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ANALISI GRAFICA DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA

Ci chiediamo come possiamo utilizzare la funzione di risposta armonica per trarre delle conclusioni sul comportamento dinamico del sistema Σ. Dato che la risposta armonica deriva da una trasformata di Fourier, possiamo dire che essa ci fornisce il contenuto frequenziale del dispositivo. Sappiamo infatti che la trasformata di Fourier di un segnale ci indica quali sono le armoniche significative del segnale stesso. Riusciremo dunque a definire l'intervallo delle pulsazioni all'interno del quale ha senso far operare quel determinato segnale. Per definizione, la risposta armonica può essere studiata o nel dominio del tempo (attraverso la trasformata di Laplace) o nel dominio di Laplace (utilizzando la funzione di trasferimento calcolata per s= jω): In entrambi i casi, sono delle operazioni molto complicate dal punto di vista computazionale. Per capire qual è il contenuto frequenziale del sistema, senza appesantire.troppo i calcoli, andremo a diagrammare qualitativamente la funzione di risposta armonica F(ω). Possiamo diagrammare la funzione di risposta armonica G(jω)=G(s)|s=jω in almeno due modi: 1. Coppia di diagrammi di Bode 2. Diagramma di Nyquist. Analizzeremo le due tipologie di diagrammi indipendentemente l'uno dall'altro, in quanto hanno caratteristiche e obiettivi diversi. Diagrammi di Bode Ricordiamo che G(jω) è un'applicazione da R in C. Possiamo dunque caratterizzarla attraverso il suo modulo e la sua fase. I diagrammi di Bode fanno quindi riferimento a una coppia di diagrammi, rispettivamente per il modulo e per la fase. Tali diagrammi sono detti semi-logaritmici, ovvero il piano sul quale avviene il disegno è un piano in cui uno dei due assi ha una scala naturale, mentre l'altro logaritmica. In particolare, l'asse delle ordinate è scalato rispetto ai numeri naturali, mentre l'asse delle ascisse (e quindi

l'asse della variabile indipendente, ovvero la pulsazione) viene scalato secondo la scala logaritmica.

Analizziamo le entrambe: La proprietà della scalatura naturale è che la differenza tra un numero successivo e il suo precedente è costante.

Per i diagrammi di Bode si considera il logaritmo in base 10 poiché il modulo della funzione di risposta armonica viene valutato fisicamente attraverso un'unità aperiodica: Tale unità aperiodica è il decibel; per coerenza, si utilizza il logaritmo in base 10 per scalare l'asse delle pulsazioni.

Passiamo adesso dalla scala naturale alla scala logaritmica in base 10: Non essendo definibile lo zero nella scala logaritmica, possiamo decidere l'origine che vogliamo; ad esempio, 10^k con k appartenente ai numeri relativi. Per semplicità, sceglieremo 10^-1 come origine dell'asse logaritmico.

I punti sono divisi in senso logaritmico. Si forma la cosiddetta decade:

scala logaritmica.4. La scala logaritmica permette di visualizzare in modo chiaro e intuitivo l'andamento delle grandezze, evidenziando le differenze tra valori molto grandi e valori molto piccoli.5. La scala logaritmica è utilizzata in diversi campi, come ad esempio l'acustica, l'elettronica e la geologia, per rappresentare fenomeni che variano su un'ampia gamma di valori.6. La scala logaritmica è particolarmente utile quando si vogliono confrontare grandezze che differiscono di molti ordini di grandezza, in quanto permette di ridurre la distanza tra i valori più piccoli e di aumentare la distanza tra i valori più grandi.funzione di risposta armonica per poi sommarle tra loro. Questa proprietà derivaevidentemente dalla seconda. Novembre Pagina 86

Consideriamo la terza proprietà. Sappiamo che G(s) può essere scritta in forma fattorizzata come:

Abbiamo 4 classi di funzioni:
1. Funzione costante
2. Polinomi con Zeri o poli reali
3. Monomio con Polo nell’origine
4. Polinomio con Zeri o poli complessi coniugati

Le suddette componenti si moltiplicano e si dividono tra loro in modo tale da ottenere la funzione G(jω).
Allora, calcolando il logaritmo di G(jω), otterremo somma e differenze delle precedenti componenti graziealle proprietà dei logaritmi. Volendo diagrammare G(jω), ci basterà considerare i diagrammi di tutte lecomponenti per poi sommarle o sottrarle tra loro.

Tracciamo adesso i diagrammi di Bode per ognuna delle 4 classi di funzioni:
Dato un numero complesso z, sappiamo che la sua fase e’ positiva (per convenzione) quando vienevalutata nel

Verso antiorario a partire dal semiasse positivo reale nel piano di Gauss.

Inoltre, per avere una relazione uno a uno tra la rappresentazione geometrica e la rappresentazione polare di z, dobbiamo assumere che -π<= φ<= π: Qualsiasi sia la fase del numero complesso, essa deve essere sempre compresa in un intervallo di 2π: stiamo dunque eliminando la periodicità della fase, ottenendo di conseguenza una relazione biunivoca tra le due rappresentazioni del numero complesso.

Considereremo allora i 4 semiassi con le fasi 0, π/2, π e 3/2 π, rispettivamente.

Essendo k reale, o sarà negativo (fase = π) o positivo (fase = 0). Siccome però k fa parte di una funzione di trasferimento e poiché la funzione fase di k e’ palindroma (assume lo stesso valore agli estremi dell’intervallo), per k<0 si pone φ=- π. (si capirà in seguito il motivo)

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Se avessimo più poli nell’origine (μ>1) si

Se avessimo più poli nell'origine (μ>1) si otterrebbe:

Novembre Pagina 8820 Novembre 2020 (prof. Franze')

venerdì 20 novembre 2020 11:30

Tracciare questa funzione sul piano semilogaritmico comporterebbe un complesso studio della funzione stessa. Per i nostri scopi, è sufficiente studiare un comportamento qualitativo, che nel caso dei diagrammi di Bode si esplica nell'analizzare il comportamento asintotico della funzione stessa nei suoi estremi di definizione.

Idealmente bisognerebbe calcolare il limite della funzione per ω che tende a -♾ (ricordiamo infatti che nella scala logaritmica lo zero si sposta a -♾) e per ω che tende a +♾. In prima approssimazione, possiamo considerare i valori della funzione per ω "molto piccoli" e per ω "molto grandi".

Nel caso dei diagrammi di Bode, si considera un punto di riferimento P sull'asse delle pulsazioni. Questo punto P ci aiuta nel valutare il

comportamento della funzione quando la pulsazione ω risulta essere molto piccola o molto grande di esso. Studiare queste condizioni approssima, di fatto, i limiti per ω-> - e ω-> +♾.♾Il punto P deve essere esattamente noto per la funzione in esame. In questo caso specifico, il punto P è dato da 1/τ, ed è denominato punto di rottura:Per ω<<1/τ approssimiamo il limite ω->-♾, mentre per ω>>1/τ approssimiamo il limite ω->+ .♾Abbiamo perciò determinato il comportamento della funzione in esame ai suoi estremi.Novembre Pagina 89Tracciamo il grafico qualitativo, ipotizzando un valore arbitrario per il punto di rottura:Per descrivere approssimativamente il comportamento della funzione, dobbiamo congiungere le due rette. Per fare ciò, teniamo conto dell'equazione della retta y=20a-20x: se fosse valida per qualsiasi valore di ω, siintersecherebbe con il punto ω=1/τ, per cui uniremo le due spezzate nel punto di rottura. E' lecito pensare di commettere un errore rispetto all'andamento reale della funzione. Il massimo scostamento tra la spezzata approssimata e la curva reale si ha incorrispondenza del punto di rotture. In particolare, il massimo scostamento è dato da: E' un errore ingegneristicamente ammissibile. Se il polo avesse avuto molteplicità algebrica maggiore di 1: La pendenza della seconda spezzata varia quindi al variare di k. Novembre Pagina 90 Se invece di un polo avessimo avuto uno zero reale: In questo caso avremo la seconda semiretta con pendenza positiva. Sono inoltre analoghi i discorsi fatti per la molteplicità algebriche del polo. In definitiva, il diagramma di Bode relativo al modulo di un generico zero o di un generico polo reale nel dominio delle frequenze avrà questo andamento: Facciamo adesso le stesse considerazioni per le fasi. Partiamo alsolito dalla fase del polo reale: Svolgendo un'analisi asintotica e approssimata del comportamento in fase, utilizzeremo lo stesso punto di rottura (1/τ). Abbiamo perciò un ritardo del comportamento del sistema con una fase pari a -π/2. Quindi la fase in corrispondenza del punto di rottura è pari a -π/4. Un primo punto della curva esattamente noto è quindi (1/τ, -π/4). Inoltre: Dobbiamo congiungere i due asintoti in maniera tale che passino entrambi per il punto A. Esistono varie tecniche che ci permettono di congiungere le due spezzate in maniera tale da ottenere un'approssimazione accurata del comportamento reale della fase. Una delle tecniche più utilizzate è conosciuta come Decade precedente - decade successiva. Dato il punto di rottura e la decade in cui esso si trova, si considera il punto con la sua stessa posizione sia nella decade precedente che nella decade successiva. Nel nostro caso, ad esempio, il

punto di rottura si trova nella decade 10^0-101. Andremo quindi a considerare il punto 0,1*1/τ nella decade precedente, e il punto 10*1/τ nella decade successiva. Si prendono questi due punti e si proiettano sui rispettivi asintoti. (quindi il punto sulla decade precedente si proietta sull'asintoto per ω->-, mentre il punto sulla decade successiva si proietta sull'asintoto per ω->+). Avremo in totale tre punti da congiungere (anche se ne basterebbero due essendo una retta). Osserviamo adesso che valgono le stesse considerazioni fatte per la descrizione dei moduli: se la molteplicità algebrica fosse maggiore di 1, varieranno sia la pendenza della spezzata congiungente i due asintoti che il valore dell'asintoto orizzontale per ω->+; se invece di avere un polo reale avessimo uno zero reale, l'andamento delle fasi sarebbero simmetrico rispetto all'asse delle pulsazioni (quindi pe