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Analisi Complementi
- Equazioni Differenziali
Un'equazione differenziale è una relazione tra una funzione y(x), che è l'incognita, ed alcune sue derivate.
Nel caso in cui y sia una funzione:
I → R
definita in un intervallo I di R, si parla di equazione differenziale ordinaria.
(Funzioni di una sola variabile e derivate rispetto a quella variabile)
Si chiama ordine o grado dell'equazione il grado della più alta derivata presente.
Si chiama soluzione dell'equazione differenziale una funzione "u" derivabile per un certo numero di volte, che soddisfi la relazione definita dall'equazione.
Casi Analizzati:
- Equazioni lineari del primo ordine
- Equazioni a variabili separabili
- Equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti
Teorema di Cauchy - Definizione
La funzione y = φ(t) di classe C1(I) (continua e derivabile nell'intervallo aperto I) è soluzione di:
φ' = f(t, y)
{
y(to) = yo
se φ(t) = (t, φ) ∀ t ∈ I
Inoltre se to ∈ I e y(to) - yo si dice che y = φ(t) è soluzione del problema di Cauchy.
Teorema di esistenza ed unicità
Sia y' in
Problema di Cauchy
è derivabile rispetto a t con continuità e se f è continua nelle
sue variabili t e y per t in I e y in R, allora se t0 è I il
Problema di Cauchy ha un'unica soluzione locale.
Coe ∃ I(t0) e una y : I(t0) → R tale che y è soluzione
del Problema di Cauchy su I(t0)
Teorema
Nel caso di equazioni lineari del primo ordine la soluzione
locale è sempre globale
y' = f(x) con y = ∫f(x) dx + C
y(x0) = y0
Nella forma:
y' + p(x) y = c(x) . moltiplico tutto per h(x)
∫p(x) y + p(x) y, h(x) C(x)
. sve. dinamico h'(x) = h(x)⋅p(x) e quindi h
∂h(x) = h(x) b(x) ⇒ dh(x) = h(x) b(x) dx →
∫dh(x)/h(x)
∫dx h(x)y dx
quindi:
y' = -a(x)y + e-A(x)b(x)
y' + a(x)y = e-A(x)b(x)
t(x) = b(x)eA(x)z'(x)
dz(x)/dx = b(x)eA(x)
d(z(x)) = b(x)eA(x)dx
∫d(z(x)) = ∫b(x)eA(x)dx ⟹ z(x) = ∫b(x)eA(x)dx + C
supponiamo che y = e-A(x)z(x)
Posso ora dimostrare la formula di soluzione:
y(x) = e-A(x)[∫b(x)eA(x)dx + C] e-A(x)
Derivate
Sia Ω una regione di R2. Sia P0 ∈ Ω e sia f : Ω - {P0} → R.
Allora,
B'ε(P0) = Bε(P0) - {P0}
Se limP → P0 f(P) = l ∈ R (con P, P0 ∈ R2) se
∀ ε > 0 ∃ Δ > 0 : f(B'δ P0) ⊆ (l - ε, l + ε)
Definizione
f : Ω ⊆ R2 → R
f si dice continua in P0 se limP→P0 f(P) s. P0.
Se f e g continue in P0 allora anche f + g sono continue in P0
Inoltre se g(P0) ≠ 0 ⇒ f(P)g(P) è continua in P0
f si dice continua in Ω se è continua in ogni punto di Ω
Se f : Ω → R e g : R → R con f e g continue allora
gₒf : Ω → R è anch’essa continua
Se f è differenziabile in (x0, y0) allora f è ivi derivabile.
Dv indica la derivata direzionale rispetto a v
Dv f(x, y) = ∇f(x, y)•v
prodotto per scalare
Chiamiamo ∇f(x, y) vettore gradient e lo definiamo così
∇f(x, y) = (∂f/∂x(x0, y0), ∂f/∂y(x0, y0))
DEFINIZIONE:
f si dice derivabile in (x0, y0) se esistono finite tutte le derivate direzionali Dv f(x, y) ∀ versore v
Teorema
Se f è differenziabile in (x0, y0) allora f è continua in (x0, y0).
Dim:
f(x, y) = f(x0, y0) + α (x - x0) + β (y - y0) + σ ((x - x0)2 + (y - y0)2)
lim(x, y)→(x0, y0) g(x, y) = g(x0, y0) ⇒ f è continua in (x0, y0)
(il piano tangente si annulla tutto.)
- Condizioni necessarie ma non sufficienti per la differenziabilità in (x0, y0).
- f continua in (x0, y0).
- ∃ finite tutte le derivate direzionali Dv f(x0, y0).
- Dv f(x0, y0) = ∇f(x0, y0) ⋅
Teorema
Condizione sufficiente ma non necessaria per la differenziabilità di f è che se ∃ ∂f/∂x, ∂f/∂y in un intorno di (x0, y0) e sono continue in (x0, y0) allora f è differenziabile in (x0, y0).
Dimostrazione
Nota:
∀ x y ⋅ x y
[^ x0 y0 → xi yi → 0]
La dimostrazione consiste nel far vedere che f(x, y) - f(x0, y0) + ∂f/∂x (x0, y0) ⋅ (x - x0) + ∂f/∂y (x0, y0) ⋅ (y - y0)
√((x - x0)2 + (y - y0)2)
sia regolare a zero.
Formula di Taylor al secondo ordine con resto di Peano
Sia f di classe C2(Ω) e sia p0 ∈ Ω (p0 = (x0, y0))
allora:
f(x, y) = f(x0, y0) + ∂f/∂x (x0, y0)(x - x0) + ∂f/∂y (x0, y0)(y - y0) +
- 1/2 [∂2f/∂x2 (x0, y0)(x - x0)2 + 2 ∂2f/∂x∂y (x0, y0)(x - x0)(y - y0) + ∂2f/∂y2 (x0, y0)(y - y0)2]
+ o((x - x0)2+(y - y0)2)
Sia f di classe Cm[Ω]
P ∈ f(P, P0) = Σ k=0m 1/k! dkf (P, P0)
dove dkf (P, P0) = ((x - x0) ∂/∂x |P=P0 + (y - y0) ∂/∂y |P=P0)k f
Teorema
Sia f di classe Cm[Ω] allora (con P=(x, y) e P0=(x0, y0))
f(P) = Σ k=0m 1/k! [(x-x0) ∂/∂x |P=P0 + (y-y0) ∂/∂y |P=P0]k f + o((x-x0)2+(y-y0)2)m
Se f è di classe Cm+1(Ω), ∃ P ∈ f tale che
- nella formula sopra [ o((x - x0)2 + (y - y0)2)m] può essere sostituito con:
+(1/(m+1)!) ((x - x0) ∂/∂x |P=P0 + (y - y0) ∂/∂y |P=P0)m+1 f
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