Corso Algebra I

Name: Corso Algebra I
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Author: el_ces_94

Revisionato il 25/06/2026

di el_ces_94

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Insiemi numerici classici: N, Z, Q e R.Principali motivazioni che hanno portato, via via, all'ampliamento di N a Z fino ad arrivare ad R.Dimostrazioni per assurdo e dimostrazioni per induzione. …

Esame Algebra I

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Buratti Marco

Università Università degli Studi di Perugia

A.A. 2013-2014

48 pagine

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Estratto del documento

Teorema della divisione

Seconda dimostrazione dell'esistenza

b = aq + r

Considero l'insieme S = {m ∈ N | am ≤ b}.

Max S = q?
b - aq = r ⇒ b = aq + r.

S è limitato superiormente infatti m ∈ N e am ≤ b ⇒ dovete max.

r ≥ 0 perché b - am ≥ 0 per ipotesi.

r < a, insieme
b - aq = r ⇒ b - aq ≥ 0 ⇒ q = max S.

Identità di Bézout

d = d = kcd(a,b) ⇒ ∃ x, y ∈ ℤ t.c. d = ax + by

Considero l'algoritmo di Euclide:

d₀ = -q₀a + b = x₀a + y₀b

q = q₀ (x₀a + y₀b) + r₁ ⇒ y₁a = (1 - q₀x₀) + (y₀ - q₁y₁) b

x_a + y_b = q₁ (a x + b y₁) + t₂ ⇒ l₂ = a (x₀ - x₁y₁)

x_m-2a + y_m-2b = q_m-1(a^x_m-1 + b y^x_m-1) + l_m ⇒ l_m = a (x_m-2x_m-1)

Non è detto che la coppia (x, y) sia unica!

Teorema della divisione (seconda dimostrazione)

b = qa + r

Considero l'insieme S = {m ∈ ℕ | m = b - qa}.

Max S = 0?
b - q₀a = r₀ → b = q₀a + r₀.

S è limitato superiormente infatti m ∈ ℕ e m ≤ b ⇒ può esistere max ∀q < q₀, inseriti#.

q₀a b - q₀a = r ⇒ b - q₀a > a ⇒ q (1+q) ≤ b ⇒ 1 ≥ q ≤ b; ciò è assurdo dunque q = max S.

Identità di Bézout

d = d = k(CDE di a,b) → ∃ x, y ∈ ℤ t.c. d = ax + by a, b ∈ ℕ

Dimostrazione:

Considero l'algoritmo di Euclide:

r₀ = -qa + b = x₀a + y₀b

q = q₁(a y₁,b) + r₁, ⇒ y₁ = a(1 -q₁x₀)

bx₁a + y₁b = q₁(ax + b y₀) + r₁

x₂ = a(x₁ - q₁x)

x_m-2a + y_m-2b = q_m-1(a^x_m-1 + by^x_m-1) + r_m

r_m = a (x_m-2 - q_m-1x_m+1) + b(y_m-2 - q_m-1y_m+1)

Non è detto che la coppia (x,y) sia unica!

Definizione MCD

∀a,b∈&Nopf; ∃d∈&Nopf; d=MCD(a,b) t.c.

d|a ∧ d|b
∃ d' a ≠d|d ⇒ d'|d

Algoritmo di Euclide

b=q_aa+r_a

a=q₀b+r₁

r₀=q₁r₁+r₂

r_m-2=q_mr_m+r_m+1=0⇒ r_m=MCD(a,b)

Dimostrazione

Proprietà 1)

r_m-1=q_mr_m

r_m-2=q_m-1(q_mr_m)+r_m=r_m(q_m-1+q_mq_m-1)

r₀=q₁(r_mS₂)+r_mS₃=r_m(S₂+q₁S₂)

S₁a=q₀(r_mS₁)+r_mS₂-r_m(S₂+q₀S₁)

S₀=r_mS₀b=q₁(r_mS₀)+r_mS₁=r_m(S₀+S₁)

S=r_mS⇒ r_m|a ∧ r_m|b OK

Proprietà 2)

Consenso dell'n t.c. d|a ∧ d|b ⇒ a=dα ∧ b=dβ

dβ=q₀dα+d_γ ⇒ d_γ=d(β-q₀)⇒β_γ

dα=q₁dβ+d_γ₁ ⇒ d_{γ₁=d(α-q₁dβ)⇒β₁}

dβ_γ₁=q₂d_{γ₂ ⇒ d_{γ₂=d(β₀-q₁dβ₁)⇒β₂}}

dρ_m=q_m-1d_{γ_m+r_m⇒r_m=d(ρ_m-2-q_m-1ρ_m+1)⇒ d|r_m OK}

Teorema della divisione

∀a, b∈N con a≠0 ∃! (p, q)∈N t.c. b=a·q+r 0≤r

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