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Concetti di Matematica Finanziaria

Appunti sui Concetti di Matematica Finanziaria. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: Le operazioni finanziarie, Le attività finanziarie, Le funzioni delle attività finanziarie. Titoli base e titoli derivati, I mercati finanziari. Il mercato mobiliare... Vedi di più

Esame di Matematica finanziaria docente Prof. P. Cellini

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un'operazione finanziaria può non avere TIR e/o sono necessarie ulteriori informazioni in base alle strategie

dell'investitore

4. L’ammortamento dei prestiti

• I prestiti.

Un prestito è un'operazione finanziaria che consiste nello scambio di una somma iniziale positiva, l'importo

finanziato, con una successione di pagamenti. La successione delle rate di rimborso si definisce rendita

(temporanea) ed il numero delle rate costituisce la rendita. Si definiscono:

rendite periodiche:

- l'ampiezza del periodo è costante (si suddividono in annue, frazionate e poliennali)

rendite non periodiche:

- l'ampiezza del periodo è variabile

a rata costante:

- rate di importo uguale

a rata variabile:

- ogni rata differisce dall'altra

temporanee:

- costituite da un numero finito di rate

perpetue:

- costituite da un numero illimitato di rate

immediate:

- hanno inizio nel momento in cui vengono costituite

differite:

- hanno inizio in un epoca posteriore in cui sono state costituite

anticipate:

- le rate vengono versate o riscosse all'inizio di ogni periodo

posticipate:

- le rate vengono versate o riscosse alla fine di ogni periodo

certe:

- la riscossione o il pagamento non è condizionato dal verificarsi di un determinato evento

aleatorie:

- la riscossione o il pagamento è condizionato dal verificarsi di un determinato evento

• La valutazione dei prestiti. Il caso delle rate costanti.

La progettazione di un prestito richiede in primo luogo che vengano definiti univocamente gli importi delle rate di

rimborso, poi occorre dichiarare il “costo” del finanziamento, specificando esplicitamente il TIR dell'operazione.

Se il prestito viene rimborsato a rate costanti, una volta stabilita la periodicità delle rate, esiste uno ed un solo

piano di rimborso possibile.

• Il piano d’ ammortamento. L’ammortamento francese. L’ammortamento italiano. Il preammortamento.

L’ammortamento delle obbligazioni. Ammortamenti con differimento. La variante ad interessi anticipati. Il tasso

annuo effettivo globale (TAEG).

L'ammortamento di un prestito avviene mediante il pagamento delle rate di rimborso che consentono di

corrispondere gli interessi sul debito e di ridurre l'indebitamento complessivo. Nel piano di ammortamento sono

contenute tutte le informazioni rilevanti, qauli: quota interessi,

- la decomposizione degli importi delle rate nella destinata a corrispondere gli interessi sul

quota capitale,

debito, e nella che consente di estinguere progressivamente il debito stesso.

- l'evoluzione temporale del debito residuo, cioè la variazione del livello di indebitamento in conseguenza al

pagamento delle rate

L'ammortamento francese consiste nel rimborso di un prestito effettuato a rata costante.

L'ammortamento italiano consiste nel rimborso di un prestito effettuato con quote capitali costanti.

Nel periodo di preammortamento vengono corrisposti soltanto gli interessi sul debito; l'ammortamento vero e

proprio inizia alla fine del periodo di preammortamento.

Nell'ammortamento di un prestito obbligazionario l'emittente corrisponde periodicamente gli importi delle cedole

e lo schema può non ricadere nei precedenti ma essere non-standard.

In un ammortamento con differimento, durante il periodo di differimento stesso, gli interessi maturati che non

sono corrisposti periodicamente, incrementano il debito residuo attraverso quote di capitale negative. La

riduzione del debito comincia dopo il periodo di differimento con il pagamento della prima rata strettamente

positiva.

Lo schema di rimborso ad interessi anticipati all'inizio del periodo di differimento anziché posticipatamente viene

detto anche ammortamento tedesco. All'epoca saranno pagati gli interessi sull'importo iniziale, all'epoca 1

quelli relativi al debito residuo dopo il pagamento della prima rata ed in generale all'epoca k saranno corrisposti

gli interessi sul debito residuo dopo il pagamento della k-esima rata.

Il TAEG è l'indicatore sintetico e convenzionale del costo complessivo di un finanziamento. Il TIR

dell'operazione di finanziamento comprendente tutti gli importi che compongono il finanziamento (esempio

spese di istruttoria, spese di riscossione,...)

5. La misurazione delle struttura per scadenza dei tassi di interesse

Nei mercati reali l'ipotesi di completezza è piuttosto irrealistica e questo fatto complica notevolmente il problema della

“misurazione” della struttura dei prezzi. In un tipico problema di valutazione occorre conoscere la struttura dei prezzi su

orizzonti temporali ben più lunghi e nel mercato italiano soltanto i BTP hanno una vita a scadenza superiore a due anni.

• La struttura per scadenza dei tassi di interesse. La struttura dei tassi a termine. Il rendimento a scadenza.

Struttura dei tassi: il complesso dei tassi di interesse relativi a tutte le possibili scadenze.

La struttura per scadenza dei tassi di interesse individua la struttura dei TIR dei titoli a cedola nulla in vigore al

tempo t, al variare della scadenza. Definisce il “rendimento del denaro”, cioè la remunerazione richiesta dagli

investitori per trasferire denaro nel tempo. Titoli a cedola nulla con scadenze diverse nel tempo possono avere

TIR diversi (dipendenza dal fattore tempo); la struttura dei tassi varia nel tempo.

Dai prezzi a termine è possibile definire la struttura dei tassi a termine e può essere dedotta direttamente dalla

struttura dei tassi a pronti. Se la struttura dei tassi a pronti è crescente allora la struttura dei tassi a termine

“domina” la struttura dei tassi a pronti. Se invece la struttura dei tassi a pronti risulta decrescente allora la

struttura dei tassi a termine è “dominata” dalla struttura dei tassi a pronti.

Il rendimento a scadenza [h(t,s)] rappresenta la media integrale dell'intensità istantanea di interesse

sull'orizzonte temporale utilizzato e fornisce una immediata informazione sintetica sul tipo di relazione vigente in

quel momento fra rendimento e durata dell’operazione..

• Metodi di misurazione delle struttura dei tassi. Il metodo del TIR. Il metodo bootstrap. La stima di un modello

parametrico.

I mercati reali non soddisfano l'ipotesi di completezza e questo fatto rende complesso il problema della struttura

dei tassi di interesse. La prima questione importante che si pone è allora quella della determinazione dei tassi

mancanti in un segmento temporale dove comunque sono disponibili dei dati.

Il metodo basato su TIR (interpolazione) utilizza le informazioni contenute nei TIR di titoli a cedola nulla (BOT e

CTZ) e dei titoli a cedola fissa (BTP quotati). Per la parte di curva compresa tra 0 e 2 anni è possibile utilizzare

direttamente i TIR dei titoli a cedola nulla, mentre per la parte lunga (oltre i due anni), i tassi di struttura

vengono approssimati dai TIR dei BTP con scadenza opportuna. Il metodo de TIR non tiene conto della

distribuzione nel tempo dei pagamenti cedolari dei BTP utilizzati, il cui “peso” in termini di valore attuale non è

trascurabile e pertanto per tener conto di questo effetto sono state proposte alcune modifiche significative.

Il metodo bootstrap (inizializzazione), consiste nell'estrarre un numero finito di valori dei tassi di struttura in

maniera sequenziale, a partire dalle quotazioni e dalle caratteristiche tecniche di un certo numero di titoli a

m

cedola nulla e da titoli a cedola fissa. Da un punto di vista matematico si tratta di risolvere un sistema di

m

equazioni lineari in incognite che ammette una ed una sola soluzione.

Il problema della misurazione della struttura a scadenza dei tassi può essere impostato a partire dall'ipotesi che

i prezzi di mercato delle obbligazioni debbano essere riprodotti sulla base di un modello parametrico che

descriva la struttura dei tassi di mercato. Stimare un modello parametrico significa determinare i valori dei

parametri a , a1,...a , che meglio riproducono le quotazioni di mercato. Nelle applicazioni operative del metodo,

0 n

il numero dei parametri risulta molto minore del numero di titoli utilizzati e questo fatto rende praticamente

impossibile riprodurre esattamente le quotazioni di mercato; per ovviare a ciò si usa, ad esempio, il metodo dei

minimi quadrati ovvero determinare i valori dei parametri che minimizzano la somma degli scarti (tra i prezzi dei

modelli e quelli di mercato) al quadrato.

6. Il rischio di tasso di interesse

• L’evoluzione temporale della struttura dei tassi di interesse. Evoluzione in condizioni di certezza. Evoluzione in

condizioni di incertezza.

Detenere attività finanziarie comporta assunzione di rischio; l'imprevedibilità dell'evoluzione temporale

(aleatorietà) dei prezzi, ovvero l'impossibilità di determinare i prezzi futuri sulla base delle informazioni

disponibili, genera rischio finanziario. All'osservazione statistica i tassi sembrano muoversi in modo

imprevedibile con una componente di casualità non trascurabile. L'imprevedibilità dell'evoluzione temporale

della struttura dei tassi di interesse, generano aleatorietà nell'evoluzione dei prezzi, determina il rischio di tasso

di interesse.

In condizioni di certezza la struttura a scadenza dei tassi futuri è nota all'istante attuale ed i prezzi futuri dei titoli

sono univocamente determinati sulla base dell'informazione disponibile. In un mercato che evolve in condizioni

deterministiche non c'è rischio! Per l'ipotesi di assenza di arbitraggio l'unica condizione possibile è che i prezzi a

pronti futuri corrispondano con i prezzi a termine.

Nel modellizzare l'evoluzione della struttura per scadenza dei tassi di interesse in condizioni di incertezza,

shift additivi,

assumeremo che l'intensità istantanea di interesse, osservata nel mercato al tempo t, evolva per

cioè per traslazioni parallele (indipendenti dalla scadenza) e di ampiezza aleatorio Z. All'evoluzione

deterministica si sovrappone una componente stocastica (probabilistica) indipendente dalla scadenza che

modellizza la componente di casualità nei movimenti della struttura dei tassi. Nel caso in cui la variabile

aleatoria Z sia identicamente nulla, il modello evolutivo coincide con il modello in condizioni di certezza.

• Una misura per il rischio di tasso: la duration. I momenti di ordine superiore. La duration dei portafogli. La

duration nel caso di struttura piatta. “TIR” vs. duration e la struttura dei tassi di interesse.

I prestiti ed il rischio di tasso di interesse

La Duration o Durata media finanziaria è un indice sintetico della durata di un progetto finanziario ed esprime la

media aritmetica ponderata delle vita a scadenze dei singoli importi che costituiscono il flusso del titolo. Il suo

valore non può essere superiore alla vita a scadenza dell'ultimo importo.

Per poter quantificare il rischio di tasso di interesse occorre individuare una grandezza che misuri le variazioni

di prezzo (di valore attuale) dovute alle variazione aleatorie della struttura per scadenza dei tassi di interesse..

Per poter individuare una misura del rischio del tasso di interesse, è necessario isolare l'effetto prodotto delle

sole variazioni aleatorie.

La duration gode delle seguenti proprietà:

- si calcola sulla base dell'informazione disponibile al tempo t

- poiché ha le dimensioni tempo, il suo valore dipende dall'unità di misura temporale adottata

- per attività finanziarie caratterizzate da importi non negativi si ha t -t<= D(t,x) <= t -t

1 m


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flaviael

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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti sui Concetti di Matematica Finanziaria. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: Le operazioni finanziarie, Le attività finanziarie, Le funzioni delle attività finanziarie. Titoli base e titoli derivati, I mercati finanziari. Il mercato mobiliare italiano, ecc.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e finanza
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher flaviael di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica finanziaria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Gabriele D'Annunzio - Unich o del prof Cellini Paola.

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