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Derivabilità ∈
Si definisce il rapporto incrementale di relativo a come:
x D
f 0
x
f 0)
( ¿¿ ∀ ∈−
f x di f nel punto x x x
{ }
( )− 0 0
x−x 0 ¿
Si dice che è derivabile in se:
x
f 0
x 0
o Df (¿)
f x
( )−f (x ) df
0 '
lim esiste ed è finito e siindica con f x oppure x
( ) ( )¿
x−x dx
x → x 0
0
Osservazione
Posto h=x −x
0
f x h
f x x ( )
+ −f (x )
( )−f ( ) 0 0
0 =
x−x h
0 f x h x
f x x ( )
+ −f ( )
( )−f ( ) 0 0
' 0
f x lim
( ) = =lim
0 x−x h
x→ x h →0
0
0
Esempi:
FUNZIONI COSTANTI ∀
f x , xϵR
( )=c
1) ' ∀
f x xϵR
( )=0,
f x , xϵR
2) ( )=x
f x x x−x
( )−f ( )
0 0 ' ∀
→ f x x ϵR
( )=1,
= =1 0
x−x x−x
0 0
f x , xϵR
3) ( )=senx
f x h x sen x x sen x cosh x senh−sen x
( ) ( ) ( )
+ −f +h −sen +cos
0 0 0 0 0 0 0
= = =¿
h h h
sen x
( ) (cosh −1) senh
0 cos x
¿ + 0
h h
sen x h senhcosx
( )
+ −senh cosh
( )
−1
0 0
lim lim
=senx +lim
0
h h h
h→ 0 h→ 0 h→ 0
2
4) f x , xϵR sia x ϵR
( )=x 0