Controlli Automatici - Sistemi Dinamici, Lineari e Stazionari a Tempo Continuo

Teorema di Lyapunov

Xkoo 0.1koe Iti2 ko 0e 121Iti è 0.0893 koSTABILITA 5esisteEdiceE tale chesi O0ogniSTABILE seequilibrioun unper perciiniziali risultitutti 11Xogli XIIstati relazionelache soddisfano eXo tIl E tutti ic11Htt soperXp rientrare EnellaLO disferaSTATO deve raggioE 5dinella sfera raggionecessariamente senon stabilel'equilibrio è0 stabilesidiceE èequilibrioUn seINSTABILE non stabileE è inoltredicesiUn equilibrio STABILE se eASINTOTICAMENTEIt III 0figo stabile mentreil attrito asintoticamenteariaad èpendolo conesempio stabileèattritosenzaEs fa aipuntisonooeaIIIbhf.cuitait.iii.i.at I asPERPREMESSE IL diTEOREMA LYAPUNOVUna dicesi intornoVI esistefunzione NEGATIVAPOSITIVADEFINITA se unoin cuicircolare IO 0so IOdell'origine co epersimmetrica P si dicematrice quadrataUna e DEFINITA POSITIVA oè definitaPXVA funzione negativaunaNEGATIVA ose positivasimmetrica sia definitamatrice positivaNes quadratauna eperché

autovalori: tutti hanno valore positivo o negativo

condizione necessaria e sufficiente per una matrice definita positiva è che tutti i suoi autovalori siano maggiori di zero

condizione necessaria e sufficiente per una matrice definita negativa è che tutti i suoi autovalori siano minori di zero

una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se tutti i suoi minori principali sono positivi

una matrice simmetrica è definita negativa se e solo se tutti i suoi minori principali sono negativi

TEOREMA DI LYAPUNOV: Sia V una funzione definita positiva e derivabile in un intorno di un punto di equilibrio x. Allora se V è semistabile, cioè V è definita positiva e V punto è un punto di equilibrio, allora x è un punto di equilibrio stabile. Se V è definita negativa, allora x è un punto di equilibrio instabile.

DEFINIZIONE DI PENDOLO: Il pendolo è un sistema dinamico che può oscillare intorno a un punto di equilibrio stabile o instabile, a seconda delle condizioni iniziali.

equilibrio0 puntoungProvare1 f XiIx 1 coscon XisiaPer VA controllo hopositivadefinita cheverificare che O i02 VA ti IOcos 0 E18 o ok2T 2Tiva i tiziDerivata sinparziale XiIl sin sinkln t Xa Isin ix XI XIsin ixIn conclusione stabileVco èla l'origineO ose VA stabilek semidefinita quindiX negativasoseProvare DX2 tA coss Xicon 21 ixIn costante III t.itPp dettoleVix condizioniAffinché 0sosonoO Peparso ppoisina.hnvai t.HNII f f iztpzzxs.irsin XIX t X XtPa p persin X t tX2 X XP PartParkt XaPu a lnsin sinX X2Xt t XP partParkXaPuI sin sinkssinXiX ttXi Xiper Pazperpm XEX per Pazf XDsinEtsina.lk XaXi'atPnPer per per per Pazcondizioni da soddisfare il termine0 sinavere negativoconper perI il termine negativoavereco conperperper nèI il nullotermine Xavereo perPu per me il nullotermine sin1 o Xeavereper Xip valoriiCon1P pmPizPre per1I hatrovati si va so0.5 ePer soPm per neme ilPer diteoremav cooca eIeaIIInoIeIInIucapneo.si nientepi stabilesoRa 1PERSTABILITÀ

LTISISTEMI stabile asintoticamente è stabiledistatoUno di sistemaequilibrio Lti ountuttiinstabile sistemasolo stati delgli di equilibrioese sonosestabili stabili instabiliasintoticamente orispettivamente deldiQuindi stabilità stabilitàasintotica instabilitàparlaresi può esistema equilibriodisolo puntodele non singoloPERTEOREMA DI LTISISTEMILYAPUNOVsistema stabileasintoticamente soloèLTI e matriceseUn se presa unasimmetricaesiste0simmetrica matricedefinita definitapositiva unae Pat A'PP l'EQUAZIONEche QDI LYAPUNOVsoddisfapositiva il stabileasintoticamentesistema Pinoltre è l'unicaallora soluzioneèseil stabileasintoticamentesistema èallora XPSe VANB è unadifunzione Lyapunov È I'Pxpi ApxPaxXa APPat coxix pnxixjHip x.ecf costanteellisseIn Xes QAx a2 3 ff2is 4X 2 2 I H tiX X264646 2Gt4C 3Af 2a 2Gt26 362Gt 3G 2C3A 4C 2C864Gt 1 p Ic 29112836 so ok136.29 4 70 OKsistema stabileildefinitapoi

asintoticamente è positiva A'PPatrisolveP Q QMATLAB l'equazioneayapSTABILITÀ VALORILITÀ CON AUTO siamatricevariabilea Addetta quadrataunacomplessauna minilpossonoassociare di ordinePOLINOMIO CARATTERISTICO nitinalout and t AAI41A t tan ancaratteristica Idl'equazione 0e y siLe risoluzioni valoricaratteristica autodiconodi dell'equazionecostituito iè numeri reali anchedi a coefficientidaquest'ultimose valoriauto realireali quindi glie sonosono complessioppurealmenoil disistemaconiugati deve 2esserea gradocoppie pervaloriauto complessiavere ordineNel più 1disemplicecaso i ER A eAXil il è stabilesistemainstabileèsistemaO creose aa seo oil stabilesistema asintoticamenteè suoiasintoticamenteè tuttistabile iUn soloLTIsistema se seeautovalori hanno realeparte negativa autoratorisuoi hadeièsistema instabile almenoUn t.tl se unopositivarealeparteUn èsistema valoriauto reale negativa nullat.tl con

parte con valori instabili, autovalori nulli e uno reale, parte ceese con minimo cui dimensioni di Jordan almeno di Gnocco corrisponda uno e di 1 maggiori movimento libero, es derivata è la costante sarà IoIt 0 se X una X IoIt analogo X per 0 il sistema stabile arbitrario è con matriciale di forma di un miniblocco Jordan di dimensione IoX X X2Ia t10It 10O X Xt in tIt di It cIoX di 10X X Forma Amatriciale da 00 fili l instabile teorema sistema è 3 per EQUILIBRIO AZIONE LINEARI LINEARI di NON UN nell'INTORNO ultifuit tosia Itx Hoyltleglxltl.net fix ittalesia ix puntoù che è di equilibrio gcx.ite0 junDX due si Ponendo dye hadito E E Ete che lo I GU Hoystato la uscita dati da sono corrispondente totE datti OXA OXAf fixultiItù 1xk tx di duù ùii uo Bforseriein disviluppo TayOXAaoxltltbctult oylh dutt 4OXAyltl glxltl.UHDy qlx.it 91 t to291tuù ùu up taylorseriein disviluppo duhCONTIdigit Dtcosì si stazionario ricavato lineare sistema