Esercitazione su: Trasformazioni di coordinate, Integrali doppi e tripli (Analisi 2)

Trasformazione e diffeomorfismo locale

La funzione T : R² → R² definita da:

T(x, u) = (e^x, y)

T(y, v) = (x + e³, y)

è un diffeomorfismo locale se il determinante della sua matrice jacobiana è diverso da zero.

La matrice jacobiana di T è:

JT(x, y) =

| e^x 0 |

| 1 0 |

Il determinante di JT è e^x.

Quindi, la trasformazione è un diffeomorfismo locale intorno ai punti in cui il determinante è diverso da zero, cioè quando e^x ≠ 0.

diffeomorfismo locale intorno a tutti i punti.

6↵ = 0. TSapendo poi che è l’unica controimmagine di calcolare la matrice jacobiana(0, 0) (1, 1),dell’inversa in (1, 1).Abbiamo 1 1JT (1, 1) = (JT (0, 0)) .Siccome ✓ ◆1 ↵JT (0, 0) = ,1 ↵vale ✓ ◆1 ↵ ↵1JT (1, 1) = .1 12↵Esercizio 10.5. Stabilire se le seguenti applicazioni sono diffeomorfismi localiR R2 2!F :o globali:a) x(u, v) = F (x, y) = (e , x y).La funzione è evidentemente di classe perché lei e le sue derivate di qualsiasi1F Cordine sono esponenziale e polinomi.La matrice jacobiana di èF ✓ ◆xe 0JF (x, y) = .1 1Il suo determinante è . La trasformazione è un diffeomorfismo locale intornoxe Fai punti in cui il determinante è diverso da cioè in tutto . È un diffeomorfismoR 20,se e solo se è biiettiva. Intanto è iniettiva perché se allora0 0F (x, y) = F (x , y )0 per cui per la prima componente

e quindi0 0 0x x(e , x y) = (e , x y ) x = xper la seconda. Invece non è suriettiva perché quindi non possiamo0 xy = y e > 06raggiungere i punti con È un diffeomorfismo globale se restringiamo(u, v) u 0.il codominio a R.

1) ⇥(0; 4b) (u, v) = F (x, y) = ( x, y).La funzione è evidentemente di classe perché lei e le sue derivate di qualsiasi1F Cordine sono polinomi (tutte le derivate sono pure costanti!).La matrice jacobiana di èF ✓ ◆1 0JF (x, y) = .0 1Il suo determinante è La trasformazione è un diffeomorfismo locale intorno1. Fai punti in cui il determinante è diverso da cioè in tutto . È un diffeomorfismoR 20,globale perché è biiettiva, essendo il proprio inverso.

Integrali doppiEsercizio 10.6. Calcolare il seguente integrale doppio:ZZ dxdyxyDove è il dominio limitato del piano compreso fra le due curve di equazione e2D y = x 1y = x +1Il dominio è così fatto:2. y2y

= x² + 1 B²A x² + 2Dy = x + 1

Le due curve si intersecano nei punti di coordinate tali che per 2(x, y) y = x² + 1 = x + 1, cui ovvero (1, 0) e (2, 3).

Sono quindi i punti di intersezione.

Il dominio può essere descritto come R² = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x² + 1}.

Possiamo perciò calcolare l'integrale ∫∫_D (x + 1) dxdy = ∫∫_D (x² + 1) dydx = ∫∫_D xy dydx = ∫∫_D xy dxdy.

Calcoliamo l'integrale:

∫∫_D xy dxdy = ∫₀² ∫₀^{x2 + 1} xy dydx = ∫₀² [(1/2)xy²]₀^{x2 + 1} dx = ∫₀² (1/2)x(x² + 1) dx.

Calcoliamo l'integrale:

∫₀² (1/2)x(x² + 1) dx = (1/2)∫₀² (x³ + x) dx = (1/2)[(1/4)x⁴ + (1/2)x²]₀² = (1/2)[(1/4)(2⁴) + (1/2)(2²)] = (1/2)[(1/4)(16) + (1/2)(4)] = (1/2)[(4 + 2)] = (1/2)(6) = 3.

Quindi il risultato dell'integrale doppio è 3.

Esercizio 10.7. Calcolare i seguenti integrali doppi:

a) ∫∫_D 2sin(y) dxdy, con D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x²}

Il dominio è così fatto:

Possiamo vedere il dominio in (almeno) due modi: o con x ∈ [0, 2], y ∈ [0, x²], o con x ∈ [0, 2], y ∈ [0, √x]. La prima rappresentazione è quella che propone il testo.

ypossibilità non è particolarmente utile perché in tal caso dovremmo integrare la2funzione con variabile e non conosciamo primitive di (per essere precisi ilsin yy ysospetto è che sia una “nuova” funzione, che non si può esprimere con quelle note).Usiamo quindi l’altra possibilità.ZZ Z Z Z Z2 2⇡ y ⇡ y2 2 2sin y sin y sin ydxdy dxdy dxdy= =y y yD 0 0 0 0Z Z Z2y⇡ ⇡ ⇡2sin y 1 cos(2y)dy dy dy2= x = y sin y = yy 20 0 00  Z⇡ ⇡ ⇡21 y 1 y sin(2y) 1 dy= + sin(2y)2 2 2 2 4 00 02⇡= .4ZZ 2 6 >yb) dxdy, con .R 2 2 2|x|ye 2D = (x, y) : x + y 1, x 0DIl dominio è così fatto: 64. y1 x1 11Il dominio è simmetrico rispetto all’asse la funzione da integrare è dispari inx, yper cui l’integrale è uguale a 0.ZZ 2 6 >yc) dxdy, con .R 2 2 2|x|ye 2D = (x, y) : x + y 1, y 0DIl dominio è così fatto:5. y1 x1 11 p6 6 6 6Il dominio è Il dominio èR 2 2{(x,

2 }.D = y) : 1 x 1, 0 y 1 xsimmetrico rispetto all'asse la funzione da integrare è pari in per cui l'integraley, xè il doppio dell'integrale sulla metà del dominio p6 6 6 60 R 2 2{(x, 2 }.D = y) : 0 x 1, 0 y 1 xAbbiamo quindi pZZ ZZ Z Z 21 1 x2 2 2dxdy dxdy dydxy y yxye = 2 xye = 2 xye0D D 0 0pZ Z Z ph i21 1 x 1 21 x2 2dydx dxy y= x 2ye = x e 00 0 0" #Z 1⇣ ⌘ 21 1 x 2e x2 dx1 x= xe x = 20 07e= 1.2ZZ 1 > 6d) dxdy, con .xR 2 2 22D = (x, y) : y , x + y 122 21 + x + yDIl dominio è così fatto:6. y1 ✓ 0 x1 1xy = 21In questo caso, può essere una buona idea cambiare variabile e usare le coordinatepolari. Infatti, la funzione dipende solo da , il dominio è un parte di2 2x + ydisco facile da descrivere in coorinate polari e il dominio non si descrive facilmentené come dominio né come dominio (anche se è entrambi:y-semplice x-sempliceguardare la differenza per la definizione tra i due segmenti

verdi e tra i due segmentirossi). In coordinate polari abbiamo 6 6 6 6R 2{(x, 2D = y) : x = ⇢ cos ✓, y = ⇢ sin ✓, 0 ⇢ 1, ✓ ✓ ✓ + ⇡},0 06 6 6 6dove . Poniamo R12 0 2{(⇢, 2✓ = arctan D = ✓) : 0 ⇢ 1, ✓ ✓ ✓ + ⇡}.0 0 0AbbiamoZZ ZZ Z Z✓ +⇡ 1⇢1 ⇢0dxdy d⇢d✓ d⇢d✓= =2 2 2 21+ x + y 1 + ⇢ 1+ ⇢0D D ✓ 00  Z Z 1✓ +⇡✓ +⇡ 1 20⇢ log(1 + ⇢ )0 d✓ d⇢= = ✓21+ ⇢ 2✓ 0 ✓ 00 0⇡ log 2= .2ZZ n op 6 6 6e) dxdy, con .1R 2 2 22 2 2xy 2x + y D = (x, y) : 0 y x, x + y 1p 3DIl dominio è così fatto: 87. y1 x1 11pLa funzione non promette bene in coordinate polari (perché la funzione2 22x + yp p non ha primitiva nota). Il dominio è più facile da2 222 cos ✓ + sin ✓ = 1 + sin ✓descrivere come (rispetto a prima è uno spicchio più piccolo). Il puntox-semplice pdi intersezione tra la retta e la circonferenza unitaria ha e .31 12y = x x = y =p 23Perciò il dominio è ⇢

pp16 6 6 6R 2 22D = (x, y) : 0 < y , 3y < x < 1 + y .

Abbiamo pZZ Z Z1p p21 y2dxdy dxdy2 2 2 2xy 2x + y = xy 2x + ypD 0 3y pZ 21 y1 2 2 3/2(2x + y )2 dy= y p60 3yZ 11 2 dy2 3/2 2 3/2= y (2 y ) (7y )6 0>siccome 2 3/2 3 3|y|y 0, (y ) = = y Z Z1 13/21 72 2dy dy2 3/2 4= y(2 y ) y6 60 0 1 12 5/2 3/2 51 (2 y ) 7 y2 2= 6 5 6 50 0p p5/2 5/2 3/2 52 (7/4) 7 /2 16 2 7 7= = .30 120ZZ 2y 6f) dxdy, con .R 2 2 22D = (x, y) : x + y < x^2 - 2x + y .

Il dominio è così fatto: 98. y<0.5 x✓ 0.5 <10.5

È possibile usare le coordinate polari in questo caso. I punti del dominio hanno6 6 6 6coordinate polari con . La condizione è⇡ ⇡ 2 2 2(⇢, ✓) ✓ x + y < x^2 - 2x + y

e quindi (tranne per (la condizione è comunque soddisfatta anche⇢ = 0), ⇢ cos ✓<x^2 - 2x + y in Il dominio è⇢ = 0). n o⇡ ⇡6 6 6 6D = (⇢ cos ✓, ⇢ sin ✓) : ✓ < x^2 - 2x + y .2 26 6 6 6Poniamo .⇡ ⇡0D = (⇢, ✓) : ✓ < x^2 - 2x + y

ZZ ZZ ZZ ⇡ cos ✓2y 2dxdy d⇢d✓ d⇢d✓2

2= → sin ✓ = → sin ✓²

2x + y ↑0D D 02fiZ Z↑ ↑cos ✓²→ 12 2d✓ d✓²

2= sin ✓ = sin ✓ cos ✓²→ 02 2Z Z↑ ↑1 12 2d✓ d✓²= sin (2✓) = (1 cos(4✓))8 16