Concetti dalla pratica finanziaria, Blasi

Calcolo del montante

CA sua volta viene assunto come capitale iniziale per il successivo anno, producendo un montante2H1 3= +C C iL e così via: in generale al termine dell' anno t il montante maturato sarà:3 0 H1 t= + = 1, 2, 3, 4, 5, ....C C iL t (5)t 0 H1 t+ iL

Anche in questo caso l'espressione prende il nome di fattore di montante (o di capitalizzazione): èil montante (in questo regime) dell'unità di capitale (esempio 1 € )al tempo t.

Non è detto ovviamente che la conversione degli interessi debba necessariamente avvenire ogni anno: ingenere l'intervallo costante di tempo dopo il quale l'interesse maturato viene convertito in capitale fruttiferosi chiama periodo di capitalizzazione o di conversione. La (5), essendo definita solo per valori di t interi,permette, una volta fissato il periodo di capitalizzazione, di calcolare il montante dopo t periodi al tassoperiodale i: dopo t anni al tasso annuo i, dopo t semestri al tasso semestrale i, t

mesi al tasso mensile i, etc.Ÿ

Osservazione:Anche in questo caso note tre delle quattro variabili: C , i, t, C dalla (5) si ricava la quarta (questa voltat0evito di dire "immediatamente" e ti indico come si ricavano): 1H1 -log logC CC C t t 0t t H1H1t (6)= + – = – = - – =1C C iL C i tt 0 0 t +logC iL+ iL 0Ÿ

Esempio 3Investo oggi (t = 0) ad interesse composto e per 3 anni 2000 € al tasso del 5% annuo. IlH1 3montante al termine dei tre anni è C = 2000 0.05L = 2315.25 €+3Ÿ

Tassi equivalenti nel regime dell'interesse compostoFissiamo come unità di tempo l'anno e sia i il corrispondente tasso di interesse : impiegando 1 € all'iniziodell'anno ottengo alla fine dell'anno un montante pari a (1+ i) € .Domanda: se cambio l'unità di misura del tempo, e prendo ad esempio il semestre (1/2 anno) qual'è il tassodi interesse semestrale che in un anno mi produce, con la capitalizzazione composta, lo

stesso montante(1+ i) ??Chiamiamo questo tasso incognito i (il pedice 1/2 ci ricorda che abbiamo suddiviso l'anno in due parti1/2 uguali, adottando il semestre; se avessimo adottato il trimestre avremmo diviso l'anno in 4 parti ed avremmo considerato il tasso incognito i , etc.). Al termine di un anno, cioè 2 semestri, 1 € produce un1/4H1 L2+montante di i e questo deve risultare uguale a:1/24 prova.nbChiamiamo questo tasso incognito i (il pedice 1/2 ci ricorda che abbiamo suddiviso l'anno in due parti1/2 uguali, adottando il semestre; se avessimo adottato il trimestre avremmo diviso l'anno in 4 parti ed avremmo considerato il tasso incognito i , etc.). Al termine di un anno, cioè 2 semestri, 1 € produce un1/4H1 L2+montante di i e questo deve risultare uguale a:1/2H1 L H1 H1 H1 12 (7)+ = + + = + = +i iL da cui 1 i iL iL 21/2 1/2e quindi in definitiva:H1 H1 1 (8)= + - = + -i iL 1 iL 121/2In generale se si suddivide l'anno in k parti

uguali:
H1 H1 1k (9)= + - = + - =i iL 1 iL 1 k 1, 2, 3, ...k1ki
Si dice che è il tasso per il periodo di 1/k di anno equivalente al tasso annuo i.1kŸ
Osservazione:Dalla definizione discende immediatamente la seguente proprietà:
H1 L H1 Lk h+ = + = + " =i i 1 i k, h 1, 2, 3, ... (10)1k 1hŸ
Esempio 4
Una banca stabilisce di convertire gli interessi sui depositi dei suoi clienti ogni sei mesi usando è un tasso di interesse periodale pari a i = 2.5%. Quale è il tasso annuo equivalente nel1‘2regime ad interesse composto?
H1 -2
Risposta: i = 0.025L 1 = 0.050625 , cioè circa 5.06%+
Una banca stabilisce di remunerare i depositi dei suoi clienti con un tasso effettivo annuo i è 5% e di convertire gli interessi ogni semestre; quale è il tasso semestrale eqivalente ad i inregime di capitalizzazione composta?
Risposta: i = 1 0.05 - 1 = 0.024695 cioè circa 2.47%+1‘2Ÿ
Tassi equivalenti nel regime dell' interesse semplice
Nel

Regime di capitalizzazione semplice ha ancora senso definire il concetto di tasso periodale equivalente? Evidentemente si, salvo che in tal caso il calcolo è banale. Infatti se ad esempio il tasso annuo di interesse è i e chiamiamo al solito con il tasso semestrale equivalente, nella legge di capitalizzazione semplice 1/2 dovrà essere:

i_1/2 = i₁ + i₂ (1+1/2i)

da cui semplicemente i_1/2 = i/2. In generale il tasso periodale corrispondente ad 1 di anno sarà:

i_k = i^1/k (1+1/k)^k

cioè:

i_k = (1+i)^1/k - 1

Torniamo al regime dell'interesse composto ed al tasso (fornito dalla (9)) equivalente al tasso effettivo 1/k annuo i. Al tasso periodale in regime composto viene a volte nella pratica associato un tasso annuo fittizio H_k definito come se esso fosse equivalente a nel regime dell'interesse semplice, cioè per la (13) j = 1/k i_k. Il prodotto:

(1-1/k) B H₁H_k = (1+i)^1/k - 1

1-1/k

(14)k1kprende il nome di tasso nominale convertibile k volte relativo al tasso effettivo annuo i. Esso non ha un preciso significato finanziario riferendosi ad un regime che non è quello appropriato, e serve essenzialmente a semplificare i calcoli (vedi Es.5). È facile verificare che esso è sempre inferiore al tasso effettivo annuo equivalente (Es.5) e vedremo in seguito una sua proprietà nel caso della capitalizzazione nel continuo.

Ÿ Esempio 5

Una banca stabilisce di convertire gli interessi sui depositi dei suoi clienti ogni sei mesi usando un tasso di interesse periodale pari a i = 2.5%. Quale è il corrispondente tasso nominale1‘2convertibile semestralmente ?

H2Lj k i= ×Risposta: = 2‰0.025 = 0.05 cioè il 5% che (vedi esempio precedente) è inferiore al12tasso effetivo annuo equivalente pari a 5.06%. Nota però che se si volesse da quest'ultimoH2Li j iricavare occorrerebbe applicare la (9); conoscendo invece per

ottenere basta12 12semplicemente dividerlo per 2.

Regimi di attualizzazioneŸ Valore attuale nel regime di capitalizzazione semplice:

Il valore attuale di un capitale C esigibile al tempo t (contato dal momento attuale) al tasso i è l'importo CH1t 0= + ×C C i tLche impiegato al tasso i secondo la (3) produce al tempo t il montante C ; cioè per cui iltt 0valore attuale è: Ct=C (15)0 + ×1 i tŸ

Esempio 6La somma di € 10 000 sarà disponibile tra 2 anni e sei mesi. Calcoliamone il valore attuale altasso di interesse del 5% annuo.Risposta: C =10 000; i=0.05; t=2.5, per cui C =10000/(1 + 0.05 ×2.5) = 8 888.89 €2.5 06 prova.nbŸ

Sconto razionale:Si dice anche che C è il valore scontato per il tempo t di C ; lo sconto S (che nel regime di interesset0semplice prende il nome di sconto razionale) è:×C i tt= - = - =S C C C C (16)t t t0 + × + ×1 i t 1 i tŸ

Esempio 7Con riferimento all'esempio

precedente possiamo calcolare direttamente lo sconto con la formula S = C * d * t, dove C è il capitale, d è il tasso di sconto e t è il tempo. Ad esempio, se abbiamo un capitale di 10.000 euro, un tasso di sconto del 5% e un tempo di 2.5 anni, possiamo calcolare lo sconto come segue: S = 10.000 * 0.05 * 2.5 = 1.111,11 euro Quindi, il nuovo capitale sarà C = C - S = 10.000 - 1.111,11 = 8.888,89 euro, che coincide con il risultato precedente. Il tasso di sconto, indicato con d, è il fattore di anticipazione per unità di capitale. In analogia all'interesse, possiamo definire il fattore di anticipazione come v = 1 / (1 + d * t), dove t è il tempo. Quindi, possiamo riscrivere la formula dello sconto come S = C * (1 - v). Il tasso di sconto d è dato dalla formula d = (C - C') / (C * t), dove C' è il nuovo capitale dopo lo sconto. In generale, lo sconto al tempo t non è legato al tasso di sconto per unità di tempo come accade per l'interesse, ma dipende da una relazione più complicata. Infatti, dalle formule precedenti si ha S = C * (1 - v) * (1 + d * t). Esempio 8:

Riferimento ai due esempi precedenti, calcoliamo lo sconto a partire dal tasso di sconto = 0.05 annuo. D = 0.047619 (4.76%) e quindi lo sconto è dato da: 1.051 i+ = 0.047619 * 2.5 = S 1 111.11 * 10 000 * (1 + 1.5 * 0.047619).

Montanti in epoche diverse nel regime di capitalizzazione semplice: ¹t

Se il montante di un capitale al tempo t (contato da adesso) è C, il valore C, di tale capitale al tempo t+1 si ottiene calcolando il montante al tempo t del valore attuale di C, cioè di C, dato dalla (15): 1 + × 1 i t = C + C i t t 1

Si ottiene quindi: (20) = 7 prova.nb

Cioè: Hquest' + × 1 i t Ct t 1 = ultima forse si ricorda meglio? L + × 1 C i t t

Esempio 9: La somma di € 10 000 sarà disponibile tra 2 anni e sei mesi. Calcoliamone il valore a tre anni e tre mesi al tasso di interesse del 5% annuo. 1 + 0.05 * 3.25 = C Risposta: C = 10 000; t = 2.5; t 3.25 = 10 333.3 = 10 000 * 2.5 * (1 + 0.05 * 2.5).

Sconto

Nella pratica, in particolare bancaria e per operazioni di breve periodo, lo sconto viene calcolato invece che con la formula (19), considerandolo proporzionale al tempo ed al capitale dovuto (in analogia a quanto si fa per l'interesse nel caso della capitalizzazione semplice in formula (2)), cioè:

S = C * d * t (21)

In questo caso il coefficiente di proporzionalità è il tasso di sconto d riferito all'unità di tempo. In questo regime, noto come sconto commerciale, il valore scontato al tempo 0 è dato da:

H1 = -C * d * t (22)

Ovviamente, poiché lo sconto non può superare il capitale dovuto al tempo t, dovrà essere per la formula (21):

t < 1/(d * t) < C