Concetti di Matematica Finanziaria

Il rendimento

Il rendimento delle operazioni finanziarie elementari. La legge degli interessi semplici. La legge degli interessi composti. La legge dello sconto commerciale. Tassi equivalenti.

Nel regime di capitalizzazione semplice gli interessi vengono capitalizzati (aggiunti alla fine di ogni periodo).

Nel regime di capitalizzazione composta gli interessi maturati alla fine di ogni periodo verranno aggiunti al capitale e inizieranno da tale data a produrre interessi.

La legge dello sconto commerciale regola le operazioni di sconto delle cambiali commerciali presso gli istituti bancari.

Tassi equivalenti: convertire i tassi da una base temporale ad un'altra all'interno di una determinata legge.

Il tasso interno di rendimento (TIR). Il TIR dei titoli a cedola fissa. Il TIR e le scelte finanziarie.

Il TIR di un'operazione finanziaria è il tasso di interesse della legge commerciale che rende equa l'operazione stessa. È un modo per calcolare il

1. Rendimento ex-ante supponendo di mantenere il titolo fino a scadenza.
2. L'operazione di acquisto di un titolo a cedola fissa è un'operazione di puro investimento caratterizzata da TIR positivo. Fanno eccezione i casi in cui il titolo sia acquistato alla pari all'emissione, oppure sia quotato alla pari immediatamente dopo lo stacco di una cedola (in questi casi il TIR corrisponde al tasso cedolare).
3. Il TIR è un indicatore sintetico delle prestazioni di un'attività finanziaria ma non l'unico. In alcuni casi un'operazione finanziaria può non avere TIR e/o sono necessarie ulteriori informazioni in base alle strategie dell'investitore.
4. L'ammortamento dei prestiti
   • I prestiti.
   • Un prestito è un'operazione finanziaria che consiste nello scambio di una somma iniziale positiva, l'importo finanziato, con una successione di pagamenti. La successione delle rate di rimborso si definisce rendita (temporanea) ed il numero.

Le rendite si suddividono in:

• Rendite periodiche: l'ampiezza del periodo è costante e si suddividono in annue, frazionate e poliennali.
• Rendite non periodiche: l'ampiezza del periodo è variabile.

Le rate possono essere:

• A rata costante: rate di importo uguale.
• A rata variabile: ogni rata differisce dall'altra.

Le rendite possono essere:

• Temporanee: costituite da un numero finito di rate.
• Perpetue: costituite da un numero illimitato di rate.

Le rendite possono essere:

• Immediate: hanno inizio nel momento in cui vengono costituite.
• Differite: hanno inizio in un'epoca posteriore in cui sono state costituite.

Le rate possono essere:

• Anticipate: le rate vengono versate o riscosse all'inizio di ogni periodo.
• Posticipate: le rate vengono versate o riscosse alla fine di ogni periodo.

Le rendite possono essere:

• Certe: la riscossione o il pagamento non è condizionato dal verificarsi di un determinato evento.
• Aleatorie: la riscossione o il pagamento è condizionato dal verificarsi di un determinato evento.

La valutazione dei prestiti. Il caso delle rate.

costanti. La progettazione di un prestito richiede in primo luogo che vengano definiti univocamente gli importi delle rate dirimborso, poi occorre dichiarare il "costo" del finanziamento, specificando esplicitamente il TIR dell'operazione. Se il prestito viene rimborsato a rate costanti, una volta stabilita la periodicità delle rate, esiste uno ed un solo piano di rimborso possibile.

• Il piano d' ammortamento.
• L'ammortamento francese.
• L'ammortamento italiano.
• Il preammortamento.
• L'ammortamento delle obbligazioni.
• Ammortamenti con differimento.
• La variante ad interessi anticipati.
• Il tasso annuo effettivo globale (TAEG).

L'ammortamento di un prestito avviene mediante il pagamento delle rate di rimborso che consentono di corrispondere gli interessi sul debito e di ridurre l'indebitamento complessivo. Nel piano di ammortamento sono contenute tutte le informazioni rilevanti, quali: quota interessi, la decomposizione degli importi

dovranno essere pagati alla fine del periodo di differimento insieme alle rate di ammortamento. L'ammortamento francese è caratterizzato dal fatto che ogni rata comprende sia gli interessi che una quota di capitale. Questo significa che all'inizio del prestito si pagano interessi più alti e una quota di capitale più bassa, mentre alla fine del prestito si pagano interessi più bassi e una quota di capitale più alta. L'ammortamento italiano, invece, prevede che ogni rata sia composta solo da una quota di capitale costante. Gli interessi, invece, vengono calcolati sulla base del debito residuo e vengono corrisposti separatamente. L'evoluzione temporale del debito residuo è influenzata dai pagamenti delle rate. Man mano che si effettuano i pagamenti, il debito residuo diminuisce e di conseguenza anche gli interessi calcolati sul debito residuo diminuiscono. In un prestito obbligazionario, l'emittente corrisponde periodicamente gli importi delle cedole, che rappresentano gli interessi sul debito. Lo schema di ammortamento può essere diverso da quello descritto precedentemente e può essere non-standard. Infine, in un ammortamento con differimento, durante il periodo di differimento non vengono corrisposti periodicamente gli interessi maturati. Questi interessi dovranno essere pagati alla fine del periodo di differimento insieme alle rate di ammortamento.incrementano il debito residuo attraverso quote di capitale negative. La riduzione del debito comincia dopo il periodo di differimento con il pagamento della prima rata strettamente positiva. Lo schema di rimborso ad interessi anticipati all'inizio del periodo di differimento anziché posticipatamente viene detto anche ammortamento tedesco. All'epoca saranno pagati gli interessi sull'importo iniziale, all'epoca 1 quelli relativi al debito residuo dopo il pagamento della prima rata ed in generale all'epoca k saranno corrisposti gli interessi sul debito residuo dopo il pagamento della k-esima rata. Il TAEG è l'indicatore sintetico e convenzionale del costo complessivo di un finanziamento. Il TIR dell'operazione di finanziamento comprendente tutti gli importi che compongono il finanziamento (esempio spese di istruttoria, spese di riscossione,...). La misurazione delle struttura per scadenza dei tassi di interesse nei mercati reali l'ipotesi di.

La completezza è piuttosto irrealistica e questo fatto complica notevolmente il problema della "misurazione" della struttura dei prezzi. In un tipico problema di valutazione occorre conoscere la struttura dei prezzi su orizzonti temporali ben più lunghi e nel mercato italiano soltanto i BTP hanno una vita a scadenza superiore a due anni.

La struttura per scadenza dei tassi di interesse. La struttura dei tassi a termine. Il rendimento a scadenza. Struttura dei tassi: il complesso dei tassi di interesse relativi a tutte le possibili scadenze. La struttura per scadenza dei tassi di interesse individua la struttura dei TIR dei titoli a cedola nulla in vigore al tempo t, al variare della scadenza. Definisce il "rendimento del denaro", cioè la remunerazione richiesta dagli investitori per trasferire denaro nel tempo. Titoli a cedola nulla con scadenze diverse nel tempo possono avere TIR diversi (dipendenza dal fattore tempo); la struttura dei tassi

Varia nel tempo. Dai prezzi a termine è possibile definire la struttura dei tassi a termine e può essere dedotta direttamente dalla struttura dei tassi a pronti. Se la struttura dei tassi a pronti è crescente allora la struttura dei tassi a termine "domina" la struttura dei tassi a pronti. Se invece la struttura dei tassi a pronti risulta decrescente allora la struttura dei tassi a termine è "dominata" dalla struttura dei tassi a pronti. Il rendimento a scadenza [h(t,s)] rappresenta la media integrale dell'intensità istantanea di interesse sull'orizzonte temporale utilizzato e fornisce una immediata informazione sintetica sul tipo di relazione vigente in quel momento fra rendimento e durata dell'operazione.

Metodi di misurazione delle struttura dei tassi. Il metodo del TIR. Il metodo bootstrap. La stima di un modello parametrico.

I mercati reali non soddisfano l'ipotesi di completezza e questo fatto rende

Complesso il problema della struttura dei tassi di interesse. La prima questione importante che si pone è allora quella della determinazione dei tassi mancanti in un segmento temporale dove comunque sono disponibili dei dati.

Il metodo basato su TIR (interpolazione) utilizza le informazioni contenute nei TIR di titoli a cedola nulla (BOT e CTZ) e dei titoli a cedola fissa (BTP quotati). Per la parte di curva compresa tra 0 e 2 anni è possibile utilizzare direttamente i TIR dei titoli a cedola nulla, mentre per la parte lunga (oltre i due anni), i tassi di struttura vengono approssimati dai TIR dei BTP con scadenza opportuna. Il metodo de TIR non tiene conto della distribuzione nel tempo dei pagamenti cedolari dei BTP utilizzati, il cui "peso" in termini di valore attuale non è trascurabile e pertanto per tener conto di questo effetto sono state proposte alcune modifiche significative.

Il metodo bootstrap (inizializzazione), consiste nell'estrarre un numero

finito di valori dei tassi di struttura inmaniera sequenziale, a partire dalle quotazioni e dalle caratteristiche tecniche di un certo numero di titoli amcedola nulla e da titoli a cedola fissa. Da un punto di vista matematico si tratta di risolvere un sistema dimequazioni lineari in incognite che ammette una ed una sola soluzione.Il problema della misurazione della struttura a scadenza dei tassi può essere impostato a partire dall'ipotesi chei prezzi di mercato delle obbligazioni debbano essere riprodotti sulla base di un modello parametrico chedescriva la struttura dei tassi di mercato. Stimare un modello parametrico significa determinare i valori deiparametri a , a1,...a , che meglio riproducono le quotazioni di mercato. Nelle applicazioni operative del metodo,0 nil numero dei parametri risulta molto minore del numero di titoli utilizzati e questo fatto rende praticamenteimpossibile riprodurre esattamente le quotazioni di mercato; per ovviare a ciò si usa, ad esempio,

Il metodo dei minimi quadrati consiste nel determinare i valori dei parametri che minimizzano la somma degli scarti (tra i prezzi dei modelli e quelli di mercato) al quadrato.

6. Il rischio di tasso di interesse

• L'evoluzione temporale della struttura dei tassi di interesse. Evoluzione in condizioni di certezza. Evoluzione in condizioni di incertezza.
• Detenere attività finanziarie comporta assunzione di rischio; l'imprevedibilità dell'evoluzione temporale (aleatorietà) dei prezzi, ovvero l'impossibilità di determinare i prezzi futuri sulla base delle informazioni disponibili, genera rischio finanziario. All'osservazione statistica i tassi sembrano muoversi in modo imprevedibile con una componente di casualità non trascurabile. L'imprevedibilità dell'evoluzione temporale della struttura dei tassi di interesse, generano aleatorietà nell'evoluzione dei prezzi, determina il rischio di tasso di interesse.

Condizioni di certezza: la struttura a scadenza dei tassi futuri è nota a tutti.