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TRAVI DI TIMOSHENKO
Premessa:
Travi Totte non deformabili al taglio
du = (XT · T) / (G A) dx
- du: spostamento infinitesimo tra le due sezioni di una Trave;
- XT: fattore di taglio della sezione della Trave;
- T: sforzo di taglio;
- G: modulo di elasticità tangenziale del materiale;
- A: area della sezione;
- dx: lunghezza infinitesima del carico.
γ = (du - T / (G A)) dx
In genere, in attenzione con A*: area ridotta = A / XT
Formulazione forte
- Equilibrio: dT/dx = -q, dM/dx = -T
- Congruenza: dν/dx = -φ + ψ, dψ/dx = X
- Legame costitutivo: { T = G A X γ; M = EI X }
X: curvatura
dv = du - d - (XT · T) / (G A) dx + ψ dx
Sostituiano la eq. di congruenza dentro al legame costitutivo otteniamo:
T = GA* (v' + ψ)
M = EI ψ''
Sostituiano questa eq. dentro a quelle di equilibrio otteniamo:
GA* (v' + ψ) + EI ψ'' = q
(EI ψ'')' + GA* (v' + ψ)
Risolviamo quindi otteniamo un sistema di equazioni in cui le uniche incognite sono v' e ψ, idóniamo di formulare il problema in una sola incognita e sostituendo un'equazione dentro l'altra. Sostituiano la 2a eq. con la 1a e otteniamo:
EI ψ'''' = -q
Della 2a eq. si che poi:
v' = -ψ + Λ-1 EI ψ''
con
- Λ-1 = EI/GA* (che ha dimensioni di una lunghezza)
Il sistema che abbiamo ottenuto è allora:
- {
- EI ψ'''' = -q (x) (III)
- v' = - ψ + Λ-1 EI ψ''
- }
Il problema è quindi compito dalle condizioni al contorno su v, ψ, M e T dove
M = EI ψ''; T = EI ψ
La soluzione generale per la funzione ψ è:
ψ = ψ0 + ψP = C0 + C1 x + C2 x2 + ψP
dove ψP è soluzione particolare che dipende dalla forma del carico q(x) applicato alla trave.
Retando finite le integrali abbiamo unito a sufficiente...
bordere e sono funzioni integrali, e y sono funzioni continue...
avvera per la...
le loro possono quindi...
eliminando la formulazione del EPT, bilince...
δπ = ∫₀ᶜ [EIy'δy' + GA*(u' + ψ)(δu' + δψ)]dxi - ∫₀ᶜ gδudx = 0
qusto δv, δψ. Integrando per parti...
...[E Iy'δy']₀ᶜ + [GA*(u' + ψ)δu]₀ᶜ = 0 ∀ δu, δψ.
Eqps loro poraya, se obtiene...
[GA*(u' + ψ)]' + g = 0
[EIy'']' - GA*(u' + ψ) = 0
ili une lo en ali obturta a pag. 123...
le formulazione forte...
por la quali combia cond. al costorno che sono...
T = GA*(u' + ψ) = 0 oppure δu* = 0 in o, e
M = EIy'' = 0 oppure δψ* = 0 in o, e
e coincidono quindi con le cond. di equilibro alternato...
della formulazione forte.
Metodo agli elementi finiti per travi di Timoshenko...
Assumano travi g.d.e gli... sposta...
menti le rotanioni dei modi di...
estremita di ciascun EF raccolti nel vettore...
u(i) = (u1, φ1, u2, φ2)T
Lo spostamento traversale u(x)...
possono approssimare utilizzando le deformazioni formate...
della sol. esotta a pag. 124 in assume de...
-6EI
(L+Φ)l2
Φ"(x) = -1
12 6cl -12 -6cl
6cl (4+Φ)cl2 -6cl (2-Φ)cl2
(L+Φ)l3
matrice di rigidezza per una trave EB
f(x) =
ql3 -qel2 qel qel2
2 12 2 12
vettore delle forze nodali equivalenti per una trave di EB per q=cosT
Esempio:
l l
dove
12 6cl EI 12 6cl
(L+Φ)l3
6cl (4+Φ)cl2
pag. 136 si ottiene
vf = q(x)/EΓαβ²
termino alla omogenea
viv + αβ²v˝ = 0
questa la possiamo scrivere come
λ4 + αβ²λ2 = 0
vf = Deλx
λ² = ± √2 β(i ± 1)/√2 = iβ(±1 ± i)
(1 + i/√2)2 = -i
Quindi la sol. generale del eq omogenea è la seguente:
vo = eqix(Acos(βx) + Bsen(βx)) + e-qix(Ccos(βx) + Dsen(βx))
v(x) = eλx[A cos(βx) + B sen(βx)] + e-λx[C cos(βx) + D sen(βx)] + q(x)/EΓαβ²
φ = -υy
M = -ELυyy
T = -EIυyyyy
...
C = 0,2 PE
f(““) = EI V(“)
T(“) = EI N(“) , u(“) = (0,2 Ʃ -0,04) PE
Trave soggetta a torsione:
ϕ = M/
T = G J N(“)
N(x) = 1 - Ʃ
N(x) = Ʃ 1
EPT
= 1/2 ∫ 2 Ω M dx - ∫ 0 V M Ω dx =
...
dove R(e) è matrice complessiva di rotazione. Si potra anche scrivere:
U(e) = R(e) U(e)' → U(e)T = U(e)' R(e)T
→
Introducendo l'energia di deformazione elastica e l'EPT, possiamo scrivere:
1/2 U(e)T K(e) U(e) = 1/2 U(e)'T R(e)T K(e) R(e) U(e)'
Assembliano ora tutti gli elementi con la matrice di connessione di ciascun asta:
U(e)' = L(e)T U
K(e) = L(e)(e)T K(e)' L(e)
F = ∑i∈L L(e)T F(e)' + Fo
con:
F(e)' = R(e)T F(e)
I. Utilizzando il criterio statico possiamo introdurre l'equilibrio delle deformaz.
Kθ - Pℓ sin(θ) = 0 → condizione di equilibrio di questo sistema
P = (K / ℓ) sin(θ)
θ = 0 (sol. banale) ∀ P
θ → 0
θ / sin(θ) → 1
⇒ P = K / ℓ
⇒ θ = 0
Nel piano per qualsiasi valore di P, P = l'asse delle ordinate. È l'asse che corrisponde a tutte configurazioni d'equilibrio banali, minima attrazione ad un'altra possibilità ovvero θ → ∞ ⇒ P = K / ℓ.
Percorso di equilibrio presente e asintoti verticali in ± ℓ possiamo quindi dire che:
1. se P < K / ℓ → è unico percorso di equilibrio possibile è quello banale (non sono possibili altri percorsi possibili) → config. di equilibrio stabile.
2. se P = K / ℓ → si ha e intersezione con un altro percorso.
3. se P > K / ℓ → sono possibili 3 config. di equilibrio con esito indeterminato (percorso sull'asse delle ordinate) e con l'asta deformata da una parte all'altra (questo per raggiungere i punti config. di equilibrio instabile config. di equilibrio stabile e config. di equilibrio instabile per non deformare con il percorso fondamentale).
Questo è quello che definisce il criterio statico.
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