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COMPLEMENTI DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI
Teoria
UNIMOREUniversità degli Studi di Modena e Reggio Emilia
Filippo RibesNOTEWAVE_RF
Autore degli appunti: Filippo Ribes
Gli appunti sono stati scritti sulla base delle lezioni svolte dal Professor Enrico Radi e delle sue dispense.
Per dubbi, chiarimenti o altro, mi trovi su Instagram:ig: NoteWave_RFig: fil_ribes
Tale condizione risulta posta per qualsiasi variazione δu compatibile con leggi di contorno sulla funzione u ↔ sono verificate le seguenti
di Eulero - Lagrange
(conseguenza del teorema fondamentale),
dove l = 0 in x = a,b
oppure δu = 0 (voli per cui si annullano il 2° ed il 3° termine)
oppure δu = 0 (voli per cui si annulla il 1° termine)
Per cui l’apparato variabile fornisce una descrizione completa del problema fermando sia le eq differenziali che lo governano, sia le cond. al contorno
Teorema fondamentale del calcolo delle variazioni
Sia F(x) una funzione continua nell’intervallo (a,b). Allora se \(\int_a^b F(x) δu(x) dx = 0, \forall δu \in C_0 (a,b)\), \(\Rightarrow F(x)=0, \forall x \in (a,b)\)
Dim.
Supponiamo per assurdo che \(\exists x | F(x) \neq 0\), ad esempio F(x)>0. Allora \(\exists I\) intorno di \(x : δu > 0\) in tale intorno. Se scegliamo \(\delta u |_{[x]} \rightarrow \delta u > 0\) in tale intorno e \(\delta u = 0\) in tutto l’esterno dell’intorno si ha che
\(\int_a^b F(x) δu(x) dx \neq \int_a^b \left| F(x) \right| δu(x) dx = 0\)
in contraddizione con l’ipotesi d’assunto
Caso particolare:
Se F dipende da x cioè F = F(u, u’), allora si ha
\(\left( d \left( \frac{\partial F}{\partial u^i} u^i \right) - F \right) = \right) \frac{d}{dx} \left[ \frac{\partial F}{\partial u'^i} \delta u^i - \left( \frac{\partial F}{\partial u^i} u^i - f \right) \right. \delta u^i (u'^i - u'^i) \left( d \left( \frac{\partial f}{d x} \right) \right) \left( d x \right) \right] = 0\]
Notiamo che la formulazione debole che si ottiene attuando il principio variazionale si definisce principalmente energia potenziale totale (EPT) di una struttura e la si indica con π che fa differenze tra Us, energia di deformazione elastica e L, lavoro delle forze esterne:
π = Us - L energia potenziale totale di una struttura
Nel caso di una barra soggetta a sole forze normali (carica assialmente) Si ha che:
π = 1/2 ∫0ℓ N E dx - ∫0ℓ ρ u dx = 1/2 ∫0ℓ EA(u’)² dx - ∫0ℓ ρ u dx
Si dimostra che l’EPT della struttura risulta stazionaria ed in particolare minima in corrispondenza della soluzione forte del problema elastico. Infatti la variazione 1a di π è
δπ = ∫0ℓ EA u’ δu’ dx - ∫0ℓ δu dx
Utilizzando la formula di integrazione per parti per l’primo integrale si ottiene:
δπ = [EA u’ δu]0ℓ - ∫0ℓ (EA u’)’ δu dx - ∫0ℓ ρ δu dx =
= ∫0ℓ [(EA u’)’ + ρ ] δu dx + [EA u’ δu]ℓ
Quindi: δu = 0 in corrispondenza della soluzione forte.
Inserire poiché la variazione di (u’)² è data da:
δ(u’)² = 2u’δu’ + (δu)²
per quanto visto nel secondo punto del punto di pag.2 allora la variazione seconda di π risulta:
δ²π = 1/2 ∫0ℓ EA (δu’)² dx ≥ 0
Per cui π ha un MINIMO in corrispondenza della
variabile che in questo caso è solo CL e poniamo uguale a 0:
\[ \frac{d \tau}{dC_L} = \frac{EA}{8L} \frac{\pi x}{2L} \Bigg|_0 \rightarrow CL = - \frac{2L_0}{\pi^3} \frac{\rho L^2}{EA} \]
La funzione approssimata diventa allora:
\[ \hat{N} = EA \tilde{u}''(x) + N = 0 \quad x = 0 \,\, \Rightarrow \,\, \pi \]
\[ PE \left( \frac{\pi x}{2L} \right) \sin \left( \frac{\pi x}{2L} \right) = \]
forza normale corrispondente (approssimata) è:
\[ \hat{N} = EA \tilde{u}''(x) + \frac{\pi L}{ZL} \cos \left( \frac{\pi x}{2L} \right) = \]
\[ \hat{\tilde{U}}''(x) + \frac{PL}{EA} \cos \left( \frac{\pi x}{2L} \right) \tag{3} \]
Facciamo ora grafico dello spostamento a dello sforzo normale:
- \[ x^2 L \]
- \[ - \frac{2L}{ZL} \cos \left( \frac{\pi x}{2L} \right) \]
- \[ \cos \left( \frac{\pi x}{2L} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0 \]
Metodo degli elementi finiti (MEF)
Il metodo è fondato del metodo di RiTe. Si suddivide il
dominio in un numero finito di elementi (EF) all’interno del
quale è campo spostamento viene approssimato
con polinomi funzione assegnati (polinomi di ordine anche
elevato) che rincambare con gel. Grado
n di rigida ellisse rigida: campo dell’affinatura di parer
espressione di livelli accoppiamenti delle formulare una per ogni
interna completa. Importante in dei della lettere.
Se sono presenti forze applicate ori nodi raccolti nel vettore R,
il loro contributo va sommato ad E (nel nostro caso, si ha
( ( ().
Stato. d.g.l. globali raccolti in U.
∂
∂i = 0 ∀ i = 1, 2, ...
dove
= 1 2 ∑ 1,i,k = 2 − ∑nj = 2
Poichè
∂ = { 0 se i ≠ j (delta di Kronecker)
1 se i = j
si ha
∂
∂ = 12 ∑j = k1 (δ ) −
∑ = 2
= 12 (∑n = j2 − ∑jF = 2 − F)
− F) =
∑ = ,ik = F ( , = i)
In forma matriciale si ha
∂
∂ − + = 0
→ F ←
In precedenza abbiamo visto che se l'energia di deformazione
elastica è quadratica → la derivata lineare nelle componenti
→ si ottiene un sistema di equazioni tensori nelle incognite
di spostamento che possa soluzione invertendo la matrice
e moltiplicando per il vettore F. Quando abbiamo assemblato
la struttura con un primo formato e ajuste'
l'equazione degli spostamenti vuole F termina.
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