Concetti dalla pratica finanziaria, Blasi

8 prova.nb H1 A1 H1 E

-t -t

= - = -C + = - +

S C C C iL C iL (25)

t t t t

0

mentre invece le relazione tra i tassi di sconto e di interesse, riferiti alla stessa unità di tempo, sono sempre

date dalle (1).

Ÿ Esempio 11

L'importo di € 10 000 è dovuto tra 2 anni . Il suo valore attuale nel regime dello sconto

10 000

C

composto al tasso di interesse annuo del 4% è: =10000; i=0.04; t= 2; C = =9245.56

I1+0.04M

t 0 2

pari ad uno sconto di 754.44 €

Ÿ montanti in epoche diverse nel regime di capitalizzazione composta: ¹t

C

Se il montante di un capitale al tempo t (contato da adesso) è il valore C di tale capitale al tempo t si

t t 1

1

C C

ottiene calcolando il montante al tempo t di , cioè del valore attuale di dato dalla (24):

t

0

1

H1

H1 L H1

t

+ iL 1

H1 -t

t t

= + = = +

C C i C C iL

1 1

t t t

0

1 t

+ iL

anche in questo caso : (26)

H1 t

C + iL 1

t H1

1 = t

C + iL

t C C

Quindi in parole povere nel regime a capitalizzazione composta si ottiene capitalizzando per un

t t

1

- > - <

t t C t t t

tempo t se t, oppure scontando per un tempo se t. Questa stessa proprietà non vale

t

1 1 1 1

nel regime dell'interesse semplice (vedi 20) e discende dalle proprietà della funzione esponenziale come

vedremo in seguito.

Quadro matematico di riferimento

La formalizzazione

Faremo ora alcune considerazioni che, alla luce di quanto visto finora, ci porteranno ad una semplice

formalizzazione matematica che darà alle formule della pratica finanziaria un fondamento teorico inquad-

randole in modo unitario.

Ÿ Importi

In ambito finanziario un importo, da solo, è poco significativo. 10 000 € hanno un significato diverso se

sono disponibili oggi o tra 20 anni: il dato significativo è dato dalla coppia (C, t) in cui C è un capitale e t il

tempo in cui è disponibile. Per questo motivo da adesso in poi per importo intenderemo una coppia (C, t)

di numeri, dei quali il primo denota un capitale monetario C (espresso nell'unità di misura prescelta: ad

esempio l' € ),

ed il secondo il tempo t (nell' unità di tempo fissata : ad esempio l'anno), in cui esso è disponi-

bile. Anche se nella pratica i capitali ed i tempi sono rappresentati da numeri interi o frazionari, noi li

considereremo variabili nell'ambito dei reali: questo ci permetterà di utilizzare gli strumenti dell'analisi

visti finora.

Ÿ Indifferenza di importi 9

prova.nb

Indifferenza di importi

Dati i due importi (10 000, 0) e (10 000, 20) è difficile che qualcuno non esprima la preferenza per il primo

e sia disposto a riconoscerli come "equivalenti" nel senso di "ugualmente preferibili" o, come si dice in

linguaggio economico, "indifferenti". E' invece molto più facile che siano considerati indifferenti gli

importi (10 000, 0) e (10 500, 1): nel secondo il capitale è disponobile più tardi (di 1 anno) ma con un

premio (500 € ). Primo passo verso la formalizzazione è quindi quello di individuare degli schemi razionali

di indifferenza di importi : schemi di indifferenza che si tradurranno in pratica in regole di calcolo consider-

ate eque in quanto permettono di passare da un importo ad uno qualsiasi degli altri importi ad esso indiffer-

ente. Iniziamo per semplicità dal caso t = 0 (oggi) e t = t >0.

1 2

Ÿ Univocità

Una prima ipotesi: è ragionevole supporre che dato l' importo (C , 0) se al tempo t esiste un importo (C, t),

0

equivalente al primo in un fissato schema di indifferenza, allora esso risulti univocamente derminato. Si

suppone cioè che l'operatore finanziario faccia sempre scelte razionali e coerenti: se ad esempio deve

impiegare al tempo 0 il capitale C fino al tempo t , tra le eventuali offerte del mercato ne sceglierà una

0

sola: quella che reputerà la più vantaggiosa. Tanto basta per formalizzare lo schema di equivalenza tramite

una funzione (applicazione univoca): diremo che due importi (C , 0) e (C, t) sono indifferenti, e scriver-

0

»

emo (C , 0) (C, t) , se esiste una funzione di due variabili f (C , t) tale che:

0 0

HC

= ,

C f tL (27)

0

Ÿ Omogeneità

Una proprietà che è ragionevole richiedere alla funzione f in (27) è che se ad esempio raddoppia il capitale

di partenza, a parità di tutte le altre condizioni, raddoppi anche il capitale finale; cioè richiediamo più in

generale che: HΜ H

= Μ = Μ " Μ

, , reale positivo

f C tL f C tL C (28)

0 0 HC ,

f tL

e la (28), come abbiamo visto (Testo par. 5.9.3 pag.244), si esprime dicendo che la funzione è

0

C

Μ

omogenea di primo grado rispetto al capitale. Ma allora preso = 1/ dalla (28) si ha:

0

HΜ H1 H

1 1

= = =

, , , ,

f C tL f C t f tL f C tL (29)

0 0 0

C

C

0 0

da cui: H H1 HtL

= = ×

, ,

f C tL C f tL C h (30)

0 0 0

H ,

f C tL C

cioè la funzione di due variabili è in realtà il prodotto delle due funzioni di una sola variabile:

0 0

e h (t) f(1 , t) quest'ultima dipendente esclusivamente dalla durata dell'operazione:

:= HtL

= ×

C C h (31)

0 H0L

= ×

C C h C

Ovviamente, poichè per t = 0 è = , dovrà essere:

0 0

H0L = 1 (32)

h

Ÿ

10 prova.nb

Ÿ Monotonicità

E' anche logico richiedere che la funzione h (t) sia monotona non decrescente: nessuno sottoscriverebbe un

contratto per il quale al passare del tempo il capitale decresca. Ciò significa allora che se la funzione è

derivabile, deve essere:

HtL ³ ³

0 0 (33)

h' t

Nella (31), con le condizioni (32) e (33), vedremo che ricadranno in modo unitario tutti gli schemi di

calcolo visti in precedenza sia per quanto riguarda la capitalizzazione che l'anticipazione.

A diverse scelte della funzione h(t), nella quale apparirà comunque come parametro il tasso di interesse (o

equivalentemente il tasso di sconto), corrisponderanno diversi regimi finanziari nel continuo, nel senso

che questa volta i tempi non assumono più valori interi o frazionari ma valori reali.

Regimi finanziari di capitalizzazione nel continuo

C C r

Nella (31) consideriamo come capitale iniziale, è il montante per t 0 qualsiasi e h (t) è il fattore di

0

montante. Indichiamo inoltre con i il tasso di interesse riferito all'unità di tempo.

Ÿ Funzione affine

Se nella (31) prendiamo come fattore di montante la funzione affine :

HtL = + ×

1 (34)

h i t t 0

r

che, essendo i > 0, ha un andamento monotono crescente:

1

la (31) diventa: H1

= × + ×

C C i tL t 0

r (35)

0

che è formalmente analoga alla espressione (3) della capitalizzazione ad interesse semplice: con la differ-

enza però che mentre prima consideravamo solo tempi interi o frazionari ora i tempi sono reali non negativi

qualsiasi.

Ÿ Funzione esponenziale

Nella (31) prendiamo come fattore di montante la funzione esponenziale:

HtL H1 L

t (36)

= +

h i t 0

r

che, essendo i > 0 e quindi la base 1+i > 1, come sappiamo ha un andamento monotono crescente: 11

prova.nb

1

La (31) diventa: H1 L

t

= × +

C C i t 0

r (37)

0

che è formalmente analoga alla espressione (5) della capitalizzazione ad interesse composto; anche in

questo caso con la differenza che i tempi sono reali non negativi qualsiasi e non più soltanto interi.

Questa volta però il prolungamento della funzione dai numeri interi ai reali è leggermente meno banale:

occorre infatti ricordare che la formula dell'interesse composto nasce dalla conversione in periodi fissi

degli interessi maturati in capitale fruttifero per cui l'esponente intero ha un ben preciso significato finan-

ziario. Cosa significa invece ad esempio, dal punto di vista finanziario e con particolare riferimento alla

conversione degli interessi, la (37) con un esponente razionale del tipo:

H1 L

23

= × + (38)

C C i ?? ?

0

Supponiamo che l'unità di tempo sia l'anno: 2/3 di anno corrispondono a due quadrimestri, cioè 8 mesi.

C C

Alla luce di quanto visto in precedenza possiamo interpretare la (38) dicendo che è il montante di per

0

2 periodi di capitalizzazione ciascuno uguale ad 1/3 di anno al tasso i equivalente al tasso annuo i. Infatti

13

quest'ultimo montante è : H1 L

2

= × + (39)

C C i

0 13

ma poichè (9): H1 13

+ = +

1 (40)

i iL

13

la (39) diventa proprio: H1 L

23

= × + (41)

C C i

0

Ovviamente in modo analogo si può interpretare la (37) per esponenti razionali qualsiasi; per continuità si

può poi dare significato ad essa anche per esponenti irrazionali e quindi per reali qualsiasi. In parole povere

nella (37) è come se istante per istante l'interesse maturato venisse convertito in capitale fruttifero.

Ÿ Esempio 12

L'importo di € 10 000 è impiegato, in regime di interesse composto, al tasso annuo del 4.5%; il

2.5

montante dopo due anni e sei mesi (t=2.5) è C=10 000 1.045 163.3 €

=11

Nelle funzioni esponenziali che appaiono nelle (36) e (37) la base 1+i dipende dall'interesse i e l'esponente

rappresenta invece il tempo: è possibile però utilizzare al loro posto funzioni esponenziali del tipo più

classico che utilizzano come base il numero e, per le note proprietà che le funzioni di questo tipo hanno.

Per fare questo basta porre:

H1 L

t ∆ ×t (42)

+ =

i e

∆

in cui è un parametro incognito che ovviamente dipenderà dal tasso di interesse. Il suo valore si può

∆ ×t

e

ottenere invertendo la funzione esponenziale , facendo cioè il logaritmo naturale dei due membri:

12 prova.nb

∆

in cui è un parametro incognito che ovviamente dipenderà dal tasso di interesse. Il suo valore si può

∆ ×t

e

ottenere invertendo la funzione esponenziale , facendo cioè il logaritmo naturale dei due membri:

H1 L H1

t ∆ ×t

+ = ” × + = ∆ ×

log i log e t log iL t (43)

da cui: H1

∆ = + > Þ + > Þ ∆ >

1 0

log iL i 0 i 1 (44)

Nel regime di capitalizzazione composta nel continuo possiamo quindi riscrivere la (37) nella forma:

∆ ×t

= ×

C C e (45)

0

∆

in cui il parametro è legato al tasso di interesse per unità di tempo dalla (44). In particolare il fattore di

montante assumerà l'espressione:

HtL ∆ × t (46)

=

h e t 0

r

Ÿ Esempio 13

L'importo di € 10 000 è impiegato, in regime di interesse composto, al tasso annuo del 4.5%,

per cui = log (1 + i)=0.044017; il montante dopo due anni e sei mesi (t=2.5) è

∆ 2.5 0.044017

´

C=10 000 163.3 €

ã =11

∆

Osservazione: il parametro ha un preciso significato finanziario. Nell' Esempio 1 del par.4.6.6 (pag. 179)

del testo abbiamo visto che la derivata logaritmica:

HtL HtL ∆ ×t

∆ ×

h' d e

HtL = = =∆

log h (47)

∆ ×t

h dt e

prende il nome di intensità istantanea di interesse (a volte chiamata anche forza istantanea di interesse): in

pratica nella capitalizzazione continua composta è come se la conversione degli interessi avvenisse istante

∆

per istante con "tasso istantaneo" costante equivalente al tasso annuale i. Si dimostra anche che, esten-

dendo la definizione di tasso nominale convertibile k volte nell'unità di tempo per k®¥

, l'intensità istanta-

nea di interesse è uguale al tasso nominale convertibile infinite volte nell'unità di tempo.

Regimi finanziari di anticipazione nel continuo

C , 0 C, tL r

Nella (31) consideriamo ( ) come valore attuale di ( dovuto in t 0 qualsiasi, e quindi per la

0

simmetria dello schema di indifferenza adottato:

C

1

HtL

=

C (48)

0 h

Il fattore di anticipazione è quindi dato dal reciproco del fattore di montante:

HtL 1

HtL

=

v t 0

r (49)

h

Ÿ Sconto razionale

Se prendiamo come fattore di montante la funzione affine (regime dell'interesse semplice):

HtL = + ×

1 (50)

h i t t 0

r

il fattore di sconto diventa: 13

prova.nb

il fattore di sconto diventa:

HtL 1

=

v t 0

r (51)

+ ×

1 i t

che è l'equazione di una iperbole equilatera della quale a noi interessa però solo il pezzo del ramo positivo

³

relativo a t 0 (l'asintoto verticale dell'iperbole interseca l'asse dei tempi nel punto t = -1/i, che è un'ascissa

negativa) : 1 1

Quindi ad una fattore di capitalizzazione di tipo affine corrisponde un fattore di anticipazione (sconto)

iperbolico.

Ÿ Sconto composto

Se prendiamo come fattore di montante la funzione esponenziale nelle due forme viste (regime

dell'interesse composto):

HtL H1 L

t ∆ ×t (52)

= + =

h i e t 0

r

il fattore di sconto diventa:

HtL H1 L

1 1

H1 L -t -∆ ×t

= = + = =

v i e t 0

r (53)

t ∆ ×t

+ e

i

che è ancora una funzione esponenziale, ma questa volta monotona decrescente:

1

Ÿ Sconto commerciale

Abbiamo visto che partendo da un fattore di montante di tipo affine, il corrispondente fattore di sconto è di

tipo iperbolico. Se prendiamo invece direttamente un fattore di sconto affine avremo evidentemente,

essendo i due fattori uno il reciproco dell'altro, un fattore di montante iperbolico. Infatti se:

HtL 1

= - × £ £

1

v d t 0 t (54)

d

14 prova.nb

1 1d

in cui d è il tasso di sconto riferito all'unità di tempo e la limitazione è dovuta al fatto che deve essere

³0,

v (t) = 1 - d· t il corrispondente fattore di montante sarà:

HtL 1 1

= £ £

h 0 t (55)

- ×

1 d t d

che è appunto un'iperbole equilatera con asintoto verticale in 1/d.

1 1d

Il regime finanziario corrispondente prende il nome di regime a interesse anticipato nel caso di capitaliz-

zazione e sconto commerciale per l'anticipazione.

Ÿ Confronto tra importi in epoche qualsiasi

Abbiamo finora considerato come epoca di valutazione t = 0 (oggi), nel senso che siamo in grado di deci-

C, tL C , 0

dere se ( , per t > 0, è equivalente in un certo schema di indifferenza a ( ), ma non abbiamo

0

affrontato il problema del confronto diretto tra due importi (C ,t ) e (C ,t ), in cui t < t rappresentano

1 1 2 2 1 2

epoche diverse qualsiasi. In parole povere vogliamo spostare l'epoca di valutazione ad un tempo t > 0

1

individuando, in un fissato schema di indifferenza, gli importi equivalenti in epoche successive. Ci muover-

emo in pratica in perfetta analogia al caso già visto: se in un determinato schema di indifferenza considerer-

emo indifferenti gli importi (C ,t ) e (C ,t ) supporremo che essi siano legati, in quel particolare schema,

1 1 2 2

da una relazione del tipo:

Ht L

= ,

C C m t (56)

2 1 1 2

e chiameremo anche in questo caso la funzione di due variabili m(t ,t ) fattore di montante tra i due tempi

1 2

t e t . Nel caso più semplice in cui nel periodo considerato è possibile considerare il tasso di interesse i

1 2

(sconto d) costante la generalizzazione diventa banale. Si può infatti porre nei vari casi rispettivamente: 15

prova.nb

: Ht L

+ -

1 interesse semplice

i t

2 1

Ht L

Ht L ∆ -t

ã interesse composto

2 1

= (57)

,

m t

1 2 1

Ht L interesse anticipato

-t

1-d 2 1

Nota bene: in pratica la generalizzazione adottata consiste nel considerare il fattore di montante m(t ,t )

1 2

= -

t t t

Ht L

(formalmente funzione di due variabili) come funzione della sola variabile , che rappresenta la

2 1

-

,

m t t t

durata dell'operazione, e porre quindi = h( ) in cui h(t) è, nei rispettivi casi, il fattore di

1 2 2 1

montante dei corrispondenti regimi con tempo di valutazione t = 0. Nota anche che in tutti e tre i casi (57)

vale la proprietà di traslabilità (invarianza per traslazione lungo l'asse dei tempi), espressa da:

Ht Ht L

+ + = "

,

m q, t qL m t q (58)

1 2 1 2

In realtà è immediato vedere che una qualsiasi funzione formalmente di due variabili che goda della (58) è

-

t t

sempre una funzione della sola variabile : infatti siccome la (58) deve valere anche per

2 1

t

-

q = , da essa si ha:

1 Ht L Ht L H0, L

- - = = -

, ,

m t t t m t m t t (59)

1 1 2 1 1 2 2 1

Ÿ Scindibilità Ht L

,

m t

Un regime finanziario individuato dal fattore di montante si dice scindibile se gode della

1 2

proprietà: Ht L Ht L Ht L @t D

× = " Î

, , , ,

m t m t m t t t (60)

1 2 2 3 1 3 2 1 3 ,

-

a

t t t t

Τ

In pratica questa proprietà significa che se si impiega 1 € da e quindi per un periodo =

1 2 2 1

1

Ht L

,

m t

ottenendo il montante e poi si reimpiega questo capitale da t a t , quindi per un ulteriore

1 2 2 3

Ht L Ht L

- ×

, ,

t t m t m t

Τ

periodo = , il montante finale risulta uguale a quello che si sarebbe ottenuto

Ht L

3 2 1 2 2 3

2 a ,

t t m t

Τ

impiegando il capitale, senza interruzioni, da , cioè per l'intero periodo +Τ . Poichè =

1 3 h k

1 2

-

t t

h( ) la (60) può essere riscritta nella forma:

k h HΤ L HΤ L HΤ L

× = + Τ

h h h (61)

1 2 1 2

Quali sono i regimi finanziari scindibili? Se interpretiamo la (61) come un'equazione funzionale, cioè

un'equazione in cui l'incognita è costituita dalla funzione che gode della proprietà indicata dall'equazione

Α t

stessa, viene immediatamente in mente una possibile soluzione: la funzione esponenziale h(t) = a gode

L

Α Α ΑH +t

t t t

infatti della nota proprietà a a =a . Ci sono altre soluzioni? Si dimostra che, salvo casi particolari

1 2 1 2

di funzioni di scarsa utilità per le applicazioni, le funzioni esponenziali sono le uniche a godere della

proprietà (61). Ciò significa che dei regimi visti finora solo quello di interesse composto è scindibile.

16 prova.nb

Rendite e ammortamenti

Rendite

Nella pratica finanziaria si pone il problema di determinare il montanteo e il valore attuale di un complesso

di importi che si susseguono nel tempo. Accenneremo al problema limitandoci al caso, che per le proprietà

viste finora è il più significativo, del regime dell'interesse composto. Indicheremo con i il tasso di interesse

∆=log(1+i)

riferito all'unità di tempo, con ) l'intensità istantanea di interesse e porremo:

1 1 1

= + = = =

1

r i ; v ;

+ ∆

1

r i ã (62)

-v

1

=

i v

Ÿ Definizione

Una rendita R è un insieme di importi disponibili in epoche differenti:

8 HR L HR L, HR L,

= , , ...<

R , t , t t

1 1 2 2 3 3 (63)

< < <

t t t ... ....

1 2 3

Chiameremo il generico R rata k-esima (o termine k-esimo) della rendita e la corrispondente epoca t , in

L.

k k

cui essa è disponibile, scadenza k-esima (o valuta di R

k

La rendita si dice temporanea se il numero delle rate è n finito; perpetua se invece è infinito.

Ÿ Rendite temporanee

Il valore al tempo t della singola rata R , nel regime dell'interesse composto è, per la (26) :

k

Ht- L

-∆

t-t t

= ã

R r R

k k

k k (64)

=

k 1, 2, 3, ., n

Il valore V al tempo t dell'intera rendita R è poi definito come la somma dei valori attuali delle singole

t

rate: t-t t-t t-t

= + + + =

...

V R r R r R r

1 2 n

n

t 1 2

â â Ht-t L

n n (65)

-∆

t-t

= = ã

R r R

k k

k k

k=1 k=1

Il valore attuale V dell'intera rendita R si ottiene quindi ponendo t = 0 nella (65):

0

â â

n n

-t t

= =

V R r R v

k k

0 k k

k=1 k=1 (66)

V

Ponendo invece t = t nella (66 ) si ha il montante (valore finale) della rendita:

t

n n

Appunti utili per ripassare i principali argomenti dell'esame di matematica generale, tra i quali: la pratica finanziaria, il concetto di interesse e le relative associazioni al capitale ed all'unità di tempo (tasso di interesse), i regimi di capitalizzazione (capitalizzazione semplice e composta, regimi di attualizzazione).