Complementi ai limiti di successioni

Complementi ai limiti di successioni

Se una successione a è crescente: se è limitata, tende all’estremo superiore, se è illimitata superiormente, tende a +∞, altrimenti (se è decrescente), al contrario.

Qualunque successione monotona ha sempre limite (reale o infinito).

Esempio di successione

Prendiamo la funzione seno di n per fare un esempio di come non converga. Si prendano la successione principale e delle sottosuccessioni:

\(a_n = \sin(n \cdot \pi)\) e \(b_n = \sin(n) \cdot \sin(n^3)\)

Traendo n tale che: più una successione l in modo che

• \(k \in \mathbb{N}\), \(m = 3k\)

In modo che \((k \cdot \pi) \in \sin(m \cdot \pi) = \sin(3k \cdot \pi) = 0\) con \(k \in \mathbb{N}\), mentre i risultati di n ed l saranno rispettivamente rad\(3/2\) e -rad\(3/2\). Si noti come le tre sottosuccessioni hanno limiti diversi, e quindi per il teorema dell’unicità del limite la funzione seno non converge. Stesso discorso per \((-1)^n\), che non converge e non diverge.

Teorema sul limite delle somme

Se a diverge a +∞, tale che la successione sia maggiore di un valore M’, e b converge ad un valore finito l, tale che essa sia limitata fra -L ed L, con L valore positivo, allora la somma dei limiti è uguale a +∞.

Dimostrazione: sul quaderno.

La successione somma può essere un limite l, può divergere ad un valore infinito positivo o negativo o può non esistere se risulta una forma indeterminata.

Calcolo dei limiti

Si tratta di una sostituzione alla fine.

• \(\lim_{n \to k} (a_n + b_n) = \lim_{n \to k} a_n + \lim_{n \to k} b_n\)

ATTENZIONE: l’ultima formula vale per le funzioni potenza, radice, esponenziale, logaritmo, seno, coseno, tangente e inverse, purché siano stabilite le condizioni di esistenza (ad esempio se applicate al logaritmo, il limite della successione deve essere maggiore di 0, per la tangente deve verificarsi la condizione di esistenza diversa da π mezzi).

• \(a_n \to 0\), \(b_n \to 0\), \(a_n \to \infty\)