Controlli automatici

Sistemi e segnali

I sistemi e segnali sono una rappresentazione dell'andamento temporale del fenomeno che ci interessa (ad esempio la coppia del motore nel tempo), quindi sono delle funzioni che associano ad ogni istante temporale un valore. Vogliamo studiare l'andamento temporale del fenomeno non in un punto, ma da t=-∞ a t=+∞. Studieremo principalmente segnali continui, aventi andamento quindi continui. Inoltre, considereremo funzioni a valori reali. X = X(t); t ∈ R, x ∈ R.

Sistemi digitali e sistemi analogici

I sistemi digitali non hanno queste caratteristiche in quanto assumono un numero di valori finito, discreto e non continuo. Un sistema stabilisce una relazione fra segnali; ad esempio la differenza di potenziale ai morsetti e la corrente passante in un circuito sono due segnali indipendenti fra di loro, ma se ho una resistenza, ho una relazione che lega i due segnali fra di loro (legge di Ohm: V(t) – Ri(t) = 0). Nell'esempio appena fatto, la relazione ha un ruolo particolare rispetto all'altro, ma se io impongo la tensione ai capi, posso stabilire la corrente; analogamente, se io impongo la corrente passante nella resistenza, posso stabilire la tensione. A questo punto posso definire un sistema orientato, ovvero distinguo segnali che posso vedere come cause e altri come effetti. Nell’esempio fatto, infatti, posso distinguere due sistemi orientati: in uno impongo la tensione e mi ricavo la corrente e nell'altro impongo la corrente e mi ricavo la tensione; i sistemi sono equivalenti, ma cambia la relazione causa-effetto.

Sistema statico e dinamico

La resistenza ha la caratteristica per cui, per sapere il valore della tensione in un certo istante di tempo, è sufficiente che io conosca il valore della corrente nello stesso istante di tempo, indipendentemente da quello che è avvenuto prima. Ma non tutti i sistemi sono fatti così; normalmente, se io voglio sapere qual è il valore di una variabile di uscita in un istante temporale, devo sapere quali sono stati i valori delle variabili di ingresso che la influenzano non solamente in quell'istante temporale, ma in tutti gli istanti di tempo.

• Sistema statico: se l’uscita al tempo tf dipende solo dal valore di ingresso al tempo tf;
• Sistema dinamico: se l’uscita al tempo tf dipende anche dal valore che l’ingresso ha assunto negli istanti t ≤ tf (sistemi causali). t ≤ tf poiché l’effetto non può dipendere dai valori futuri della causa.

Problemi di analisi

Un problema di analisi consiste nell'analizzare il comportamento delle uscite di un sistema orientato al fronte dei possibili ingressi. Per far questo devo caratterizzare l'insieme dei possibili segnali di ingresso e capire quali sono le caratteristiche dei segnali di uscita a fronte dei possibili segnali di ingresso:

• Continuità della risposta: posso valutare la continuità di un sistema andando a valutare come cambia il segnale di uscita al variare dei segnali di ingresso;
• Velocità di risposta: qual è il tempo minimo in cui riesco a fare una certa operazione;
• Stabilità delle caratteristiche al variare del sistema: come cambia il sistema se cambio un parametro di sistema (ad esempio la resistenza in un circuito elettrico);
• Robustezza del comportamento;
• Dimensionamento del sistema.

Esempi pratici

Altoparlante magnetico

È presente un magnete permanente all'interno dell'altoparlante che crea un campo magnetico, poi avete un elemento avvolto in una spira di rame; applicando una tensione a questa spira comincerà a scorrere corrente, se scorre della corrente ci sarà una forza tra la corrente e il campo magnetico e quindi questo elemento si può muovere. A questo elemento è attaccata una sospensione elastica (il cono dell'altoparlante). Questo cono, caratterizzato da un certo coefficiente di attrito e di una costante elastica, si muove avanti e dietro, generando onde di pressione.

Sospensione

L'obiettivo della sospensione è quello di smorzare, fare in modo che le sollecitazioni di strada non siano trasmesse al 100% sul guidatore, garantire comfort, quindi filtrare. Ma non solo: la sospensione deve trasmettere a terra le forze generate dalla vettura. Queste forze dipendono dalla forza d’attrito dello pneumatico con il suolo e dalla forza verticale, se voglio trasmettere una forza superiore a quella trasmettibile la ruota comincia a slittare o sbandare, perdendo il controllo della vettura. Quindi l'obiettivo della sospensione è anche quello di garantire una forza minima trasmettibile più alta possibile per una buona tenuta di strada. Purtroppo, questi sono due obiettivi in conflitto fra di loro.

Problemi di sintesi

Noi possiamo considerare un sistema dinamico nel quale alcune delle variabili di ingresso sono manipolabili (possiamo decidere noi come devono essere fatti); il problema è capire come possiamo manipolare il segnale di ingresso in maniera tale da ottenere da questo impianto comportamenti che ci vanno bene. Ci sono tre elementi fondamentali che costituiscono un problema di sintesi: il primo è come è fatto l'impianto che vogliamo controllare (processo), un altro elemento fondamentale sono le specifiche, vogliamo ottenere dei comportamenti ammissibili. Da questi due elementi posso procedere a costruire il terzo componente che, collegato al processo, mi faccia ottenere il soddisfacimento delle specifiche. Un esempio di specifica in campo automobilistico potrebbe essere la normativa emissioni (euro1, euro2, euro3, ecc.). Le specifiche si dividono in due caratteristiche:

• A soglia: quando nelle specifiche non bisogna superare un certo valore di soglia, non ci sono quindi gradi di libertà;
• Specifiche di performance: massimizzare o minimizzare, ottimizzare, specifiche di ottimizzazione.

Specifiche

Definisco come dev'essere il segnale di uscita e progetto un segnale di ingresso che mi dia quella uscita. Definisco il massimo errore accettabile sul segnale di uscita, tenendo presente la presenza di disturbi e di incertezze sui parametri nominali.

Esempio: sospensione attiva (con controllo)

Rispetto alla sospensione vista in precedenza, in questa sospensione è presente un attuatore grazie al quale possiamo stabilire istante per istante quali forze vengono scambiate fra suolo e massa sospesa. Grazie a questi dispositivi di controllo possiamo decidere che valore deve avere il parametro che andiamo a controllare. Ci sono fondamentalmente due filosofie per progettare leggi di controllo: controllo all'avanti (o ad anello aperto) e controllo in retroazione (o ad anello chiuso).

Controllo all'avanti (ad anello aperto)

La variabile manipolabile la vado a calcolare guardando solamente qual è il valore di riferimento in quell'istante (ovvero cosa vorrei ottenere). Ad esempio, l'impianto che voglio controllare è una resistenza elettrica, posso decidere quale tensione applicare alla mia resistenza e la variabile che voglio ottenere è la corrente. La specifica è il valore che io voglio che assuma la corrente in quell'istante, quindi i(t)=i, rif. Il mio processo stabilisce che i(t)=V(t)/R. Decido come dev'essere la tensione per ottenere quella corrente di riferimento. La tensione sarà uguale a v(t)=R, nom*i, rif (con R, nom quello che io penso sia il valore della mia resistenza). Il mio controllore ha in ingresso la corrente di riferimento e in uscita la tensione v(t). Nel caso ideale, se R=R, nom allora i(t)=i, rif e ottengo err=0 in ogni istante di tempo. Se però la mia resistenza è diversa dal valore nominale, la mia corrente non sarà più uguale al valore di riferimento. A questo punto posso valutare l'errore sulla corrente: e= (i, rif – i)/i, rif = (R – R, nom)/R.

Controllo in retroazione (ad anello chiuso)

Nel calcolare la variabile manipolabile non tengo conto solo di qual è il valore di riferimento, ma tengo conto anche del valore effettivo e dell'errore che posso commettere. Sulla base dell'errore cerco di aggiustare il valore della variabile di riferimento. Esempio: v(t) = k ∫(i, rif-i)dt Ri(t) - k ∫(i, rif-i)dt = 0 Derivando quest'ultima espressione ottengo l'equazione differenziale: R*di(t)/dt + k*i(t) = k*i, rif La condizione al contorno iniziale è i(0)=0 Ricavo la soluzione: i(t)=i, rif*[1-exp(-(k/R)t)] Dall'espressione concludiamo che per t che tende ad infinito l'errore tende a zero. Per questo dopo un tempo sufficiente si ha i(t)=i, rif. Il controllore quindi, sulla base dell'errore, ci dirà come è fatta la variabile manipolabile, ad esempio la coppia erogata dal motore, ma potrebbe essere che la misura sia affetta da errori, per cui la variabile applicata all'impianto sarà uguale al valore che noi vogliamo più il segnale di disturbo. Per fare un controllo in retroazione è necessario l'utilizzo di un sensore, su cui vi saranno altri errori di misura.

Segnali e trasformate

I segnali sono funzioni reali a variabili reali; un segnale è una funzione della variabile tempo, descrive l'andamento temporale di alcune variabili. Vogliamo caratterizzare le proprietà del segnale, non ci interessa tanto cosa succede al singolo valore temporale, ma ci interessano le proprietà globali. Ci sono alcuni segnali standard, chiamati segnali canonici:

• Gradino unitario: = 0 per t< 0; = 1 per t ≥ 0
• Rampa: = 0 per t< 0; = t per t≥ 0
• Parabola: = 0 per t< 0; = t²/2 per t≥ 0

Questi segnali sono fatti in modo che uno sia la derivata dell'altro (la derivata della parabola è la rampa, la derivata della rampa è il gradino per t≥ 0). Altri segnali canonici sono i segnali periodici, quelli che si ripetono dopo un certo intervallo di tempo e fra tutti i segnali periodici, i segnali più comuni sono quelli cosinusoidali (o sinusoidali); sono caratterizzati da tre parametri: l'ampiezza, la pulsazione e la fase.

Segnali periodici

Un segnale è periodico di periodo T se si ripete ad ogni intervallo ΔT, ovvero f(t+T) = f(t), per ogni valore di t. T è detto periodo se è il più piccolo numero reale per cui è valida la proprietà precedente. Un segnale costante è periodico con periodo nullo. In ambito ingegneristico, in ogni macchina che funziona su base ciclo ci sono delle funzioni periodiche. Tutti i segnali periodici possono essere espressi come somma di seni e coseni, ma grazie alla trasformata di Fourier è possibile trasformare anche segnali non periodici in somma di segnali periodici.

Se ho un segnale periodico di periodo T posso definire alcuni parametri del segnale:

• Pulsazione caratteristica: ω = 2π/T

Quando ho una somma di segnali periodici, il risultato è sempre un segnale periodico? No, se ho due funzioni periodiche, una di periodo T1 e una di periodo T2, allora la loro somma è nuovamente una funzione periodica se i due periodi sono commensurabili, ovvero che esistono due numeri interi, n1 e n2, tali che n1T1=n2T2, ovvero esiste un multiplo in comune. Ad esempio, se ho un periodo T1=1 e un periodo T2=π, allora la loro somma NON sarà un segnale periodico.

La serie di Fourier

Se prendo un segnale periodico qualunque, allora lo posso sempre scrivere come somma di segnali di tipo seno/coseno, e questo è il risultato che sta alla base della serie di Fourier. In realtà risulta più comodo, anziché dire che un segnale periodico è somma di seni e coseni, dire che un segnale periodico è somma di segnali complessi (forma esponenziale con esponente immaginario). Data una funzione di variabile reale f(t) di periodo T, allora questo f(t) può essere scritto come sotto forma di una serie:

f(t) = Σ F_n*exp(jnωt); F_n = 1/T*∫f(t)exp(-jnωt)dt

Esempio: quando n=0 scompare la dipendenza dal tempo e quindi è una costante, infatti il termine zero rappresenta il valore medio di un segnale periodico. È chiaro che se conosco il periodo di un segnale e tutti i coefficienti F_n sono in grado di ricostruire il segnale originale, quindi per me la conoscenza del segnale originale o dei suoi coefficienti è equivalente, posso passare da uno all'altro. Come se avessi per lo stesso oggetto due viste diverse, una nel dominio temporale, una nel dominio delle frequenze dove sono riportati i coefficienti F_n. L'insieme dei coefficienti viene chiamato spettro del segnale. I coefficienti F_n in genere presentano numeri complessi, e come tali sono caratterizzati da un modulo e un argomento; la successione dei moduli è lo spettro di ampiezza, la successione degli argomenti è lo spettro di fase.

Se un segnale periodico ha infiniti punti di discontinuità, allora non è trasformabile con la serie di Fourier. La conoscenza dello spettro di ampiezza e fase ci permette di ricostruire il segnale originale. Se il segnale è reale, si ha: F(-n)=F_n. Ogni segnale periodico è scomponibile nella somma di una costante, detta componente continua, e di un'infinità numerabile (una per ogni valore di n) di cosinusoidi, chiamate armoniche, tutte con pulsazioni multiple dell'armonica fondamentale. Lo spettro di ampiezza mi dice qual è il contributo che ogni armonica dà al segnale complessivo. Lo spettro di fase invece ci dice come vanno allineate prima di sommarle fra di loro.

• Se la funzione è pari (quindi f(t)=f(-t)) allora nella somma compariranno solo funzioni pari, ovvero i coseni (Fsn=0).
• Se la funzione è dispari (quindi f(t)=-f(t)) allora nella somma compariranno solo funzioni dispari, ovvero i seni (Fcn=0).

Teorema di Parseval

Dice che andando a fare il valor medio del segnale al quadrato, allora questo numero è uguale alla somma dei quadrati di tutte le componenti:

∫|f(t)|²dt = F₀² + 2Σ|F_n|²

L'integrale del segnale al quadrato è l'energia associata al segnale, quindi in questo caso abbiamo il valor medio dell'energia, ovvero la potenza media del segnale. Quindi il teorema di Parseval dice che la potenza media associata al segnale, se esiste, è definita dallo spettro delle frequenze. Per analisi armonica si intende lo studio dello spettro del segnale nel dominio della frequenza e non nel dominio temporale. Esistono segnali il cui sviluppo in serie di Fourier è fatto da un numero finito di termini diversi da zero. Si definisce banda del segnale l'intervallo di pulsazioni comprese fra il minimo e il massimo dei termini non nulli. Ci sono invece segnali che hanno un numero infinito di termini non nulli, questi ultimi hanno una banda illimitata. Se considero un segnale con una funzione nel dominio del tempo con spigoli, punti in cui la funzione non è derivabile, il segnale avrà un numero infinito di componenti, poiché non può essere somma di funzioni derivabili infinite volte (come seni e coseni), per cui avrà una banda illimitata.

Se la potenza del segnale è finita (ovvero l'integrale esiste e converge), quindi è sviluppabile in serie, allora è vero che sarà somma di un numero infinito di componenti, ma l'ampiezza delle componenti tenderà a zero. Anche se a rigore il segnale ha un numero infinito di componenti, da un punto di vista pratico molti termini conteranno poco, avranno poco effetto sul segnale, per cui diventano talmente piccoli da essere trascurabili. Ma quante componenti posso scartare? Utilizzo il teorema di Parseval. Considero tanti termini quanti bastano per raggiungere il 99% dell'energia iniziale; quindi non devo calcolare tutte le componenti, perché so che quelle che trascuro mi danno un contributo inferiore alla soglia che scelgo di considerare. Da un punto di vista pratico non si parla di banda finita o infinita, ma di banda essenziale, ovvero la banda in cui è confinata una certa percentuale della potenza del segnale. Con questo metodo saremo sempre capaci di associare una banda finita ad un segnale periodico.

Trasformata di Fourier

Prendiamo un segnale non necessariamente periodico, quindi una generica f(t), poi andiamo a calcolare l'integrale da -∞ a +∞ di f(t)e^-jωtdt (avremo valori di ω qualunque non essendo una funzione periodica, non avremo una pulsazione principale). Supponiamo che l'integrale converga, allora ad ogni valore di ω quell'integrale dà un risultato complesso, in questo caso possiamo definire una funzione F(ω) associata al segnale f(t). Affinché l'integrale converga, f(t) deve andare a zero per t che tende a ±∞; i segnali periodici non hanno questa caratteristica, si ripetono sempre con lo stesso andamento, non possono dunque andare a zero, quindi questa estensione non copre la classe dei segnali periodici. Non tutti i segnali possibili sono trasformabili secondo Fourier.

Se la trasformata di Fourier esiste, gode più o meno delle stesse proprietà della serie di Fourier, ed in particolare se io conosco la F(ω) posso sempre risalire alla f(t) del segnale di partenza attraverso la funzione di trasformazione inversa, ovvero F^-1(F(ω)) = f(t) = 1/(2π)∫ F(ω)e^jωtdω. Salta fuori dunque che io possa rappresentare il mio segnale nel dominio temporale o nel dominio delle frequenze. F(ω) sarà lo spettro del segnale, in questo caso abbiamo una funzione continua di valori e non più una successione discreta di valori. Chiameremo spettro di ampiezza la funzione reale data dal modulo di |F(ω)|; chiameremo spettro di fase la funzione reale data dall’argomento di F(ω).

Per i segnali f(t) reali è sufficiente considerare le ω che vanno da zero a +∞ poiché il contributo dato dalle ω negative non è nient'altro che il complesso coniugato di quelle positive. Anche per le funzioni di segnali non periodici vale il teorema di Parseval per cui: ∫|f(t)|²dt = 1/π∫|F(ω)|²dω.

Analogamente a come fatto in precedenza, posso definire una banda essenziale...