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{V,V,V}. {N,B,B}; {N,N,B}; {V,V,B}; {N,B,V};• • • •{B,B,V}; {N,N,V}; {V,V,N}; {N,V,B}• • • •{B,V,B}; {N,V,N}; {V,N,V}; {V,B,N};• • • •{B,B,V}; {N,N,V} {V,V,N}; {V,N,B}

20Punto BCalcolare P (E , ∩ E ∩ E ) considerando che gli eventi NON sono indipendenti.

1 2 3P (E , ∩ E ∩ E ) = P(E | E , ∩ E ) * P (E , ∩ E ) =1 2 3 3 1 2 1 2P(E | E , ∩ E ) * P(E | E ) * P(E )3 1 2 2 1 1

Considero il caso di estrarre 3 palline bianche:

5P(E1) = 17 4P(E | E ) =2 1 16 3P(E | E , ∩ E ) =3 1 2 15 3 4 5 5P(E | E , ∩ E ) * P(E | E ) * P(E ) = * * = = 0,015%3 1 2 2 1 1 15 16 17 340

Nel caso di {B,N,V}; 8 4 5 40P (B , ∩ N ∩ V ) P(V | B , ∩ N ) * P(N | B ) * P(B ) = * * = = 0,039%1 2 3 3 1 2 2 1 1 15 16 17 1020 21

Esercizio 3 – Pascal e il Cavaliere De Mère”▪ →Esperimento 1: Lancio un dado 4 volte indipendente→Evento: Esce almeno un 6 A▪ Esperimento2: Lancio una coppia di dadi

24 volteEvento: Escono almeno due 6! Pensare all'evento complementare.

Esperimento 1

• Numero di lanci: 4
• Probabilità che NON esca il 6: 6
• Probabilità Ω: 1

Eventi favorevoli: c'è fino a 4 seia.

1. Un 61. {6, 1,1, 1}
2. {6,1 1,2 }
3. ...
4. K={6,1,2,3}
5. K= {6,2,1,3} Permuto gli ultimi 3 elementi
6. K={6,2,3,1}
7. K={6, 3 ,1, 2}
8. K={6,3,2,1}

Tuttavia, elencare tutti gli eventi favorevoli è un problema

Soluzione più semplice e immediata: →L'evento complementare di A è "mai un sei" {E1, E2, E3, E4} ≠ 6-P(A )= P {E1} P{E2} P {E3} P{E4}→ lanci indipendenti4= 5/6*5/6*5/6*5/6= (5/6) 4 485- 1 – ( )

Probabilità che esca almeno un 6→ P(A)=1-P(A ) = = 1- = 0,526 100

Esperimento 2

• →Numero di lanci: 24; indipendenti
• 35
• Probabilità che NON escano due 6: 36
• Probabilità Ω: 1 2435 5081 – ( )

Probabilità che escano almeno due 6 = = 1- = 0,4936 1000

22VARIABILI CASUALI

Variabile casuale

L'espressione variabile casuale indica una quantità il cui valore dipende dall'esito (evento elementare) di un esperimento casuale.

Una variabile casuale è una funzione che dipende dal risultato di un esperimento casuale.

Definizioni equivalenti a variabile casuale sono variabile aleatoria e variabile stocastica.

- Aleatoria deriva da Alea (gioco di dadi)

- Stocastica è meno diffusa

All'interno c'è dell'incertezza dovuta al fatto che la variabile dipende dal risultato dell'esperimento casuale.

L'esperimento casuale è caratterizzato da:

- Non si sa l'esito ma si può verificarsi un certo numero di esiti

- Prima di condurlo, non si sa l'esito→

- Tutti i possibili esiti eventi elementari

- L'insieme eventi elementari formula lo spazio campionario

La variabile casuale è legata allo spazio campionario che è legato

All'esperimento

Esempio 1: variabili casuali discrete

Esempi 1. A - 1.B: variabili casuali discrete

Esempio 1A): Fa riferimento all'esperimento di un triplo lancio di una moneta

Nella prima colonna è riportato lo spazio campionario. Poi c'è la colonna R (risultato) e ci sono vari numeri: 3,2,1,0. Questi risultati fanno riferimento al numero di teste che si sono verifiche in un determinato esito dell'esperimento.

La variabile che è stata definita la possiamo dire che conta il numero di Testa che si sono ottenuti in 3 lanci della moneta. La variabile casuale è una funzione che va dallo spazio campionario e poi da un certo valore. La variabile casuale si basa sullo spazio campionario.

La variabile casuale X→ "numero teste" e gli esiti possibili sono 4 (numero finito)

Possiamo definire un'altra variabile casuale:

In questo caso la variabile è definita coma il numero di volte che testa si

ripeteconsecutivamente.Quindi a uno stesso esperimento possono essere associate variabili casuali differenti 23X=numero di testeOgni freccia che prende un elemento dello spazio campionario e che mappa questoelemento dello spazio campionario in numero reale (spesso numeri interi), possiamoscrivere sopra la prima freccia che qui è stato applicato la variabile casuale all’elementow e il risultato è 3 e così via.

1Esempio 1b Nel riquadro di destra abbiamo un altro esperimento che consiste nel lancio didue dadi. Gli elementi dello spazio campionario sono stati raggruppati secondociò che è di interesse per la variabile casuale che è stata poi definita. C’è unopattern di quello che succede nello spazio campionario e quello che accade in R.La variabile casuale è la somma del punteggio ottenuto dal lancio dei due dadi.Al primo evento che appartiene allo spazio è associato il numero 2 e così via.Nell’ultima

casuale sul punto generico, ossia ci restituisce un valore che è un numero reale. 24

Nella definizione si vede che variabile casuale è X e il numero reale che la variabile casuale associa ad ogni elemento dello spazio campionario è x (valore che ci restituisce la variabile casuale una volta che l'esperimento casuale è stato svolto e si conosce l'esito non c'è più nulla di casuale)! Attenzione: x → esito (no casualità) X → variabile casuale

POSSO INDICARE LA VARIABILE CASUALE CON QUALSIASI LETTERA PURCHE' MAIUSCOLA

Variabili casuali discrete

➢ ESITI: Una variabile casuale X si dice discreta se può assumere un numero finito o un'infinità numerabile di valori.

➢ Lo schema con cui si associano ai valori di X i rispettivi livelli di probabilità va sotto il nome di distribuzione di probabilità:

La variabile casuale mappa gli elementi dello spazio campionario che ci dà

degli esiti. L'altra cosa che si può fare è quella di associare un livello di probabilità a ognuno di questi esiti. Quando si calcolano le probabilità associate a ogni esito si definisce la distribuzione di probabilità, ossia una tabella in cui a ogni valore che può assumere la variabile casuale associamo un certo livello di probabilità. A ogni valore p è la probabilità che X assumi la probabilità di x1. E così via:

p1 → P(X=x1)

p2 = P(X=x2)

Esempio 1a

Esp: triple lancio di moneta

X= "numero di teste"

Ho raggruppato gli elementi dello spazio campionario in base agli esiti. Dalla variabile casuale possiamo derivare la distribuzione di probabilità e per fare questo bisogna calcolare la probabilità associata ai singoli eventi elementari.

Primo caso: P (X=3) = P (T ∩ T ∩ T) = 1/8

P (X=2) = P [((T ∩ T ∩ C) U (T ∩ C ∩ T) U (C ∩ T ∩ T)] = 3/8

P (X=1) = 3/8

P(X=1) =

1. 1/8 →Qui abbiamo considerato la regola: casi favorevoli / casi totali VALIDA SOLO QUANDO TUTTI GLI EVENTI HANNO LASTESSA PROBABILITA'QUI ABBIAMO LA STESSA PROBABILITA'P (X=3) = P (T ∩ T ∩ T) = P(T) P(T) P(T) = (1/2) ^3 = 1/8 25P (T ∩ T ∩ C) = P(T) P(T) P(C) = (1/2) ^3 = 1/8Ogni evento ha probabilità di 1/8
2. P (X=2) = P [( ( T ∩ T ∩ C) U ( T ∩ C ∩ T) U ( C ∩ T ∩ T)] =Facciamo la somma perché eventi a coppie incompatibili= P ( T ∩ T ∩ C) + P( T ∩ C ∩ T) + P ( C ∩ T ∩ T)= 1/ 8 + 1/8 + 1/8 = 3/8Risalta che avere 3T è pari alla probabilità di avere 0 Teste. La probabilità di avere 2 Teste è la stessa di 1TLa nostra variabile casuale può assumere solo 4valori.
3. →diagramma a barreRivisitazione esempio 1. A eventi non equiprobabili→Esperimento: estrarre lancio moneta P(T)= ¼ P( C) = ¾Variabile casuale X = "numero testa"3P(X=3) = P ( T

∩ T ∩ T ) = (1/4)3P (X=0) P ( C ∩ C ∩ C ) = (3/4)P (X=2) = P [( ( T ∩ T ∩ C) U ( T ∩ C ∩ T) U ( C ∩ T ∩ T)]= (1/16) * ( 3/4 ) + (1/16) * ( 3/4 )+ (1/16) * ( 3/4 ) 26= 3* 1/16 * ¾P (X=1) 3*3/4 * 1/4

Funzione di probabilità

➖ È la regola che associa ai valori di X i livelli di probabilità, definita come f(x)= P(X=x)

Quello che era chiamato p1, adesso viene definito come funzione di probabilità e viene indicata come f(x).

Questa dipende dal valore della variabile x in cui vogliamo conoscere la probabilità. Quindi dipende dallo specifico valore di cui vogliamo calcolare la probabilità che X assuma quello specifico valore di x.

Tale funzione gode delle seguenti ovvie proprietà:

⟃ →▪ f(x) 0, per ogni x

La funzione NON è mai negativa e questo deve valore per ogni x ossia ci si riferisce a tutti i possibili esiti che possono essere contemplati dalla variabile casuale. Tutte queste

probabilità devono essere maggiori a zero.▪ → →f(x) = 1. se sommiamo le probabilità dei possibili esiti si ottiene 1.xSi devono considerare tutti i possibili esiti, allora dobbiamo avere che queste probabilità sono >= 0

Esempio 2: variabile casuale discreta

Una lotteria prevede che il giocatore estragga una pallina da un’urna contenente 10 palline numerate da 1 a 10. Ainumeri sono associate le somme sottoindicate:

• Esperimento: “estrarre pallina dall’urna”
• All’esperimento è associato lo spazio campio