Controlli Automatici

Modello matematico

Astraione

Sistema da controllare

Desideri

Sintesi

Legge di controllo

Implementazione

Controllore

Il problema del controllo

Sistema da controllare

Indicatori del comportamento (uscite)

Obiettivo: far comportare gli indicatori come desiderato agendo sugli ingressi e nonostante i disturbi.

Ingressi, uscite e disturbi sono segnali reali.

• u: ingressi disponibili
• y: uscite (variabili controllate)
• d: disturbi
• w: segnali di riferimento o set point (ovvero i valori desiderati di y)

Obiettivo: y(t) ≃ w(t) nonostante d(t), dove w(t) e d(t) appartengono ad opportune classi.

SCHEMI BASE

1. Controllo in anello aperto (AA) o feed forward (FF)

   C_A: controllore.

   • Funziona se:

     • A) manca d, perché C_A non lo sopprime.
     • B) si conosce esattamente il legame u → y cioè non ci sono disturbi né incertezze sul sistema controllato.

2. Controllo in anello aperto con compensazione del disturbo

   • Funziona se:

     • A) si conosce il legame (u,d) → y
     • B) d_m = d
     • Cioè, di nuovo, nessuna incertezza e misura del disturbo esatta.

3. Controllo in anello chiuso (AC) o feed back (FB)

   In questo schema, come vedremo, può funzionare anche in presenza di incertezze e/o disturbi.

4. Controllo in anello chiuso con compensazione del disturbo

F = α(x^o - x)

α > 0

S: x = F/K

C: F = α(x^o - x)

x = α(x^o - x) / K

x = α(x^o - x)

x_e = α(x^o - x) / (Kn + ΔK) => x(1 + α / Kn + ΔK) = αx^o / Kn + ΔK

x = αx^o / Kn + ΔK + x

α / Kn + ΔK + x = α / Kn + x + x^o

1) anche se ΔK = 0 x ≠ x^o

2) per α < elevato, l'errore si può fare grande, a piacere

questi i FB controlli l'incertezza

(NB: in FB non ho questo K)

MODELLO DINAMICO (come si muove)

as: F = mx, x = ẋ

quindi mẍ = F - Kx - λẋ

vizioso

AA) mẍ + ẋ + Kx = F(t)

indipendente da come questo è determinato

ricarico sim x AA, non dipendo da x, né da ẋ

In AA posso non studiare se corre la situazione

generale

Proprietà della TDL

1. È un operatore lineare: L[Ax(t) + By(t)] = AL[x(t)] + B L[y(t)]
2. Se la TDL di un segnale Ψ, essa converge per Re(s) > d dove d si dice ascissa di convergenza ma è prolungabile quasi ovunque
3. L[ d v(t)/dt ] = s L[v(t)] - v(0)
4. L[u(t-t₀)] = e^-st₀ L[r(t)]

Dimostrazione: L[ d u(t-t₀)] = ∫₀^∞ v(ξ-t₀) e^-st dξ = = ∫₀^∞ v(x) e^-s(x+t₀) dx = e^-st₀ ∫₀^∞ u(x) e^-sx dx = e^-st₀ L[r(t)]

Osservazione: Se di un segnale esistono sia la TDL che la TDF allora si ottiene l'una dall'altra scambiando σ ↔ jω

N.B.: La TDF più anche facile da 0 visto che esiste la TDL

Antitrasformazione

Se V(s) = L[v(t)] ➔ v(t) = 1/2πj ∫_d-j∞^d+j∞ V(s) e^st ds

• con D più ascissa di convergenza

TDL notevoli

u(t) | 1

∫(u) | 1/s

∫u(t-t₀) | 1/s²

sca(t) e^αt | 1/(s-a)²

sca(t).e^bt[L^m-1 d^n-1] | 1/(s-a)^m

N.B.: TDL di sin e cos si ricavano da Euler:

sin(t) | ω/(ω² + s²)

cos(t) | s/(ω² + s²)

cos(t) | (e^jwt - e^-jwt) / 2j

e^jwt, e^-jwt, e^jwt - e^-jwt / 2j

(%i9) ratsimp(1/(s+1)+3/(s+2));

^b ₂5 + 4s ――――――――― s² + 3 s + 2

A = [⁰ ₁]

    [-2 -3]

b = [⁰]

    [1]

c = [5 4]

Risposta Esponenziale

Dato il SD LTI SISO a TC

_{

ẋ = Ax + bu

y = cx + du

1. L'affaccio ad esso l'ingresso

u(t) = U e^λt, λ∈ℂ, U∈ℝ

allora ∃ x(0): x(t) = Y e^λt t ≥ 0, Y∈ℝ ?

1) Su che y(t) = c x(t) + du(t) e u(t) = U e^λt allora x(t) dovrà essere del tipo x(t) = x(0) e^λt (con x(0) vettore costante).

2) Preso t = 0 x(t) = ẋ(t) e (A - λI) x(0) = bU.

3) Riformulo la domanda dell'eq. di stato: ∃ x(0): con u(t) = e^λt, t ≥ 0, il movimento totale dello stato x(t) = x(0)e^λt, t ≥ 0?

4) Se x(t) = x(0)e^λt allora ẋ(t) = λ x(0)e^λt. Sostituisco nell'eq. di stato ẋ = Ax + bu

lato sinistro λ x(0)e^λt = Ax(0)e^λt + bUe^λt

↔ λ x(0) = Ax(0) + bU, da cui

(λI - A) x(0) = bU.

5) Se λ non è autovalore di A ⇒ ∃ unico x(0) (λI - A)^-1 bU

{x(0)(λI - A)^-1 bU produce x(t) = x(0)e^λt t ≥ 0

u(t) = U e^λt t ≥ 0

6) Ora sostiniamo nell'uscita:

y(t) = c x(t) + du(t) = c x(0) e^λt + dU e^λt

lato sinistro = (c (λI - A)^-1 b + d) U e^λt = G(λ) U e^λt

7) Conclusione: se λ non è autovalore di A

x(0) = (λI - A)^-1 bU.

{y(t) = G(λ) U e^λt, t ≥ 0

Interpretazione

ML = modi del sistema combinati da x(0).

HF = modi del sistema combinati non da x(0)

(il HF non dipende da x(0)) + termini del tipo dell’ingresso.

Con l'approssimato x(0) i modi del sistema combinati da x(0), si escludono e quindi solo termini esponenziali.

y(t) = c x(0)e^λt

y(t) = c e...

• Diagramma di Bode della fase (DBF)

Per noi è comodo esprimere ω in rad/s.

Tracciamento dei diagrammi di Bode

Data una qualsiasi FdT, possiamo scriverla così:

G(s) = ^μ/_s^g ∏ⁿ(1 + sT₁) ... / ∏(1 + sT₂) ...

(1 + 2_Σi s + ¹/_Ωni²s²) ...

(1 + 2_Σ/_iΩ) ...

• μ: guadagno
• g: tipo (intero)
• T_i, T_i: costanti di tempo
• Ω_i, ω_i: pulsazioni naturali
• Σ_i, ξ_i: fattori di smorzamento

Esempio. G(s) = ^4s+3/_{s³ + 2s² + 5} = ^{3(1 + 4/₃s)}/_{s(s² + 2s + 1)} = ³/₅• ^{(1 + 4/₃s)}/_{(1+ s)²}

μ = 3

Ω₁ = ⁴/₃

g = 1

T₁ = T₂ = 1

Adesso è nella forma giusta per tracciare il diagramma di Bode.

Deve valere 1 per s = 0.