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Concetti di Matematica Finanziaria Appunti scolastici Premium

Appunti sui Concetti di Matematica Finanziaria. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: Le operazioni finanziarie, Le attività finanziarie, Le funzioni delle attività finanziarie. Titoli base e titoli derivati, I mercati finanziari. Il mercato mobiliare... Vedi di più

Esame di Matematica finanziaria docente Prof. P. Cellini

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e lo schema può non ricadere nei precedenti ma essere non-standard.

In un ammortamento con differimento, durante il periodo di differimento stesso, gli interessi maturati che non

sono corrisposti periodicamente, incrementano il debito residuo attraverso quote di capitale negative. La

riduzione del debito comincia dopo il periodo di differimento con il pagamento della prima rata strettamente

positiva.

Lo schema di rimborso ad interessi anticipati all'inizio del periodo di differimento anziché posticipatamente viene

detto anche ammortamento tedesco. All'epoca saranno pagati gli interessi sull'importo iniziale, all'epoca 1

quelli relativi al debito residuo dopo il pagamento della prima rata ed in generale all'epoca k saranno corrisposti

gli interessi sul debito residuo dopo il pagamento della k-esima rata.

Il TAEG è l'indicatore sintetico e convenzionale del costo complessivo di un finanziamento. Il TIR

dell'operazione di finanziamento comprendente tutti gli importi che compongono il finanziamento (esempio

spese di istruttoria, spese di riscossione,...)

5. La misurazione delle struttura per scadenza dei tassi di interesse

Nei mercati reali l'ipotesi di completezza è piuttosto irrealistica e questo fatto complica notevolmente il problema della

“misurazione” della struttura dei prezzi. In un tipico problema di valutazione occorre conoscere la struttura dei prezzi su

orizzonti temporali ben più lunghi e nel mercato italiano soltanto i BTP hanno una vita a scadenza superiore a due anni.

• La struttura per scadenza dei tassi di interesse. La struttura dei tassi a termine. Il rendimento a scadenza.

Struttura dei tassi: il complesso dei tassi di interesse relativi a tutte le possibili scadenze.

La struttura per scadenza dei tassi di interesse individua la struttura dei TIR dei titoli a cedola nulla in vigore al

tempo t, al variare della scadenza. Definisce il “rendimento del denaro”, cioè la remunerazione richiesta dagli

investitori per trasferire denaro nel tempo. Titoli a cedola nulla con scadenze diverse nel tempo possono avere

TIR diversi (dipendenza dal fattore tempo); la struttura dei tassi varia nel tempo.

Dai prezzi a termine è possibile definire la struttura dei tassi a termine e può essere dedotta direttamente dalla

struttura dei tassi a pronti. Se la struttura dei tassi a pronti è crescente allora la struttura dei tassi a termine

“domina” la struttura dei tassi a pronti. Se invece la struttura dei tassi a pronti risulta decrescente allora la

struttura dei tassi a termine è “dominata” dalla struttura dei tassi a pronti.

Il rendimento a scadenza [h(t,s)] rappresenta la media integrale dell'intensità istantanea di interesse

sull'orizzonte temporale utilizzato e fornisce una immediata informazione sintetica sul tipo di relazione vigente in

quel momento fra rendimento e durata dell’operazione..

• Metodi di misurazione delle struttura dei tassi. Il metodo del TIR. Il metodo bootstrap. La stima di un modello

parametrico.

I mercati reali non soddisfano l'ipotesi di completezza e questo fatto rende complesso il problema della struttura

dei tassi di interesse. La prima questione importante che si pone è allora quella della determinazione dei tassi

mancanti in un segmento temporale dove comunque sono disponibili dei dati.

Il metodo basato su TIR (interpolazione) utilizza le informazioni contenute nei TIR di titoli a cedola nulla (BOT e

CTZ) e dei titoli a cedola fissa (BTP quotati). Per la parte di curva compresa tra 0 e 2 anni è possibile utilizzare

direttamente i TIR dei titoli a cedola nulla, mentre per la parte lunga (oltre i due anni), i tassi di struttura

vengono approssimati dai TIR dei BTP con scadenza opportuna. Il metodo de TIR non tiene conto della

distribuzione nel tempo dei pagamenti cedolari dei BTP utilizzati, il cui “peso” in termini di valore attuale non è

trascurabile e pertanto per tener conto di questo effetto sono state proposte alcune modifiche significative.

Il metodo bootstrap (inizializzazione), consiste nell'estrarre un numero finito di valori dei tassi di struttura in

maniera sequenziale, a partire dalle quotazioni e dalle caratteristiche tecniche di un certo numero di titoli a

m

cedola nulla e da titoli a cedola fissa. Da un punto di vista matematico si tratta di risolvere un sistema di

m

equazioni lineari in incognite che ammette una ed una sola soluzione.

Il problema della misurazione della struttura a scadenza dei tassi può essere impostato a partire dall'ipotesi che

i prezzi di mercato delle obbligazioni debbano essere riprodotti sulla base di un modello parametrico che

descriva la struttura dei tassi di mercato. Stimare un modello parametrico significa determinare i valori dei

parametri a , a1,...a , che meglio riproducono le quotazioni di mercato. Nelle applicazioni operative del metodo,

0 n

il numero dei parametri risulta molto minore del numero di titoli utilizzati e questo fatto rende praticamente

impossibile riprodurre esattamente le quotazioni di mercato; per ovviare a ciò si usa, ad esempio, il metodo dei

minimi quadrati ovvero determinare i valori dei parametri che minimizzano la somma degli scarti (tra i prezzi dei

modelli e quelli di mercato) al quadrato.

6. Il rischio di tasso di interesse

• L’evoluzione temporale della struttura dei tassi di interesse. Evoluzione in condizioni di certezza. Evoluzione in

condizioni di incertezza.

Detenere attività finanziarie comporta assunzione di rischio; l'imprevedibilità dell'evoluzione temporale

(aleatorietà) dei prezzi, ovvero l'impossibilità di determinare i prezzi futuri sulla base delle informazioni

disponibili, genera rischio finanziario. All'osservazione statistica i tassi sembrano muoversi in modo

imprevedibile con una componente di casualità non trascurabile. L'imprevedibilità dell'evoluzione temporale

della struttura dei tassi di interesse, generano aleatorietà nell'evoluzione dei prezzi, determina il rischio di tasso

di interesse.

In condizioni di certezza la struttura a scadenza dei tassi futuri è nota all'istante attuale ed i prezzi futuri dei titoli

sono univocamente determinati sulla base dell'informazione disponibile. In un mercato che evolve in condizioni

deterministiche non c'è rischio! Per l'ipotesi di assenza di arbitraggio l'unica condizione possibile è che i prezzi a

pronti futuri corrispondano con i prezzi a termine.

Nel modellizzare l'evoluzione della struttura per scadenza dei tassi di interesse in condizioni di incertezza,

shift additivi,

assumeremo che l'intensità istantanea di interesse, osservata nel mercato al tempo t, evolva per

cioè per traslazioni parallele (indipendenti dalla scadenza) e di ampiezza aleatorio Z. All'evoluzione

deterministica si sovrappone una componente stocastica (probabilistica) indipendente dalla scadenza che

modellizza la componente di casualità nei movimenti della struttura dei tassi. Nel caso in cui la variabile

aleatoria Z sia identicamente nulla, il modello evolutivo coincide con il modello in condizioni di certezza.

• Una misura per il rischio di tasso: la duration. I momenti di ordine superiore. La duration dei portafogli. La

duration nel caso di struttura piatta. “TIR” vs. duration e la struttura dei tassi di interesse.

I prestiti ed il rischio di tasso di interesse

La Duration o Durata media finanziaria è un indice sintetico della durata di un progetto finanziario ed esprime la

media aritmetica ponderata delle vita a scadenze dei singoli importi che costituiscono il flusso del titolo. Il suo

valore non può essere superiore alla vita a scadenza dell'ultimo importo.

Per poter quantificare il rischio di tasso di interesse occorre individuare una grandezza che misuri le variazioni

di prezzo (di valore attuale) dovute alle variazione aleatorie della struttura per scadenza dei tassi di interesse..

Per poter individuare una misura del rischio del tasso di interesse, è necessario isolare l'effetto prodotto delle

sole variazioni aleatorie.

La duration gode delle seguenti proprietà:

- si calcola sulla base dell'informazione disponibile al tempo t

- poiché ha le dimensioni tempo, il suo valore dipende dall'unità di misura temporale adottata

- per attività finanziarie caratterizzate da importi non negativi si ha t -t<= D(t,x) <= t -t

1 m

- nei casi dei TCN coincide con la vita a scadenza

La convenzione adottata per la duration è quella di indicare nella prima cifra gli anni seguiti dai giorni, indicati

topo la virgola.

In alcuni casi occorre affinare l'analisi ed il contributo della sola duration non può essere sufficiente a

quantificare correttamente il rischio di tasso di interesse. Si parla allora di momenti di ordine superiore ovvero

proseguire nel calcolo della serie di Taylor che definisce la duration (duration di secondo ordine, terzo ordine....

di ordine n). Il momento di ordine n:

- si calcola sulla base dell'informazione disponibile al tempo t

n

- poiché ha le dimensioni tempo , il suo valore dipende dall'unità di misura temporale adottata

n (n) n

- per attività finanziarie caratterizzate da importi non negativi si ha (t -t) <= D (t,x) <= (t -t)

1 m

- nei casi dei TCN coincide con la vita a scadenza elevata ad n

E' possibile determinare la Duration di un portafoglio di attività finanziarie a partire dalle duration dei singoli titoli

costituenti. La duration e tutti i momenti di ordine superiore del portafoglio possono essere calcolati come

combinazioni lineari delle duration dei singoli titoli che lo compongono.

Se la struttura dei tassi osservata al tempo t è piatta, cioè indipendente dalla scadenza, anche la struttura dei

rendimenti a scadenza risulta piatta. Bel caso di struttura piatta esistono formule sintetiche per calcolare la

duration dei titoli a cedola fissa. Le formule relative alla struttura piatta vengono utilizzate molto spesso anche

in situazioni in cui la struttura a dei tassi non si possa approssimare con una struttura piatta, a patto di

utilizzare come tasso di struttura il tasso interno di rendimento dei titoli considerati. In generale l'errore che si

ammette è accettabile.

“Tir vs Duration”: il metodo del TIR (che consiste essenzialmente nel ricavare i tassi di struttura direttamente dai

TIR dei titoli a cedola fissa con scadenze opportune) non tiene conto della distribuzione nel tempo dei

pagamenti cedolari dei titoli, perché nel momento in cui il tasso di struttura relativo ad una determinata

scadenza si pone uguale al tasso interno di rendimento del BTP corrispondente, di fatto si assimila il titolo a

cedola fissa ad un titolo a cedola nulla. Il peso dei pagamenti cedolari, in termini di valore attuale, non è

trascurabile è per ovviare a questo è stato proposto di modificare il metodo del TIR utilizzando la Duration. La

Duration è la grandezza finanziaria che determina principalmente le variazioni di prezzo dei titoli (e di

conseguenza le variazioni di tasso interno di rendimento) e consente di tener conto in maniera significativa del

“peso” dei pagamenti cedolari. La struttura dei tassi ottenuta con il metodo del “TIR vs Duration” domina quella

ricavata con il metodo del TIR e la “distanza” tra le die aumenta con l'aumentare della vita a scadenza.

I prestiti ed il rischio di tasso di interesse: la definizione di prestito comporta l'assunzione di rischio di tasso di

interesse sia da parte del finanziatore, sia da parte del soggetto finanziato (esempi mutui accesi in periodo con

tassi elevati e successivamente scesi o viceversa). L'evoluzione aleatoria della struttura dei tassi comporta che

la valutazione a tassi di mercato possa non coincidere con il valore del debito previsto dal piano di

ammortamento. La legislazione in materia prevede la rinegoziazione del debito residuo come risulta del piano

di ammortamento, dietro pagamento di una penale a copertura del rischio di tasso di interesse che i soggetti

finanziari si assumono.

• La gestione del rischio di tasso: immunizzazione finanziaria. La conservazione nel tempo delle condizioni di

immunizzazione.

La definizione di misure di rischio adeguate, consente da un lato di monitorare il livello dell'esposizione

finanziaria nel tempo e dall'altro di impostare quantitativamente il problema della gestione e del controllo del

rischio di tasso di interesse. In generale l'investitore sarà solvibile se riuscirà a corrispondere gli importi fissati ai

tempi stabiliti contrattualmente, cioè se riuscirà a pagare l'importo y1 al tempo t1, y2 al tempo t2, e così via sino

a corrispondere l'importo ym al tempo tm. In generale per essere solvibili non è necessario disporre dell'intera

somma nell'ipotesi che il mercato obbligazionario sia completo. Per poter essere solvibili è sufficiente avere a


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flaviael

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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti sui Concetti di Matematica Finanziaria. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: Le operazioni finanziarie, Le attività finanziarie, Le funzioni delle attività finanziarie. Titoli base e titoli derivati, I mercati finanziari. Il mercato mobiliare italiano, ecc.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e finanza
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher flaviael di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica finanziaria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Gabriele D'Annunzio - Unich o del prof Cellini Paola.

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