Concetti dalla pratica finanziaria, Blasi

alessandro blasi

CONCETTI DI BASE DALLA PRATICA FINANZIARIA

Ÿ Interesse

A B

Se (persona fisica, ente, etc.) cede a un proprio capitale monetario (in seguito semplicemente: capitale)

pattuisce per il suo utilizzo un compenso che si chiama interesse. L'interesse pattuito per ogni unità di

capitale iniziale impiegato e per ogni unità di tempo prende il nome di tasso di interesse relativo a quella

unità di tempo. Nella pratica, a seconda che si fissi come unità di tempo l'anno, il semestre, il trimestre, il

mese, etc, si avrà un tasso rispettivamente annuale, semestrale, trimestrale, mensile, etc.

A B

Situazione solo apparentemente diversa: deve dare a un capitale non ora, ma in uno stabilito tempo t

A B

successivo. può in questo caso pattuire con la cessione immediata del capitale, purchè decurtato di un

opportuno importo: uno sconto. Lo sconto per ogni unità di capitale dovuto al tempo t e per ogni unità di

tempo è il tasso di sconto relativo a quella unità di tempo. Anche in questo caso si potranno quindi avere

tassi di sconto annuali, semestrali, trimestrale, mensili, etc.

Che le due situazioni siano due facce di una stessa medaglia si capisce subito: nella prima (che chiameremo

di "impiego" o "capitalizzazione") si cede al momento iniziale un capitale C con il patto di riottenere in t

0

il capitale C = C +I aumentato di un interesse I concordato; nella seconda (che nella pratica è nota come

t 0

"anticipazione" o "attualizzazione") si anticipa al momento iniziale la cesssione di un capitale C al posto

0

di un capitale C dovuto in realtà in un momento successivo t pattuendo in questo caso uno sconto S, per

t A B

cui C = C - S . Entità dello sconto: è naturale per richiedere a uno sconto S pari all'interesse I che

t

0

richiederebbe se invece di anticipare C lo capitalizzasse per lo stesso tempo, in modo che:

0

= - = - cioè

C C S C I

t t

0 = +

C C I

t 0

Quindi in parole povere, accettato questo punto di vista, le stesse formule che si utilizzeranno per la capital-

izzazione saranno reinterpretabili in termini di anticipazione. Occorre però fare attenzione ad una asimme-

tria posta tra le due situazioni: i tassi di interesse e di sconto sono entrambi riferiti all'unità di tempo e

all'unità di capitale, però il capitale di riferimento è quello iniziale C per il tasso di interesse ed è invece C

t

0

(quello dovuto al tempo t) per il tasso di sconto.

E' facile poi trovare la relazione tra tasso di interesse i e tasso di sconto d entrambi riferiti alla stessa unità

di tempo: - -

C C C C C C 1

1 0 1 1 0 0

= = - = = - = -

1; 1 1

i d +

1

C C C C i

0 0 1 1

da cui: i d

= • =

d i (1)

+ -

1 1

i d

2 prova.nb

Ÿ Esempio 1

Investo oggi (t = 0) per un anno 1000 € e al termine dell' anno mi ritrovo con un capitale di

è

1050 €: interesse I = 50 € e tasso di interesse i = (1050-1000)/1000 = 0.05 in un anno, che si

usa esprimere nella forma: 5% annuo.

Debbo dare a Peppe 1050 € tra un anno, sono però disposto ad estinguere anticipatamente il

è

debito dandogli subito 1000 €, ottenendo così uno sconto S = 50 €: tasso di sconto

0.047619

d = (1050-1000)/1050 = 0.047619, cioè 4.76%. Per la (1) si ha poi i= =0.05

1-0.047619

Inizieremo vedendo alcuni regimi di capitalizzazione usati in pratica, per poi passare ai corrispondenti

regimi di anticipazione.

Regimi di capitalizzazione

Capitalizzazione Semplice

Ÿ Montante e fattore di montante

Un capitale C è impiegato in regime di capitalizzazione semplice se l'interesse I da esso prodotto è propor-

0

zionale al capitale C ed al tempo t di impiego: il coefficiente di proporzionalità è il tasso di interesse i

0

relativo all'unità di tempo fissata:

= × ×

I i C t (2)

0

C

La somma del capitale iniziale e dell'interesse maturato:

t H1

= +I = + × × = + ×

C C C C i t C i tL (3)

t 0 0 0 0

viene chiamato montante del capitale C al tempo t ; l'espressione 1 + i·t prende il nome di fattore di

0

montante (o di capitalizzazione); è il montante in t del capitale unitario: moltiplicando tale fattore per il

capitale iniziale C si ottiene il montante C al tempo t.

t

0

Ÿ Osservazione

Nelle espressioni precedenti appaiono le quattro variabili: C , i, t, C : noti i valori di tre di esse dalla (3) si

t

0

ricava immediatamente la quarta.

Ÿ Esempio 2

Investo oggi (t = 0) ad interesse semplice e per 3 anni 2000 € al tasso del 5% annuo. Il

montante al termine dei tre anni è C = 2000 (1+ 0.05 · 3) = 2300 €

3 3

prova.nb

Capitalizzazione Composta

Ÿ Montante e fattore di montante

Fissiamo l'unità di tempo, ad esempio l'anno, e sia i il tasso di interesse riferito a tale unità. Un capitale C

0

produce al termine del primo anno un montante pari a C =C +C ·i = C (1+i): questo importo viene

1 0 0 0

assunto come capitale iniziale per un impiego alle stesse condizioni per il secondo anno (cioè al termine del

primo anno l'interesse maturato viene convertito in capitale fruttifero). Il montante al termine del secondo

anno sarà allora: H1 H1 H1 H1 2

= + × = + = + + = + (4)

C C C i C iL C iL iL C iL

2 1 1 1 0 0

C

A sua volta viene assunto come capitale iniziale per il successivo anno, producendo un montante

2

H1 3

= +

C C iL e così via: in generale al termine dell' anno t il montante maturato sarà:

3 0 H1 t

= + = 1, 2, 3, 4, 5, ....

C C iL t (5)

t 0 H1 t

+ iL

Anche in questo caso l'espressione prende il nome di fattore di montante (o di capitalizzazione): è

il montante (in questo regime) dell'unità di capitale (esempio 1 € )

al tempo t.

Non è detto ovviamente che la conversione degli interessi debba necessariamente avvenire ogni anno: in

genere l'intervallo costante di tempo dopo il quale l'interesse maturato viene convertito in capitale fruttifero

si chiama periodo di capitalizzazione o di conversione. La (5), essendo definita solo per valori di t interi,

permette, una volta fissato il periodo di capitalizzazione, di calcolare il montante dopo t periodi al tasso

periodale i: dopo t anni al tasso annuo i, dopo t semestri al tasso semestrale i, t mesi al tasso mensile i, etc.

Ÿ Osservazione:

Anche in questo caso note tre delle quattro variabili: C , i, t, C dalla (5) si ricava la quarta (questa volta

t

0

evito di dire "immediatamente" e ti indico come si ricavano): 1

H1 -

log log

C C

C C t t 0

t t H1

H1

t (6)

= + – = – = - – =

1

C C iL C i t

t 0 0 t +

log

C iL

+ iL 0

Ÿ Esempio 3

Investo oggi (t = 0) ad interesse composto e per 3 anni 2000 € al tasso del 5% annuo. Il

H1 3

montante al termine dei tre anni è C = 2000 0.05L = 2315.25 €

+

3

Ÿ Tassi equivalenti nel regime dell'interesse composto

Fissiamo come unità di tempo l'anno e sia i il corrispondente tasso di interesse : impiegando 1 € all'inizio

dell'anno ottengo alla fine dell'anno un montante pari a (1+ i) € .

Domanda: se cambio l'unità di misura del tempo, e prendo ad esempio il semestre (1/2 anno) qual'è il tasso

di interesse semestrale che in un anno mi produce, con la capitalizzazione composta, lo stesso montante

(1+ i) ??

Chiamiamo questo tasso incognito i (il pedice 1/2 ci ricorda che abbiamo suddiviso l'anno in due parti

12

uguali, adottando il semestre; se avessimo adottato il trimestre avremmo diviso l'anno in 4 parti ed

avremmo considerato il tasso incognito i , etc.). Al termine di un anno, cioè 2 semestri, 1 € produce un

14

H1 L

2

+

montante di i e questo deve risultare uguale a:

12

4 prova.nb

Chiamiamo questo tasso incognito i (il pedice 1/2 ci ricorda che abbiamo suddiviso l'anno in due parti

12

uguali, adottando il semestre; se avessimo adottato il trimestre avremmo diviso l'anno in 4 parti ed

avremmo considerato il tasso incognito i , etc.). Al termine di un anno, cioè 2 semestri, 1 € produce un

14

H1 L

2

+

montante di i e questo deve risultare uguale a:

12

H1 L H1 H1 H1 1

2 (7)

+ = + + = + = +

i iL da cui 1 i iL iL 2

12 12

e quindi in definitiva:

H1 H1 1 (8)

= + - = + -

i iL 1 iL 1

2

12

In generale se si suddivide l'anno in k parti uguali:

H1 H1 1

k (9)

= + - = + - =

i iL 1 iL 1 k 1, 2, 3, ...

k

1k

i

Si dice che è il tasso per il periodo di 1/k di anno equivalente al tasso annuo i.

1k

Ÿ Osservazione:

Dalla definizione discende immediatamente la seguente proprietà:

H1 L H1 L

k h

+ = + = + " =

i i 1 i k, h 1, 2, 3, ... (10)

1k 1h

Ÿ Esempio 4

Una banca stabilisce di convertire gli interessi sui depositi dei suoi clienti ogni sei mesi usando

è un tasso di interesse periodale pari a i = 2.5%. Quale è il tasso annuo equivalente nel

1‘2

regime ad interesse composto?

H1 -

2

Risposta: i = 0.025L 1 = 0.050625 , cioè circa 5.06%

+

Una banca stabilisce di remunerare i depositi dei suoi clienti con un tasso effettivo annuo i =

è

5% e di convertire gli interessi ogni semestre; quale è il tasso semestrale eqivalente ad i in

regime di capitalizzazione composta?

Risposta: i = 1 0.05 - 1 = 0.024695 cioè circa 2.47%

+

1‘2

Ÿ Tassi equivalenti nel regime dell' interesse semplice

Nel regime di capitalizzazione semplice ha ancora senso definire il concetto di tasso periodale equivalente?

Evidentemente si, salvo che in tal caso il calcolo è banale. Infatti se ad esempio il tasso annuo di interesse è

i

i e chiamiamo al solito con il tasso semestrale equivalente, nella legge di capitalizzazione semplice

12

dovrà essere:

+ = +

1 2 i 1 i (11)

12  

=

da cui semplicementei 2. In generale il tasso periodale corrispondentead 1 di anno sarà :

i k

12

i

=

i (12)

1k k

cioè: 5

prova.nb

= ×

i k i (13)

1k

Ÿ Tassi nominali i

Torniamo al regime dell'interesse composto ed al tasso (fornito dalla (9)) equivalente al tasso effettivo

1k

annuo i. Al tasso periodale in regime composto viene a volte nella pratica associato un tasso annuo fittizio

HkL HkL

i

j definito come se esso fosse equivalente a nel regime dell'interesse semplice, cioè per la (13) j =

1k

i

k· . Il prodotto:

1k B H1

HkL 1

i

= × = + - =

j k k iL 1F k 1, 2, 3, ... (14)

k

1k

prende il nome di tasso nominale convertibile k volte relativo al tasso effettivo annuo i. Esso non ha un

preciso significato finanziario riferendosi ad un regime che non è quello appropriato, e serve essenzial-

mente a semplificare i calcoli (vedi Es.5). E' facile verificare che esso è sempre inferiore al tasso effettivo

annuo equivalente (Es.5) e vedremo in seguito una sua proprietà nel caso della capitalizzazione nel

continuo.

Ÿ Esempio 5

Una banca stabilisce di convertire gli interessi sui depositi dei suoi clienti ogni sei mesi usando un

tasso di interesse periodale pari a i = 2.5%. Quale è il corrispondente tasso nominale

1‘2

convertibile semestralmente ?

H2L

j k i

= ×

Risposta: = 2‰0.025 = 0.05 cioè il 5% che (vedi esempio precedente) è inferiore al

12

tasso effetivo annuo equivalente pari a 5.06%. Nota però che se si volesse da quest'ultimo

H2L

i j i

ricavare occorrerebbe applicare la (9); conoscendo invece per ottenere basta

12 12

semplicemente dividerlo per 2.

Regimi di attualizzazione

Ÿ Valore attuale nel regime di capitalizzazione semplice:

Il valore attuale di un capitale C esigibile al tempo t (contato dal momento attuale) al tasso i è l'importo C

H1

t 0

= + ×

C C i tL

che impiegato al t