Complementi ai limiti di successioni

COMPLEMENTI AI LIMITI DI SUCCESSIONI

Se una successione a è crescente: se è limitata, tende all’estremo superiore,

n

se è illimitata superiormente, tende a + , altrimenti (se è decrescente), al

∞

contrario.

Qualunque successione monotona ha SEMPRE limite (reale o infinito).

Prendiamo la funzione seno di n per fare un esempio di come non converga, si

prendano la successione principale e delle sottosuccessioni:

( )

n∗π

( )=a =b

sin n , sin

n n

3 1 1

> <

n , m

Traendo n tale che: , più una successione l in modo che

k k

k k

2 2

∪ ∪l =N

n m , per ottenere tali risultati, si potrebbe avere m =3k in modo che

k

k k k ( )

k∗π ( )

( ) ∈

=sin =sin =sin =0

b m 3 kπ con k N , mentre i risultati di n ed l saranno

k k

n k 3

k

rispettivamente rad3/2 e -rad3/2. Si noti come le tre sottosuccessioni hanno

limiti diversi, e quindi per il teorema dell’unicità del limite la funzione seno non

converge. Stesso discorso per (-1) *2 , che non converge e non diverge.

n n

Teorema, se a diverge a + , tale che la successione sia maggiore di un

∞

n

valore M’, e b converge ad un valore finito l, tale che essa sia limitata fra -L ed

n

L, con L valore positivo, allora la somma dei limiti è uguale a + .

∞

Dimostrazione: sul quaderno.

La successione somma può essere un limite l, può divergere ad un valore

infinito positivo o negativo o può non esistere se risulta una forma

indeterminata. CALCOLO DEI LIMITI

Si tratta di una sostituzione alla fine.

+b =lim +lim

lim a a b

n n n n

n→k n→k n→k

(a )=F (lim )

lim F a

n n

n→k n→ k

ATTENZIONE: l’ultima formula vale per le funzioni potenza, radice,

esponenziale, logaritmo, seno, coseno, tangente e inverse, purchè siano

stabilite le condizioni di esistenza (ad esempio se applicate al logaritmo, il

limite della successione deve essere maggiore di 0, per la tangente deve

verificarsi la condizione di esistenza diversa da pigreco mezzi).

1

= =0 =∞

a → lim a → lim b

n n n

b n →0 n →0

n