Coordinate cilindriche

Coordinate cilindriche

ρ = √(x² + y²) ≥ 0
θ ∈ [0, 2π]
(ρ, θ, z)
{x = ρ cosθ
y = ρ sinθ
z = z}
0 ≤ ρ ≤ r
0 ≤ z ≤ h

Volume

ES: Vol A = ∭_A 1 dx dy dz = ∬_A' ρ dx dy dz
∭_A f(x, y, z) dx dy dz = ∬_A' f(ρ cosθ, ρ sinθ, z) ρ dρ dθ dz

Le coordinate cilindriche si utilizzano quando vi è una simmetria circolare.

Vol C = ∫₀^2π ∫₀^r (∫₀^h ρ dz) dρ dθ = 2π h r² / 2 = π r² h

Coordinate cilindriche con simmetria circolare

ρ = √(x² + y²) ≥ 0
θ ∈ [0, 2π]
(ρ, θ, z)
0 ≤ ρ ≤ r
0 ≤ z ≤ h
{x = ρ cosθ
y = ρ sinθ
z = z}

ES: Vol A = ∫∫∫_A dx dy dz = ∫∫∫_A' ρ dξηdζ
∫∫∫_A f(x, y, z) dx dy dz = ∫∫∫_A' f(ρcosθ, ρsinθ, z) ρ dρ dθ dz

Le coordinate cilindriche si utilizzano quando vi è una simmetria circolare.

Vol C = ∫₀^2π ∫₀^r [ ∫₀^h ρ d_z] d_ρ] d_θ = 2 π h &frac{r²}{2} = π r² h

Forma E

E = \left\{ (x, y, z) : 1 < x²+y² < 2, 0 < z < x²+y² \right\}
ρ²z = x² + y²
1 < \rho < \sqrt{2}
0 ≤ \theta ≤ 2
0 < z ≤ \rho² = \varphi(\rho)

Vol E = \int_0^{2\pi}\left[ \int_1^{\sqrt{2}} \left( \int_0^{\rho^2} \rho dz \right) d\rho \right] d\theta = 2\pi \int_1^{\sqrt{2}} \rho³ d\rho = 2\pi \left.\frac{\rho⁴}{4}\right|_1^{\sqrt{2}}s = \frac{3\pi}{2}

E = \left\{ \frac{x²+y²+z²}{\rho²} < 2, x²+y² < z \right\}
Vol E = 2\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \int_{\rho²}^1 \left( \int_0^{\sqrt{2-\rho²}} dt \right) \right) d\theta d\rho
\rho² < z
z < \sqrt{2-\rho²}