Controlli Automatici

Modello matematico

Il problema del controllo

Sistema da controllare
Fenomeni di disturbo
Indicatori del comportamento (uscite)

Obiettivo: Far comportare gli indicatori come desiderato agendo sugli ingressi e nonostante i disturbi.

Ingressi, uscite e disturbi sono segnali reali.

• u: ingressi disponibili
• y: uscite (variabili controllate)
• d: disturbi
• w: segnali di riferimento o set point ovvero i valori desiderati di y

Obiettivo: y(t) ≅ w(t) nonostante d(t), ove w(t) e d(t) appartengono ad opportune classi.

Sistema da controllare

Fenomeni di disturbo
Indicatori del comportamento (uscite)

Obiettivo: Far comportare gli indicatori come desiderato agendo sugli ingressi e nonostante i disturbi.

• u: ingressi disponibili
• y: uscite (variabili controllate)
• d: disturbi
• w: segnali di riferimento o set point ovvero valori desiderati di y

Obiettivo: y(t) ≅ w(t) nonostante d(t), dove w(t) e d(t) appartengono ad opportune classi.

Schema base

1. Controllo in anello aperto (AA) o feed forward (FF)
   C_I: controllore. Funziona se:
   • A) Non c’è d, perché C_I non lo sopporta.
   • B) Conosce esattamente il legame u → y, cioè, non ci sono disturbi né incertezze sul sistema controllato.
2. Controllo in anello aperto con compensazione del disturbo
   Funziona se:
   • A) Conosce il legame (u,d) → y
   • B) d_m = d, cioè se, di nuovo, nessuna incertezza e misura del disturbo esatta.
3. Controllo in anello chiuso (AC) o feed back (FB)
   Questo schema, come vedremo, può funzionare anche in presenza di incertezze e/o disturbi.

Cosa mettiamo nel controllore?

Modelli
Statici
Dinamici

Esempio di modello statico

F molla = - k nu̅
F attrito = - k̅n u̅ con n̅u̅ = ^dn̅/_dt

F(t) forza esterna (ingresso)

Equilibrio → masse ferme → n̅u̅ = 0 → ΣF forza d'attrito

Quindi detta n̅ la posizione di equilibrio si ha: F = k̅n u̅ → F - k̅n u̅ = 0

Sospendiamo di voler mantenere n̅ ad un valore desiderato ed usiamo un controllo in anello aperto, basta applicare F = k̅n u̅

F = Hx⁰
X = F/H

Chiamiamo K_n (in cui "n" sta per "normale") il valorex⁰

F = K x⁰
x = ^F/_K = ^{K_n/K_n + ΔK x0}

Esempio: F = α (x⁰ - x) con α > 0

S: x = ^F/_K
C: F = α (x⁰ - x) ⇒ x = ^{α (x0 - x)}/_K

x = ^{α (x0 - x)}/_{Kn + ΔK} ⇒

α_{(1 + ^α}/_{Kn + ΔK)} = ^{α x0/_{Kn + ΔK}} ⇒

⇒ x = ^{α x0/_{Kn + ΔK}} . _{Kn + ΔK}/^{K_n + ΔK + α} = ^{α/_{Kn + ΔK + α}} x⁰

• Anche se ΔK = 0 si ha che x ≠ x⁰.

Cosa mettiamo in C? (nel costruttore)

Modelli - Statici
Dinamici
es.: (STATICI)_F(t)F