Relazione: continuità, derivabilità, invertibilità, convessità
Una funzione definita in un intorno di x ∈ R è derivabile solo se la derivata destra coincide con la derivata sinistra.
Se f è una funzione derivabile in x = x0, allora f è continua.
Siano f(x) e g(x) due funzioni derivabili in x = x0. Allora per ogni α, β ∈ R, la funzione αf(x) + βg(x) è derivabile in x = x0 e si ha:
(αf + βg)′(x0) = αf′(x0) + βg′(x0).
Sia f(x) una funzione derivabile in x ∈ R e g(x) derivabile in f(x0). Allora (g o f) è derivabile in x0 e si ha:
(g o f)′(x0) = g′(y0) f′(x0) = g′(f(x0)) f′(x0).
Sia:
- f(x) continua e invertibile in un intorno di x = x0 ∈ R,
- f(x) derivabile in x0 con f′(x0) ≠ 0.
Allora f−1(y) è derivabile in y = f(x0) e si ha:
(f−1)′(y0) = 1/f′(x0) = 1/f′(f−1(y0)).
Sia f pari e derivabile in tutto R, allora f′ è dispari.
Sia f dispari e derivabile in tutto R, allora f′ è pari.
Sia f continua e derivabile in tutto un intorno I tranne eventualmente in x = x0. Se esiste finito il limx→x0 f′(x), allora f è derivabile anche in x0.
limx→x0 f′(x) = f′(x0).
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