Coordinate

Descrizione delle funzioni e trasformazioni

Introduzione alla funzione F

Abbiamo parlato di F più con alcuni contorni del tipo:

F: A ⊂ Rⁿ → Rⁿ

F(X) = {f₁(x), f₂(x), ..., f_n(x)}; f_i: A → R

F ∈ C¹(A) ↔ f_i ∈ C¹(A)

JF = [∂f_i/∂x_j] la jacobiana di F è una matrice k×h

↪ La derivata funzione serve affinché l'uomo venga permutato equivale con F su dei valori che JF debba lungo max avere detJF ≠ 0.

Nel caso in cui k = n e detJF ≠ 0 abbiamo introdotto le variazioni di coseni.

Condizioni per l'invertibilità

Continuiamo: Se k = k = E sottoente su A, la JF^-1 è invertibile in ogni x ∈ A

⇒ F è allora una trasformazione di difformato

Esempi di coordinate

• Coord. polari (variante c. ellittiche)
• Coord. sferiche (variante c. ellissoidale)
• Coord. cilindriche

Coordinate sferiche

ρ0R⁺_e con ρ ≥ 0

0 ≤ φ ≤ 2π

0 ≤ θ ≤ π

Vediamo il disegno

Descrizione delle funzioni a due o più variabili

Introduzione alle funzioni di variabili

Abbiamo parlato di f.d.v. due o vari variabili del tipo:

F: A ⊂ Rⁿ → R^m

F(x) = {F₁(x), F₂(x), ..., f_m(x)}

F_i : A → R

F ∈ C¹(A) ⇒ deriva C¹ (A)

JF = [∂F/ ∂X] la jacobiana di F è una matrice k x n

⇒ La calcoliamo facendo entrare affianco il vettore vario preesistente aggiunto con F. Ne dl'e che alle F che JF detta lungo un ex altro detJf! = 0.

Condizioni per l'invertibilità

Nel caso in cui k = n e detJF ≠ 0 dobbiamo introdotto le variazioni di costel…

Continuiamo: Se A ⊂ Rⁿ e F invertibile su A, la JF è invertibile in ogni x ∈ A

⇒ F è allora una trasformazione Pi doppimente

Esempi di coordinate

• Coords polari (varianti c. ellittude)
• Coords sferiche (variants c. ellissolidale)
• Coords cludiche

Coordinate sferiche

Rⁿ con ρ ≥ 0

0 ≤ ≤ 2

0 ≤ ≤ Altum tehi. Ufas pisiche µsutateci riala pt Pnt X Y Z

Vediamo il panosetto

Equazioni delle coordinate sferiche

x = ρ sinθ cosφ

y = ρ sinθ sinφ

z = ρ cosθ

Funzioni di trasformazione

F: [0,+∞) x [0,π] x [0,2π) → R³

F: (0,+∞) x (0,π) x [0,2π) → R³

Calcolo di JF

Supponiamo che φ₁ ≤ φ ≤ φ₂, ρ₁ ≤ ρ ≤ ρ₂, θ₁ ≤ θ ≤ θ₂

Calcoliamo JF:

det JF(ρ, θ, φ) = ρ² sinθ [cos²φ + sin²φ] cosθ = ρ² sinθ (cos²θ + sin²θ) = ρ² sinθ