1

= ±∞: () = ≠ 0

se con

0

il loro ordine di infinitesimo è r = 1.

() () () ≠ 0

Consideriamo due funzioni, e e x→ , con finito o infinito e in :

0 0 0

lim () = +∞ (−∞) lim () = +∞ (−∞)

→ →

0 0

() ()

Infinito di ordine superiore: si dice che è infinito di ordine superiore rispetto a per

→ se:

0 ()

lim | | = +∞

()

→ 0

() ()

Infinito di ordine inferiore: si dice che è infinito di ordine inferiore rispetto a per

→ se:

0 lim ()/() = 0

→ 0

() () →

Infiniti dello stesso ordine: si dice che e sono infiniti dello stesso ordine per se:

0

()

lim =

()

→ 0

() ()

Infiniti non confrontabili: se per e non vale alcuna tra le definizioni sopra citate, per

→ →

, si dice che f(x) e g(x) sono infinitesimi non confrontabili per . In questo caso

0 0

()

lim ∄

()

→ 0 l’infinito

() → ()

Infinitesimo di ordine r: si dice che è infiniti di ordine r per se, essendo

0

campione relativo a , si ha:

0 |()|

∃ > 0: lim = ( > 0 )

|()|

→ 0

{ }

∈

Consideriamo fissato e la successione . Il comportamento al limite di questa successione

∈

∈ :

dipende dal valore

A partire da questi limiti è possibile stabilire la relazione che esiste tra alcuni importanti successioni infinite:

, !,

→0

! È l’infinito

! più potente

→0

! +∞ >1

||

0 ≤ 1

→ { > 1:

per è dominato da che è denominato da n!

∄, < −1

SERIE GEOMETRICA

Differenza tra le definizioni di somma e serie: ≥ 2

somma→ operatore che addiziona un numero finito di termini.

operatore che addiziona un’infinità numerabile di termini che possono essere messi in

Serie→

corrispondenza biunivoca con i numeri naturali.

∈ ,

In entrambi i casi sommiamo termini che sono indicizzati con i numeri naturali rispettivamente

per k= 1, 2, …, n { }

In una serie sommiamo i termini di una successione di numeri reali . Per estendere la somma ad un

∈

numero infinito di termini occorre poterla calcolare quando n aumenta indefinitivamente. Utilizzeremo

dunque l’operatore di limite per → ∞ applicandolo ad una successione di numeri reali particolare detta

{ } { }

Successione delle somme parziali di e indicata con .

∈

{ }

Somma parziale di { } { }

= , , … , , …

Consideriamo una successione di numeri reali Si definisce somma parziale di

1 2

{ },

arrestata al termine n la somma dei primi n termini della successione cioè:

= ∑

=1

Si ha: 1

1 ↔ = ∑ =

1 1

=1

2

2 ↔ = ∑ = +

2 1 2

=1

3

3 ↔ = ∑ = + +

3 1 2 3

=1

↔ = ∑ = + + + ⋯ +

1 2 3

=1

Ogni volta che fissiamo un successivo valore di n = 1, 2,… definiamo una somma che rispetto alla

{ }. ∈

precedente include un termine in più della successione Al variare di risulta così definita una

{ } { }.

nuova successione detta: successione delle somme parziali di

∈

{ } { }

Se la successione è indicizzata a partire da 0, la successione è comunque definita come la

{ }.

sequenza delle successive somme dei primi uno, due, tre.. termini della successione

{ }

Data la successione si definisce serie la somma di tutti i suoi (infiniti) termini cioè:

∈ ∞

∑

=1

lim = lim = ±∞

Se la serie è convergente con somma s; Se la serie è divergente (positivo o

→∞ →∞

lim ∄

negativo); Se la serie è indeterminata.

→∞

Per poter calcolare la somma di tutti gli infiniti termini della serie si ricorre alla successione delle somme

{ } lim

parziali e si calcola :

→∞

∞

∑ = lim ∑ = lim

→∞ →∞

=1 =1

La serie ∞

∑

=1

≥ 0 ∀ ∈ .

si dice a termini positivi se

La serie ∞

∑

=1

< 0 > 0 ∀ ∈ > 0 < 0 ∀ ∈

Si dice a segni alterni se: oppure

2−1 2 2−1 2

Serie armonica 1

{ } { }

= ∞:

Consideriamo i termini della successione armonica e facciamo la somma fino a

∈ ∈

∞ 1

∑

=1

La somma dei primi n termini è: ∞ 1 1 1 1

= ∑ = 1 + + + ⋯+

2 3

=1

1 si riduce all’aumentare di k.

{ }

Il generico termine della successione ∈

Questo può indurre nella conclusione erronea che la serie sia convergente. Si può invece dimostrare che la

serie è divergente. In questo caso si ha il risultato:

lim = +∞ ℎ lim = 0

→∞ →∞

Serie geometrica

Consideriamo progressione geometrica di ragione q e la somma dei suoi primi n termini (da k = 0 a k = n-1):

−1

∑

=0

Possiamo riscrivere la serie in maniera equivalente, ma a partire dal termine k-1:

−1

−1

∑ = ∑

=0 =1

Estendendo la somma agli infiniti termini della progressione si ha:

∞ −1 →

∑ serie geometrica di ragione q

=1

∞ −1 →

∑ serie geometrica di ragione q e primo termine a

=1

≠ 1

Per la somma dei primi n termini è data da:

1 −

−1 2 3 −1

= ∑ = 1+ + + +⋯+ =

1−

=1

E da:

1 −

−1 −1

= ∑ = ∑ =

1−

=1 =1

1− 1

0 < < 1: lim = lim =

Se quanto più q è piccolo e vicino a 0, tanto più la somma degli

1− 1−

→∞ →∞ 1

=

infiniti termini si avvicina a 1. La serie è convergente con somma 1−

1−

lim = lim = +∞

Se q > 1: il numeratore diverge negativamente, ma il denominatore, per n

1−

→∞ →∞

elevato, è negativo. La serie diverge positivamente.

Per la serie geometrica il caso q = 1 va valutato a parte perché non si può applicare la formula sopra e si ha:

= 1 + 1 + ⋯ + 1 (n volte). Tutti i termini della serie sono positivi e uguali a 1. La serie diverge

positivamente. ()

Tipologie di discontinuità per () : → , ∈ ,

Consideriamo la definizione di continuità di in un punto . Sia punto di

0 0 0

accumulazione per A. è continua in se:

0

• lim () =

Esiste finito → 0

• = ( )

0

()

Se in per si ha una discontinuità di qualsiasi tipo, si dice punto singolare di f.

0 0

()

Per classificare tutti i casi di discontinuità di in :

0

Discontinuità di I specie ⌊⌋,

() =

Esempio: la funzione con dominio R presenta una discontinuità di I specie (di salto) in ogni

= , ∈ .

0 1

() = , /{0} = 0

Esempio: la funzione con dominio presenta una discontinuità di II specie in dovuta

0

al fatto che sia il limite destro che quello sinistro per x che tende a 0 risultano infiniti.

sin

() = ∈ /{0} = 0

Esempio: la funzione , con presenta una discontinuità eliminabile in perché la

0

= 0.

funzione non è definita 0

TEOREMI PER FUNZIONI CONTINUE

Teorema della