RELAZIONE: CONTINUITA’ –
DERIVABILITA’ – INVERTIBILITA’ –
CONVESSITA’
• Una funzione definita in un intorno di x є R è DERIVABILE solo se la derivata destra
I 0
coincide con la derivata sinistra.
• Se f è una funzione DERIVABILE in x=x f è CONTINUA.
0
• Siano f(x) e g(x) due funzioni derivabili in x=x Allora per ogni α,β є R, la funzione αf(x) +
0.
βg(x) è derivabile in x (αf + βg)’(x ). = αf’(x ) + βg’(x ).
0 0 0 0
• Sia f(x) una funzione derivabile in x є R e g(x) derivabile in f(x ). Allora g f=g(f(x )) è
o
0 0 0
derivabile in x . (g f)’(x ) = g’(y ) f’(x )=g’(f(x ))f’(x )
o
0 0 0 0 0 0
• Sia : -f(x) continua e invertibile in un intorno di x=x є R
0
-f(x) derivabile in x con f’(x ≠ 0
0 0)
-1
Allora: f (y) è derivabile in y = f(x ) e si ha:
0 0
-1 -1
(f )’(y ) = 1/f’(x ) = 1/f’(f (y ))
0 0 0
• Sia f pari e derivabile in tutto R f’ è dispari.
• Sia f dispari e derivabile in tutto R f’ è pari.
• Sia f continua e derivabile in tutto un intorno I tranne eventualmente in x=x .
0
Se esiste finito il lim f’(x), allora f è derivabile anche in x 0
. x-->x 0
lim f’(x) = f’(x )
0
x-->x 0
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