Sistemi di coordinate

II

II I

3 3

Esempio in 2 dimensioni si

p

Y ri

PIXY ftp.t in polari

coord sind

yep

r

y Ù È Vali

10 Un.VN Y

X Us

X

i Ì

è p cosa psimo

di 00

grida t.gr

di_ ad

blurispetto

derivata dell'espressione t derivata rispetto

in p

a

oli_ I

costi Olp

sin 0

Deriva anche

rispetto a 5100

or esimio Pcos

dei 1

hpùpolethovo cos'io

di hp 0

sin

Ì

costi

Np sin

fg Il

ftp.f.l psimoitpcos

No

ho pasimotp'cos'io fi

p 0J

Simo cos

Quindi ABBIAMO

TROVATO

05 I

costi No

Np sind

sin cos

ho

1

hp P

coefficienti metrici

Graficamente abbiamo:

Y Ìo

NÉ è Il

sinai

costoitsimos

Ip radiale cos

versare costosimorsimiocoso o

y Ópera ortogonali

sono

10 5

TI

ricordiamo 1 0

Sistema di coordinate polari cilindriche

Per costruire questo sistema di coordinate sono necessari 3 elementi:

1. Origine del sistema di riferimento O;

2. Retta orientata passante per O (asse polare);

3. Semiretta passante per O e ortogonale all’asse polare (origine degli azimut).

È utile poi introdurre il piano di riferimento, che è un piano ortogonale all’asse polare e contenente l’origine degli

azimut.

Le 3 coordinate che identificano un punto P tramite il sistema di coordinate polari cilindriche sono:

• Raggio: coordinata radiale, indicata con ro e che rappresenta la distanza di P dall’asse polare;

• Azimut: angolo azimutale, ovvero l’angolo tra l’origine degli azimut e la proiezione sul piano di riferimento del

segmento P.

• Quota: altezza o coordinata longitudinale, indicata con simbolo Z; rappresenta la distanza con segno dal piano di

riferimento. OP Cerchiamo di scrivere ro, phi e Z in funzione di X, Y e Z e

i viceversa.

iii

p Ziva cosa

X ospeta

B

v

p

E Osorzit

coincide

z z z

a a

0

fuso In pratica abbiamo preso il sistema di coordinate polari nel

Riferimento piano e abbiamo aggiunto la coordinata Z.

p

origine degli è sottoal di riferimento

Z siamo piano

se

negativo

Azimut

Viceversa, è possibile scrivere ro, phi e Z in funzione di X, Y e Z:

Z

arctglyx

0 z

po xatya

Troviamo adesso i versori in coordinate cilindriche

Non cambia molto da quanto visto per le coordinate polari nel piano perché le due cose sono molto simili.

ri ZÌ

I

pcosolitipsino coordinata

terza

la

aggiungo

di psimoitpcososldotkdzfdi

cosottsimos d

oh gfdptgfdoi.gr

Questo vuol dire che i coefficienti metrici sono gli stessi di prima:

Ip lo I K

I Ùz

sind

1

hp ha

P 1 cosa

ho cos

sin

Il versore Z è lo stesso di quello in coordinate cartesiane perché di fatto l’asse Z è rimasto invariato.

I 3 versori sono ortogonali? sentit 5

ip.io cosaitsemos 1 semiocosotsemocoso 0

cos

Iz K

f semis O

cosa

Ù È K

J

f seno O

cos

a ova.ve

p.iz o per cui sono ortogonali

Il versore u ro è ortogonale alla circonferenza mentre il versore u phi è tangente ad essa. Punto per punto la loro

orientazione cambia per cui la terna di un sistema curvilineo non cartesiano vede costantemente cambiare la propria

orientazione a seconda della posizione del punto.

Superfici coordinate Graficamente:

Le superfici coordinate sono gli insiemi di punti per cui una coordinata è fissa.

Prendiamo per esempio ro costante: P 0,2

P C C

Otteniamo tutti i punti che hanno la stessa distanza radiale, ovvero la superficie

laterale di un cilindro. superfici CILINDRICHE

Se ad essere costante è phi sia ha: O P

C P Caz dall'alto

osservandolo

SEMIPIANO Y

paga 0 C

i

0 c polare

SULL'Asse

CHE

semipiani NASCONO

Infine, se Z è costante si ha un piano: PIP.IO C

Linee coordinate

Le linee coordinate si ottengono intersecando a due a due le superfici coordinate per totale di 3 tipi di linee coordinate.

1) Linee coordinate Z

O

P Ca Ca Intersezione della superficie laterale del cilindro con

p.ca il semipiano.

dalla coordin

linea i

Dall'alto

Toica

Linea coord

all'asset agama

una

2) Raggi P

0 caz C p.ca.ca Ip

Z Ca p linea coordinata

fa

3) P Z

Ca C anmen ora

e a cheHA

p centro

come

L'ASSE trova

E

POLARE si

0J Z

ALLA Cs

quota

Coordinate polari sferiche

• Origine del sistema di riferimento O

• Asse polare: retta orientata passante per O

• Origine degli azimut: semiretta passante per O e ortogonale all’asse polare.

Pianoequatoriale

P pianodi

coincide del

il riferim

con cilindriche

di

sistema coordinate

Of all'asse

pianoortogonale polare

è aaaa

aaaa aaaa aaaa

azimut

originedegli

Coordinate:

1. Raggio R: distanza di P dall’origine O

2. Angolo polare: angolo formato dall’asse polare e dal segmento OP

3. Angolo azimutale: angolo tra l’origine degli azimut e la proiezione di OP sul piano equatoriale.

Il verso positivo degli azimut è sempre quello anti-orario.

Corrispondenza tra X, Y, Z ed R, teta, phi. P

OP simo sost

R

y simo o y

Oso

a ZA

cos y

a p

Re Kryzza

Los cosi

osare ore Y

arctos

arcos è

Versori coordinati ir.io io

e

di I_Krystz

PIR.o.io RI trcosok

Rsimocostitrsimosino

È i ARI costitsimosinostcosoklort

sino

Rcosocosoitrcososinds rsimakidot

051

Rsimosinoitrsinocos da

I

loro_giorno grido

da 01

cos'orsin'asino

hp sin'o cos cos'of

cos'of coefficiente

cos'orsino sino

simo 1 ideale

metrico

R'cosa pagina

R'cos sia

0

ho 0 cos cos'atsin'O

R'sin'O

cos'Orsino

R'cos R

R

0 R'sin'o sino

R'sin'osino R'sin'o cos'io

ho R sino

0

cos

i hilti gf

sfruttando si i versari

l'equazione ricavano

Eri cospitsimosinostcosok

sino simak

cosaitcososinos

coso

simili 05

cos

o

ir.io cos'io 0 cosa

sino

sino

semo coso

coso sin

0 sin'io

Simo coso 0

11

cos Y Versari Ortogonali

Ur io simocosiosinotsimosinocoso O

io

Vo sino cosi

sino o

cosa cos cosa sino 1

0

cosa e

o al

punti

sul particolare

piano o

equatoriale caso piano Xy

appartengono

Ùrecosloitsinos

i voi pia

È P

o e

go sana aaaa i

Vo

Abbiamo trovato i versori delle coordinate polari nel piano.

Superfici coordinate

1) R = costante R P io

0

Ca cn ci

Punti con la stessa distanza dal centro del sistema di riferimento (superficie della sfera).

2) I

a pirica

ca

Punti di una superficie conica di un cono con angolo di semi-apertura pari a teta. q

3) PIR.O.CI

O C

Punti che stanno sul semipiano individuato ta phi costante. PIR.O.CA

Il

Linee coordinate

1) Raggi (R)

O 0

Ca Cs Vr

e Semirette che giacciono sulla superficie laterale

del cono

Ec

2) Linee coordinate teta

i

R C

cn ci Semicirconferenza (arco).

è In geografia rappresenta un meridiano.

3) Linee coordinate phi

O

Rica Ca O Circonferenze

0

P ca

ca In geografia rappresenta un parallelo.

ci

Elementi di superficie, di distanza e di volume nel sistema cartesiano

Elementi di distanza ai

di ORI ora

outfit OU

su

µ hai

di that's hai du

dua

due

di in

Innova hadualistinsolvilù

out dust

draft

Ina

drill ha

Il h

OR toys

ohi alzò

OR

E j drill OZZY

tolga

OR Oxa

Il

Elementi di superficie Per un sistema curvilineo è necessario considerare anche i

noi

Ù coefficienti metrici, che nel sistema di coordinate cartesiane

P à valgono 1.

µ on

sous

hp ho

1 1

ne

p

OF PolototOzia

dp.io rad

m

Oss. Il coefficiente metrico porta l’unità di misura dei metri infatti se non ci fosse al secondo termine avrei l’unità di

misura di dphi che è in radianti e quindi sommerei metri con radianti.

Ciascuna delle coppie di facce del parallelepipedo (che ha 6 facce uguali a due a due) possono essere ridotta ad 1 sola,

per un totale di 3 facce, ciascuna ortogonale ad un versore.

Ù Ù farla olssts hndvninxhadva.ua

I raduni

orsaia È

ndr v

x

hadrata

asili non

x

ù

ù

Ciascuna superficie è rappresentata come un vettore pari al vettore ortogonale alla superficie e di area pari all’area della

superficie tratteggiata.

Elementi di volume

due Adh di altezza

base

volume Area

hadrata Ù

olvenndu.in non

x

ove ona dus

na

na ona

na e

dei_detto I okay

ose d

e

Osei osseo è

Io i

dsedydzdsyt

dxixdz.RO sy

OXOzorv

olxiloly'xdzilov

olzKldxixdyJI

Elementi di superficie, di distanza e di volume nel sistema cilindrico

dzdxdyhp.se ho ha 1

I p

di

i

È l'deh E

Puoi dee

Up spostamento

p go

j hp.nl

de

a i

Elementi di distanza

di dz

ore P'di

de

Elementi di superficie

è Dal momento che stiamo facendo uno studio a livello

suo

io infinitesimale le curvature si ignorano e si considera un

parallelepipedo retto.

dz Questo è dovuto al fatto che i versori sono ortogonali tra

io loro.

io io di

di

arco circonferenza p

raggio

s i po

hadualixhadusis

hndu.is pdovoxdz.ie

OSPip

SUPERFICIE dsripdodzdsz.de

paga

ossia gg polo

superficie dsiovo dpupxolz.ve dso

superficie

dpdzov

Elementi di volume os pdo.dz sms

opip.fpdovoxdzizl

di base

area superficie

ortogonale

base

di altezza

quella

a

Elementi di superficie, di distanza e di volume nel sistema sferico

Elementi di distanza da

fr

all'shaduninthaduriathadusi

resina da

sina.gg

a 1

Mr di drirtrdovotrisimo.gov

R

di R

o raroarenato sino

io

µ da Prada

spostamento

Elementi di superficie

e in ospirardovatrsimodovo R'sinodo

dsr di

z