Formule di Gauss Green, coordinate polari

Formule di Gauss-Green, coordinate polari

Data una curva regolare, preso un punto t ∈ [a, b], si definisce il versore tangente della curva nel punto come T(t) = φ'(t) / |φ'(t)|. Viene definito un altro vettore, detto versore normale, che geometricamente rappresenta una rotazione di π/2 in senso orario del versore tangente alla curva (per questo si dice normale, poiché è perpendicolare al versore tangente), il versore tangente ha componenti:

N(t) = [y'(t), -x'(t)] / |φ'(t)|

Questo è verificato in base alle regole della trigonometria: x = cos(θ), y = sin(θ), quindi l'angolo del versore tangente è θ, mentre quello del versore normale è θ - π/2.

Orientamento positivo della frontiera di un dominio normale

Dato un dominio normale regolare, esistono il versore tangente e il versore normale. Si definisce orientamento positivo della frontiera di un dominio normale regolare se il versore normale punta in direzione dell’esterno del dominio (se il dominio è semplicemente connesso, equivale alla percorrenza antioraria della frontiera) e si indica con +∂D o ∂F. Si possono avere domini non semplicemente connessi; in tal caso, applicando la definizione si ha:

In questo caso, la parte grigia rappresenta il dominio; come detto prima, la parte più esterna rappresenta la percorrenza oraria della frontiera, facendo puntare il versore normale verso l’esterno. Tuttavia, nella parte interna accade il contrario. Questo perché se si percorresse in senso antiorario la frontiera interna, il versore normale punterebbe verso il dominio, quando per definizione si deve puntare verso le parti dove non c’è, per questo viene percorso in senso orario.

Funzione definita su un dominio regolare

Dati e₁ e e₂, i versori rispettivamente degli assi x e y, devo riuscire a fare in modo da sovrapporre il versore tangente con e₂ e il versore normale con e₁ tramite rotazioni o traslazioni. Quindi:

N = T e₁, e₂

Si definisce una funzione f: D → R² con dominio regolare D (si noti che si è definita nelle lezioni precedenti la derivabilità in un aperto; infatti, in questo caso si intende che la funzione è di classe C¹ in un aperto A che contiene C). Si hanno le seguenti formule di Gauss-Green:

• ∮_∂D f dxdy = ∫_D (∂f/∂y) dy
• ∮_∂D f dydx = -∫_D (∂f/∂x) dx

Sono delle formule particolarmente utili quando il dominio è espresso in formule parametriche della frontiera.

Teorema di Stokes

È dato un campo vettoriale F: D → R, con dominio regolare, e quindi le componenti sono derivabili con derivata prima continua. Allora:

∮_∂D (F₁ dx + F₂ dy) = ∫_D (∂F₂/∂x - ∂F₁/∂y) dxdy

(Vale anche per le semplici funzioni).

Teorema sulle forme differenziali chiuse in un aperto semplicemente connesso

Sia data una forma differenziale ω = a(x, y) dx + b(x, y) dy, con A aperto connesso di R, allora se ω è chiusa in A (e quindi le derivate miste coincidono), essa è anche esatta (ossia l’integrale su curva chiusa è nullo).

Teorema della divergenza

Dato un campo vettoriale F = (F₁, F₂), con dominio regolare D, si definisce la divergenza del campo vettoriale come:

∇ · F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y

Allora:

∮_∂D ∇ · F dxdy = ∫_∂D F · N ds

Dove N è il versore normale esterno alla frontiera di D, e l’integrale sopra, in particolare, viene chiamato flusso del campo vettoriale F.