Esercitazione su: Trasformazioni di coordinate, Integrali doppi e tripli (Analisi 2)

Università di Bergamo Anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria Foglio 10

Analisi Matematica II

Trasformazioni di coordinate, integrali doppi e tripli

Trasformazioni di coordinate

Determinare la matrice jacobiana della trasformazione

Esercizio 10.1. Jf (1; 3; 3)

0 1

2

x y

@ A

2

x z

f (x; y; z) = 2 2

y z

e utilizzare il risultato per calcolare un valore approssimato di f (0,99; 3,02; 2,97).

Sia una funzione differenziabile e sia

Esercizio 10.2. R R,

2 !

g : g = g(u, v) f (x, y) =

2 Esprimere e attraverso le derivate parziali e .

@f @f @g @g

y

g(xe , xy). (x, y) (x, y)

@x @y @u @v

Data una funzione scalare , derivabile e con derivata continua, definita

Esercizio 10.3. f

in R 2

{(u, 2    

T = v) : 0 u 4, 0 v 1}

e la funzione definita da

R R

2 2

!

g : 2 2

g(x, y) = (x + y , xy)

si determini l’insieme di definizione della funzione composta e si

F (x, y) = f (g(x, y))

calcoli sapendo che

12 12 12 1

rF rf

( , ) ( , ) = ( 1, 2).

4

Si determini per quali valori la trasformazione

Esercizio 10.4. R R R

2 2

2 !

↵ T :

( x

u = e + ↵y

↵y

v = x + e

è un diffeomorfismo locale. Sapendo poi che è l’unica controimmagine di

(0, 0) (1, 1),

calcolare la matrice jacobiana dell’inversa in (1, 1).

Stabilire se le seguenti applicazioni sono diffeomorfismi

Esercizio 10.5. R R

2 2

!

F :

locali o globali:

a) x

(u, v) = F (x, y) = (e , x y);

b) (u, v) = F (x, y) = ( x, y). 1

Integrali doppi

Calcolare il seguente integrale doppio:

Esercizio 10.6. ZZ dxdy

xy

D

ove è il dominio limitato del piano compreso fra le due curve di equazione 2

D y = x 1

e y = x +1 Calcolare i seguenti integrali doppi:

Esercizio 10.7.

ZZ 2

sin y 6 6 6 6

a) dxdy, con R 2 2

{(x, 2 };

D = y) : 0 y ⇡, 0 x y

y

D

ZZ 2 6 >

b) dxdy, con R

y 2 2 2

|x|ye {(x, 2

D = y) : x + y 1, x 0};

D

ZZ 2 6 >

c) dxdy, con R

y 2 2 2

|x|ye {(x, 2

D = y) : x + y 1, y 0};

D

ZZ 1 > 6

d) dxdy, con ;

R x

2 2 2

2

D = (x, y) : y , x + y 1

2

2 2

1 + x + y

D

ZZ n o

p 6 6 6

e) dxdy, con ;

R 1

2 2 2

2 2 2

xy 2x + y D = (x, y) : 0 y x, x + y 1

p 3

D

ZZ 2

y 6

f) dxdy, con R 2 2 2

{(x, 2

D = y) : x + y x};

2 2

x + y

D

ZZ 6 >

g) dxdy, con R

2 2 2 2

{(x, 2

x y D = y) : (x 1) + y 1, y 0};

D

ZZ 2

x 6 6 6 6

h) dxdy, con R 2

{(x, 2 |x|)};

D = y) : 2 x 2, 0 y min(1, 2

2 y

D ⇢

ZZ 3 2

y x x

> 6 > 6 >

i) dxdy, con ;

R 2 2

2

D = (x, y) : x 0, y 2x , y , y x, y

6

x 2 2

D

ZZ 2 6 6 6 6

j) dxdy, con R

y +x 2 2

{(x, 2

ye D = y) : 0 x 2y , 0 y 1};

D

ZZ p

1 6 6 6 6

k) dxdy, con R 2

{(x, 2

D = y) : 1 x e, 0 y ⇡};

2

x(1 log x)

D

ZZ 2xy 6 > 6

l) dxdy, con R 2 2 2

{(x, 2

D = y) : x + y 1, x 0, y 0};

2 2

1 + 2x + 2y

D 2

ZZ 6 6

m) dxdy, con R R

3 2 2 2 2

{(x, 2 |x| \ {(x, 2

x D = y) : 1} y) : x + y 9};

D

ZZ p

|y| 6 6 6

n) dxdy, con ;

R 2 2 2

2 |y|

D = (x, y) : 1 x + y 4x, 3x

2 2 2

(x + y )

D

ZZ p

o) dxdy, con

2 2

x + y

D > 6

R 2 2 2 2 2

{(x, 2

D = y) : x + y x y 0, x + y 2x 2y 0}.

Calcolare il seguente integrale doppio

Esercizio 10.8. ZZ dxdy

(x + y + 1)(x y 1)

T

dove è il triangolo di vertici tramite il cambiamento di

T A(0, 1), B(3, 2), C(4, 1),

variabili: ( u = x + y +1

v = x y 1

Calcolare il seguente integrale doppio, tramite un opportuno cambia-

Esercizio 10.9.

mento di variabili ⇢

ZZ 2

x x

6 6 6 6

dxdy, R 2 2

2

E = (x, y) : 1 x 2, y x

2 2

x + y 2

E

Integrali tripli

Calcolare i seguenti integrali tripli:

Esercizio 10.10.

ZZZ

a) dxdydz, con

(x + y + z)

D 6 6 6 6 6 6

R 3

{(x, 2

D = y, z) : 0 x 1, 2x y x + 1, 0 z x + y};

ZZZ > > > 6

b) dxdydz, con R 3

{(x, 2

x D = y, z) : x 0, y 0, z 0, x + y + z 1};

D

ZZZ 6 6

c) dxdydz, con R 3 2 2 2 2 2

{(x, 2

z D = y, z) : x + y + z 4, x + y 3z 0};

D

ZZZ

d) dxdydz, con

xyz

D > > > > 6

R 3 2 2 2 2 2 2

{(x, 2

D = y, z) : x 0, y 0, z 0, x + y + z 1, x + y + z 4}.

Calcolare il volume del solido

Esercizio 10.11. > > > 6

R 3

{(x, 2

P = y, z) : x 0, y 0, z 0, x + 2y + 3z 1}.

3

Calcolare il seguente integrale triplo (utilizzando le coordinate sferi-

Esercizio 10.12.

che)

ZZZ dxdydz > > > 6

R 3 2 2 2

{(x, 2

, V = y, z) : x 0, y 0, z 0, x + y + z 1}.

2 2 2

x + y + z

V Calcolare il volume del solido

Esercizio 10.13. ✓ ◆

7

6 6 6 6 Sol:

R 3 2 2 2

{(x, 2 |y|

S = y, z) : x + y 2, x , 0 z x} 6

Calcolare il volume della regione interna alla sfera e

Esercizio 10.14. 2 2 2

x + y + z = 6

sopra il paraboloide .

2 2

z = x + y

Calcolare il volume di

Esercizio 10.15. 6 > >

R 3 2 2

{(x, 2

V = y, z) : x + z 4, z y + 1 0, y 4}.

4

Università di Bergamo Anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria Foglio 10

Analisi Matematica II

Trasformazioni di coordinate, integrali doppi e tripli

Trasformazioni di coordinate

Esercizio 10.1. Determinare la matrice jacobiana della trasformazione

Jf (1; 3; 3)

0 1

2

x y

@ A

2

x z

f (x; y; z) = 2 2

y z

e utilizzare il risultato per calcolare un valore approssimato di f (0,99; 3,02; 2,97).

In generale 0 1

2

2xy x 0

@ A

2

2xz 0 x

Jf (x; y; z) = .

0 2y 2z

Nello specifico 0 1

6 1 0

@ A

6 0 1

Jf (1; 3; 3) = .

0 6 6

0 1 0 1 0 1

3 0,99 1 0,01

@ A @ A @ A

Abbiamo e . Un valore approssimato di

3 3,02 3 + 0,02

f (1; 3; 3) = =

0 2,97 3 0,03

0 1 0 1 0 1

·

0,01 3 6 0,01 + 0,02

@ A @ A @ A

è ·

0,02 3 6 0,01 0,03

f (0,99; 3,02; 2,97) f (1; 3; 3) + Jf (1; 3; 3) = + =

· ·

0,03 0 6 0,02 + 6 0,03

0 1

2,96

@ A .

2,91

0,3

Esercizio 10.2. Sia una funzione differenziabile e sia

R R,

2 !

g : g = g(u, v) f (x, y) =

2 @f @f @g @g

Esprimere e attraverso le derivate parziali e .

y

g(xe , xy). (x, y) (x, y)

@x @y @u @v

Sia la trasformazione

R R

2 2

!

T : ⇣ ⌘

2

y

T (x, y) = xe , xy .

1

È chiaramente di classe perché tutte le derivate delle componenti di sono prodotti

1

C T

di polinomi e esponenziali di polinomi. La sua matrice jacobiana è

✓ ◆

2 2

y y

e 2xye

JT (x, y) = .

y x

Abbiamo rf rg(T

(x, y) = (x, y))JT (x, y),

per cui @f @g @g

2

y

(x, y) = e (T (x, y)) + y (T (x, y))

@x @u @v

@f @g @g

2

y

(x, y) = 2xye (T (x, y)) + x (T (x, y)).

@y @u @v

Esercizio 10.3. Data una funzione scalare , derivabile e con derivata continua, definita in

f

2

R

{(u, 2    

T = v) : 0 u 4, 0 v 1}

e la funzione definita da

R R

2 2

!

g : 2 2

g(x, y) = (x + y , xy)

si determini l’insieme di definizione della funzione composta e si calcoli

F (x, y) = f (g(x, y))

sapendo che

12 12 12 14

rF rf

( , ) ( , ) = ( 1, 2).

L’insieme di definizione di è

F R 2

{(x, 2 2 }.

D = y) : g(x, y) T

6 6 6

Si tratta quindi delle coppie tali che e Visto che

2 2

(x, y) x + y 4 0 xy 1. xy

deve essere maggiore o uguale a si tratta di punti nel primo e terzo quadrante, assi

0,

compresi. Osserviamo anche che se allora Ci limitiamo quindi

2 2

(x, y) D, ( x, y) D.

al primo quadrante (ricordando che ci saranno i loro simmetrici rispetto all’origine). Per

> > 6 6

e per avere ci vuole o . Abbiamo quindi l’asse e i

1

x 0 y 0, xy 1, x = 0 y y

x 6

punti al di sotto dell’iperbole . Per concludere, significa che i punti

1 2 2

y = x + y 4

x

stanno all’interno della circonferenza di centro l’origine e raggio (bordo compreso).

2

Il dominio è quindi l’insieme dei punti all’interno della circonferenza di centro

D

l’origine, nel primo o terzo quadrante e o sull’asse o tra i due rami dell’iperbole .

1

y y = x

2

1. y

2

1.5

1

0.5 x

2 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 2

0.5

1

1.5

2

I punti di intersezione tra circonferenza e iperbole sono i punti con coordinate polari

e ⇡ 5⇡ 11⇡ 7⇡

2 { }.

⇢ = 2 ✓ , , ,

12 12 12 12

La matrice jacobiana di è

g ✓ ◆

2x 2y

Jg(x, y) = .

y x

La matrice è ovviamente una funzione continua per cui è differenziabile su .

R 2

g

La funzione è di classe come composizione di due funzioni di classe . È in

1 1

F C C

particolare differenziabile in , che appartiene al suo dominio. Possiamo usare la

12 12

,

formula della composizione dei differenziali per calcolare il gradiente di :

F

rF r(f rf

(x, y) = g)(x, y) = (g(x, y))Jg(x, y)

in particolare in 12 12

(x, y) = ( , ),

✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆

1 1 1 1 1 1 1 1

rF rf

, = , Jg , = ( 1 2) = (0 0).

1 1

2 2 2 4 2 2 2 2

Esercizio 10.4. Si determini per quali valori la trasformazione

R R R

2 2

2 !

↵ T :

( x

u = e + ↵y

↵y

v = x + e

3

è un diffeomorfismo locale.

La funzione è evidentemente di classe perché lei e le sue derivate di qualsiasi

1

T C

ordine sono somme di esponenziali e polinomi.

La matrice jacobiana di è

T ✓ ◆

x

e ↵

JT (x, y) = .

↵y

1 ↵e

Il suo determinante è La trasformazione è un dif-

x ↵y x ↵y

↵e e ↵ = ↵ (1 + e ). T

feomorfismo locale intorno ai punti in cui il determinante è diverso da Questo accade

0.

se e solo se In tal caso, è un diffeomorfismo locale intorno a tutti i punti.

6

↵ = 0. T

Sapendo poi che è l’unica controimmagine di calcolare la matrice jacobiana

(0, 0) (1, 1),

dell’inversa in (1, 1).

Abbiamo 1 1

JT (1, 1) = (JT (0, 0)) .

Siccome ✓ ◆

1 ↵

JT (0, 0) = ,

1 ↵

vale ✓ ◆

1 ↵ ↵

1

JT (1, 1) = .

1 1

2↵

Esercizio 10.5. Stabilire se le seguenti applicazioni sono diffeomorfismi locali

R R

2 2

!

F :

o globali:

a) x

(u, v) = F (x, y) = (e , x y).

La funzione è evidentemente di classe perché lei e le sue derivate di qualsiasi

1

F C

ordine sono esponenziale e polinomi.

La matrice jacobiana di è

F ✓ ◆

x

e 0

JF (x, y) = .

1 1

Il suo determinante è . La trasformazione è un diffeomorfismo locale intorno

x

e F

ai punti in cui il determinante &e