Controlli automatici

CONTROLLI

AUTOMATICI

INTRODUZIONE

Controllo = azione su una macchina, impianto o processo per modificarne il comportamento

(es. gestire grandi potenze, ottenere precisioni accuratissime, eseguire operazioni ripetitive,

ottenere elevate velocità di esecuzione e operare in ambienti pericolosi e/o remoti).

Elementi chiave di un sistema di controllo:

• Sistema da controllare (impianto);

• Attuatore

• Unità di controllo

• Algoritmo di controllo

• Sensore

SISTEMA = insieme costituito da più parti, i sottosistemi, interagenti tra loro delle quali

à

si vuole indagare il comportamento: i sottosistemi sono a loro volta sistemi, in funzione però

del livello di complessità dell’analisi.

COLLEGAMENTO = interazione del sistema con il resto del mondo. Si distinguono in:

à • Ingressi: azioni eseguite dal resto del mondo sul sistema, che in grado di modificarne

il comportamento. Si dividono a loro volta in:

Ingressi di controllo: controllati artificialmente;

o Ingressi di disturbo: non manipolabili.

o

• Uscite: risultati esterni, o effetti, delle azioni e dell’evoluzione del sistema.

N.B. L’ingresso e l’uscita di un sistema sono arbitrari: quella che è l’uscita di un sistema può

essere l’ingresso di un altro sistema! (es. coppia motrice è input per sistema veicolo, output

per sistema propulsore)

SEGNALE = grandezza fisica, o astratta (associata ad una grandezza fisica), che riproduce

à (),

i comportamenti e le proprietà d’interesse in una scala temporale I segnali

→ ∈ ℝ.

sono variabili temporali che si distinguono in:

• Continui;

• A tempo discreto (analogici).

MODELLO = rappresentazione approssimata di un sistema, costruita per uno scopo; esso

à

riproduce solamente i comportamenti e le proprietà d’interesse. I modelli possono essere:

• Fisici (es. in scala);

• Comportamentali (es. descrizione a parole);

• Descrittivi (es. schemi, disegni, progetti);

• Matematici: sistemi di equazioni per la formalizzazione di leggi fisiche, per lo studio

del comportamento delle grandezze, per la previsione e per il controllo.

I modelli matematici descrivono la struttura e la sua evoluzione nel tempo mediante

grandezze fisiche e matematiche, classificate come:

Parametri: costanti che descrivono la struttura fisica (es. resistenza, massa);

o Variabili: descrivono il variare di una grandezza del sistema (es. corrente, posi-

o zione, velocità, temperatura).

I modelli possono essere:

Derivanti da leggi fisiche: relazioni che interpretano relazioni causa-effetto;

o Black-box: per sistemi complessi, senza regole matematiche; sono definiti sul-

o l’osservazione dei dati sperimentali.

N.B. Ad uno stesso sistema è possibile associare più di un modello in funzione del problema

considerato SISTEMA MODELLO!

≠

à

L’obiettivo di base di un sistema di controllo è rendere l’andamento temporale delle variabili

da controllare il più simile possibile all’andamento dei segnali di riferimento (azioni sistema).

CAPITOLO 1: SISTEMI E MODELLI

Progettazione di un sistema di controllo:

1. Definizione dei segnali associati alle grandezze fisiche interessate;

2. Analisi del sistema (studio delle proprietà e verifica di fattibilità delle specifiche);

3. Costruzione del modello del sistema (definizione ingressi, uscite, complessità);

4. Introduzione degli elementi tecnologici (sensori, attuatori, catena di acquisizione ed

attuazione e dispositivo di elaborazione);

5. Definizione delle specifiche del progetto (obiettivi, qualità, costi, ecc.);

6. Progettazione dell’algoritmo di controllo, basato su: modello, segnali e specifiche;

7. Sperimentazione (prototipazione con verifica specifiche e stima costi, ingegnerizza-

zione della produzione);

8. Verifica del comportamento mediante simulazione (in condizioni ideali e in condizioni

reali, che implicano ritardi di calcolo e disturbi di misura, maggior complessità, ecc.);

9. Realizzazione del sistema fisico implementato di controllo.

I controlli si distinguono in:

• Controlli in catena aperta: basati sul modello e sulla stima delle condizioni operative;

• Controlli in retroazione: basati sul modello e sulla misura dell’obiettivo e delle condi-

zioni operative.

N.B. I controlli sono atti a garantire le prestazioni, al variare delle specifiche, delle condizioni

operative e degli agenti esterni, ma è indispensabile garantire il funzionamento del sistema

indipendentemente dal controllo!

I modelli possono essere relativi a:

• Sistemi statici (“senza memoria”): descritti da equazioni algebriche, con uscita che

dipende solo dal valore assunto dalla variabile in ingresso all’istante di ingresso;

• Sistemi dinamici (“con memoria”): descritti da equazioni differenziali, con uscita che

dipende dai valori assunti dalla variabile in ingresso all’istante di ingresso e a TUTTI

gli istanti precedenti. Per questi sistemi si definiscono quindi le VARIABILI DI STATO,

che descrivono quindi la situazione interna del sistema (dipendente dalla storia degli

istanti), necessarie per determinare l’uscita, in quanto legate alla memoria passata.

I modelli possono essere classificati secondo diversi aspetti, quali:

• Staticità del modello:

Modelli di Sistemi Statici: equazioni algebriche, “sistemi senza memoria”;

o Modelli di Sistemi Dinamici: equazioni differenziali parametri concentrati;

à

o

• Numero delle variabili:

Sistemi SISO (“Single Input Single Output”);

o Sistemi MIMO (“Multiple Input Multiple Output”);

o

• Linearità del modello:

Sistemi Lineari: variabili entrano linearmente; un modello dinamico si definisce

o lineare se valgono le seguenti proprietà:

La risposta con ingresso 0 è lineare rispetto allo stato iniziale;

v La risposta da stato 0 è lineare rispetto all’ingresso;

v La risposta completa coincide con la somma della risposta con ingresso

v () ( ) ()

0 e la risposta da stato 0 ;

→ = +

!" !#

N.B. I sistemi fisici generalmente sono NON lineari, ma vengono approssimati

a lineari entro determinati intervalli (definiti dalle funzioni di saturazione), con

opportune condizioni su input e output!

Per sistemi lineari vale la PROPRIETÀ DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI:

%&'"

() ( ) () ( ) ( )

∑

Dato input si ha

= + + ⋯ + =

à " " $ $ % % & &

%&'"

() () () () ()

∑

output = + + ⋯ + =

" ()," $ (),$ % (),% & (),&

Sistemi Non Lineari: variabili entrano non linearmente;

o

• Tempo varianza:

Tempo varianti: caratteristiche del sistema variano nel tempo;

o Tempo invarianti: caratteristiche del sistema sono costanti nel tempo. Per tali

o modelli vale la ripetibilità degli esperimenti (output ottenuto con input da

stato x al tempo t è uguale a output ottenuto con stesso input a tempo t-).

0 0

N.B. Sistemi stazionari al 100% sono rarissimi, si approssimano a stazionari se

i parametri caratteristici non variano in maniera apprezzabile in un ∆T.

• Caratterizzazione dei parametri:

Modello a parametri concentrati: caratterizzati da approssimazioni che per-

o mettono di concentrare in uno, o pochi, punti del sistema le caratteristiche fi-

siche del sistema steso (massa, elasticità, resistenza, ecc.), ottenendo così una

semplificazione dell’elaborazione matematica. Vengono caratterizzati da:

Equazioni differenziali ordinarie (tempo continuo);

v Equazioni alle differenze (tempo discreto);

v Equazioni alle differenze parziali, nel caso in cui non è possibile conside-

v rare come concentrati alcuni parametri del modello;

Modello a parametri distribuiti: equazioni differenziali alle derivate parziali;

o

• Causalità:

Modelli causali: uscita corrisponde ad una sollecitazione che si manifesta in is-

o tanti non anteriori a quello iniziale di applicazione della sollecitazione;

Modelli non causali (anticipativi) NON possono rappresentare sistemi fisici.

à

o

RISPOSTA DA STATO 0 (RISPOSTA FORZATA):

à

Risposta y (t) di un sistema che è inizialmente in quiete (input = output = 0) e che viene sol-

ZS

lecitato da un ingresso non nullo, senza l’applicazione del quale rimarrebbe indefinitamente

in stato di quiete.

RISPOSTA CON INGRESSO 0 (RISPOSTA LIBERA):

à

Risposta y (t) di un sistema che è sollecitato da un ingresso nullo: se il sistema è inizialmente

ZI

in quiete, vi permane per t > t , altrimenti si ha un’evoluzione dell’uscita.

0

RISPOSTA COMPLETA:

à

Risposta di un sistema che si trova inizialmente in condizioni di non quiete ed è sollecitato

con un ingresso non nullo: è necessario conoscere quindi sia l’ingresso applicato che lo stato

del sistema. dim(x) = n

dim() = m

SISTEMI LINEARI :

6 dim(y) = p !"!

(): → ℝ

()

̇ !"#

()() ()()

" = + (): → ℝ

• %&$$'()(!*&+,-!(

Tempo varianti ( + 1)

! ! $"!

():

→ ℝ .!/'())-/1*&*-/2)3,*&

() = ()() + ()() $"#

():

→ ℝ

()

̇ +, (, , ) = 0 ∀, ,

> = (, (), ()) +-

( 1)

• +

Tempo invarianti 6 → ⟺ 6 +. (, )

, = 0 ∀, ,

() = ℎ(, (), ()) +-

() + ()

→> ( //)

() ()

+

LINEARIZZAZIONE: supponendo x (t), u (t), y (t) una soluzione nominale del sistema, e

à 0 0 0 (0)

(0) = + (0)

/

supponendo una perturbazione dello stato e delle condizioni iniziali > ( ) () ( )

= +

/

() () ()

con traiettoria perturbata espansione di Taylor al I Ordine:

= + à

/

() () () () () ( ) ()

⎧̇ ^ ` ^ `

≈ + = +

0 0

/ /

^ ^

⎨ ()() ()()

() ≈ ` () + ` () = +

0 0

⎩

/ /

PRINCIPI DI MODELLISTICA:

Lo scopo è quello di determinare un modello matematico che approssimi il comportamento

di un sistema dinamico. Gli approcci utilizzati sono:

• Indagine diretta: suddivisione del sistema in sottosistemi elementari, caratterizzati

da modelli matematici di facile identificazione. Il modello complessivo viene dedotto

come composizione dei modelli elementari, applicando leggi fisiche.

Considerando un’analisi energetica, le grandezze in questione corrispondono alle

quantità di energia accumulata nel sistema, e si dividono in:

Trans-variabile (variabile passante);

o Per-variabile (variabile ai morsetti).

o

Il prodotto delle variabili energetiche rappresenta la potenza nel dominio. Ciascuno

dei due elementi del dominio energetico è caratterizzato da:

Variabile interna q(t): ottenuta integrando la variabile d’ingresso, che ne des-

o crive l’accumulo;

Relazione costitutiva lega in maniera statica la variabile interna all’uscita.

Φ:

o -

,

() ( ) () ( )

c

= + ↔ =

, , /

-

! 12"

()

Φ = ↔ = Φ g h

1 , ,

32"

() ( )

= Φ ↔ = Φ

3

• Black box: il sistema viene considerato come una scatola nera, il cui comportamento

è identificato mediante l’analisi dei segnali in ingresso e in uscita (analisi armonica);

• Graybox (o approccio misto): il sistema viene scomposto in sottosistemi interagenti,

modellati mediante indagine diretta e/o analisi di ingressi e uscite.

5

"

= >

⎧ 4 $ " )

5 #$(&

"

# (q )→q̇ (q )q̇ t(q )r

⎪ q rs rt uvw

! " ! " " "

= ∙ #&

"

$ 4 $ ("

̇ (q )x

→x rt

⎨ () () ()

= ∙ ! " "

& " "

⎪ ̇

() () ()

⎩ = ∙ =

6 $ $ &

CAPITOLO 2: TRASFORMATA DI LAPLACE

L’evoluzione nel tempo di un sistema dinamico può essere descritta mediante equazioni dif-

ferenziali lineari ordinarie di ordine n:

7 72" 8 82"

+ + ⋯ + = + + ⋯ +

7 72" / 8 82" /

7 72" 8 82"

Per risolvere le equazioni differenziali si ricorre alle trasformate funzionali, in particolare alla

Trasformata di Laplace, che stabiliscono una corrispondenza biunivoca tra funzioni oggetto

(funzioni del tempo) e funzioni immagine (funzioni armoniche, nel dominio delle frequenze);

esiste anche il procedimento opposto, per passare dalle funzioni immagine alle funzioni og-

getto, eseguito tramite le antitrasformate.

La Trasformata di Laplace associa in maniera biunivoca a una generica funzione f(t), a valori

reali o complessi, una funzione F(s) a valori complessi, definita per s complessi.

9

⎧ 2#-

() ℒ[ ()] ()

c

= = ∙

⎪ / : ;<

1 ! $

⎨ 2" #-

[()] c

() = ℒ = () ∙

⎪ 2

⎩ : 2<

! $

PROPRIETÀ DELLE TRASFORMATE:

[ () ()] () ()

• Linearità: ℒ ∙ + ∙ = ∙ + ∙

" " $ $ " " $ $

∗ ∗

( ) ()

• Valori coniugati: = " #

[ ()]

• Messa in Scala: ℒ = • ‚

> > 2#-

( ) ( ) ( )

• Traslazione nel tempo: − ∙ − ⟺ !

? / /

# -

( ) ( )

• Traslazione nella frequenza: ⟺ −

! /

9

() ( ) () ( ) () ()

• Convoluzione nel tempo: ∙ = ∙ − ⟺ ∙

∫

" $ " $ " $

29 : ;<

! $

() () () ( )

• Convoluzione nella frequenza: ∙ = ∙ − →

∫

" $ " $

: 2<

! $ 1

() () [ ( ) ()]

→ ∙ ⟺ ∙

" $ " $

2

!

% &(()

• Derivazione: (.) (*+,)

* *+, + *+- + + *

) (0 ) (0 )

⟺ ∙ () − ∙ (0 − ∙ − ⋯ − ≅ ∙ ()

!

%(

- ( )

()

• Integrazione:

∫ ⟺

/

/ ;

(0 ) ()

• Teorema del Valore iniziale: = lim ∙

#→9

( ) ()

• Teorema del Valore finale: lim = lim ∙

-→9 #→/

N.B. Valido solo SE poli hanno parte reale < 0 (STABILITÀ)!

!

7 >-

ℒ[ ]

→ ∙ = >

/

( 7;"

− )

ANTI-TRASFORMATA DI LAPLACE:

Viene utilizzata per passare dal dominio trasformato (delle frequenze) al dominio del tempo,

in funzione delle condizioni iniziali e dell’ingresso )

(,

/

() (, ) () ()

→ = + ∙ >

/ ()()

8 82"

+ + ⋯ + +

8 82" " /

( )

= = −

7 72"

+ + ⋯ + +

7 72" " /

• Se r > 0: si scompone la funzione F(s) come somma di fratti semplici;

• Se r = 0: si scompone la funzione F(s) nella somma di una costante e di una funzione

propria, scomponibile mediante il metodo dei fratti semplici.

La funzione F(s) può sempre essere espressa in forma fattorizzata:

( ) ( ) ( ) ( )

− ∙ − ∙ … ∙ − , … ,

" $ 8 " 8

()

= = >

, … ,

( ) ( ) ( )

() − ∙ − ∙ … ∙ − " 8

" $ 8

PROCEDIMENTO 1) G(s) 2) U(s) 3) Y(s) 4) Y(t)

à 2" 2 2"

( ) (

() = − ) ∙ (0 + − ) ∙ ∙ ()

→> 2" 2 2"

() (