Coordinate polari per integrali doppi

Cambiamento di variabili per gli integrali doppi

Per gli integrali semplici esiste il metodo di sostituzione, che li può semplificare di parecchio, mentre per quelli doppi esiste il cambiamento di variabili: sia T un dominio regolare del piano di coordinate, date due funzioni \(u\), \(v\)

• x = x(u, v)
• y = y(u, v)

con \((u, v) \in T\), entrambe di classe \(C^1\), si indica con \(\Phi(T)\) l’applicazione: \(\Phi : (u, v) \rightarrow (x(u, v), y(u, v))\). Sia D il codominio di \(\Phi\), si definisca inoltre il determinante jacobiano dell’applicazione \(\Phi\):

\[ J(T) = \det \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{bmatrix} \]

Lo jacobiano è continuo su T per ipotesi, dato che le funzioni erano di classe \(C^1\). Allora vale la seguente formula di sostituzione: siano D, T due domini regolari di \(\mathbb{R}^2\) legati fra di loro tramite l’applicazione regolare \(\Phi : T \rightarrow D\). Allora per ogni funzione continua \(f : D \rightarrow \mathbb{R}\) si ha:

• \[ \int \int_D f(x, y) \, dx \, dy = \int \int_{\Phi(T)} f(x(u, v), y(u, v)) \cdot \left| \det \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{bmatrix} \right| \, du \, dv \]

Affinché la trasformazione sia regolare:

1. L’applicazione \(\Phi : T \rightarrow D \subset \mathbb{R}^2\) deve essere di classe \(C^1\);
2. L’applicazione deve indurre una corrispondenza biunivoca fra la frontiera di D e la frontiera di T;
3. Il determinante jacobiano di \(\Phi\) è diverso da 0 in \(T\) \((\forall (u, v) \in T)\).

Si prova inoltre che, se la trasformazione è regolare, allora D è regolare e l’orientamento positivo della frontiera \(\partial T\) corrisponde all’orientamento positivo di \(\partial D\). Se lo jacobiano è minore di 0, allora gli orientamenti delle frontiere risulteranno opposti.

Data la corrispondenza fra i due domini regolari, avendo la funzione \(f(x, y)\), si può calcolare l’area del dominio D con:

\[ m(\Phi(T)) = \int_T \left| \det \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{bmatrix} \right| \, du \, dv \]

Esempio di trasformazione

Prendiamo come esempio di trasformazione il passaggio a coordinate polari di una funzione \(f(x, y) \in C^0\):

\(\Phi : (\rho, \theta) \rightarrow (\rho \cos \theta, \rho \sin \theta)\) con \(\Phi(T) \subset D\), \(\theta \in [0, 2\pi]\).

Questa è una trasformazione che modifica un dominio T costituito da un rettangolo di altezza 2\(\pi\) e di lunghezza \(r\) in una circonferenza di raggio \(r\).

La trasformazione non risulta regolare, poiché se si prendono i punti del tipo \(\Phi: (0, \theta) = (0, 0), \theta \in [0, 2\pi]\), lo jacobiano risulterà sempre nullo, mentre se si prendono i punti \(\Phi: (\rho, 0) = (\rho, 0)\) si ha, andando a calcolare manualmente lo jacobiano, si possono provare le considerazioni:

\[ J(\rho, \theta) = \det \begin{bmatrix} \cos \theta & -\rho \sin \theta \\ \sin \theta & \rho \cos \theta \end{bmatrix} = \rho \]

Che non è sempre diverso da 0 (è nullo nei punti sull’asse delle ascisse nel dominio T). Tuttavia, nonostante l’irregolarità, la trasformazione vale comunque, e si avrà genericamente:

\[ \int \int_D f(x, y) \, dx \, dy = \int \int_T f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \cdot \rho \, d\rho \, d\theta \]

La trasformazione si può fare anche con corone e settori circolari. Riassumendo, se il raggio \(r\) è uguale a 0, si nota che nella circonferenza, ruotando si sta sempre sullo stesso punto, quindi la trasformazione non è più biunivoca, mentre di conseguenza sul rettangolo si annulla l’area. Consideriamo adesso perché si può fare.

Mi considero i due insiemi \(T_n\) e \(C_n = \Phi(T_n)\) e mi vado a calcolare il rettangolo che ha come base \(n\) e come altezza \(\frac{1}{n}\), in modo che:

• \[ T_n = \{ (\rho, \theta) : \frac{1}{n} \leq \rho \leq r, 0 \leq \theta \leq 2\pi \} \]

Che corrisponde a un settore di corona circolare proiettato in questo modo: \(r - 2\pi\). In cui \(r\) rappresenta il raggio del dominio.