Esercizi Complementi di Idraulica

PROFILI DI CORRENTE

E' dato un canale cilindrico a sezione trapezia con le seguenti caratteristiche: base altezza

= . ·

totale inclinazione delle sponde (sull'orizzontale) lunghezza

= . ; = °, = ;

pendenza longitudinale natura delle pareti tale da potere adottare un coefficiente di

= . ; /

scabrezza per la formula di Gauckler-Strickler .

⁄

=

1. Si disegnino le scale di deflusso in condizione di moto uniforme e di stato critico.

2. Si calcolino i tiranti di moto uniforme e di stato critico con cui defluisce la portata ⁄

=

3. Si calcolino i tiranti di moto uniforme e di stato critico con cui defluisce la portata ⁄

=

4. Si valuti la portata che defluisce in condizione di moto uniforme con un franco di .

5. Si tracci il diagramma dell'energia totale specifica in funzione del tirante per una portata pari a

⁄

=

Si tracci il diagramma della spinta totale.

6.

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Per definire la scala di deflusso in condizioni di moto uniforme si utilizza la formula di Gauckler-Strickler

(ℎ)

= ∙ (ℎ) ∙ ∙ (ℎ)

σ(h) rappresenta l’area della sezione trapezia della corrente che defluisce nel canale

[ + (ℎ)] ∙ ℎ

(ℎ) = 2

In cui il termine L(h) rappresenta la larghezza del pelo libero ed esprimibile come:

ℎ

(ℎ) = + 2 ∙ tan

è il raggio idraulico:

(ℎ) (ℎ)

(ℎ) = (ℎ)

è il perimetro bagnato:

(ℎ) ℎ

(ℎ) = + 2 ∙ sin

Imponendo la condizione di stato critico è possibile definire la relativa scala di deflusso:

(ℎ) ∙ (ℎ) = 1

∙ (ℎ) 6

Scale di Deflusso in Stato Critico e Moto Uniforme (tab. 2.1)

1,50

1,40

1,30

1,20

1,10

1,00

0,90

[m] 0,80

h 0,70

0,60

0,50

0,40

0,30

0,20

0,10

0,00 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00

Q [m^3/s]

Moto Uniforme Stato Critico

Si ricavano il tirante di stato uniforme e stato critico corrispondente alle portate di e

⁄

= 3

e la portata che defluisce in condizione di moto uniforme con un franco di ossia con

⁄

= 20 25

un tirante pari a ℎ = 1.25. SCALA di Def. M. Uniforme

SCALA di Def. S. CRITICO

hc L(hc) σ(hc) Q hu L(hu) σ(hu) χ(hu) R(hu) Q

[m] [m] [m^2] [m^3/s] [m] [m] [m^2] [m] [m] [m^3/s]

0,479 3,9 1,5 3,00 0,490 3,9 1,6 4,2 0,4 3,00

1,422 6,6 6,4 20,00 1,369 6,4 6,1 7,3 0,8 20,00

1,250 6,1 5,4 22,29 1,250 6,1 5,4 6,9 0,8 16,76

Si procede con il calcolo dell’energia specifica totale con una portata costante riportando il

⁄

= 20

diagramma (ℎ):

(ℎ) = ℎ + 2 ∙ ∙ (ℎ)

7

Energia Specifica Totale (tab. 2.2)

1,20

1,10

1,00

0,90

0,80

[m] 0,70

h 0,60

0,50

0,40

0,30

0,20

0,10

0,00 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

H [m]

Energia Specifica Totale

Si procede con il calcolo della spinta totale: ∙ (ℎ)

(ℎ) = (ℎ) ∙ (ℎ) +

In cui ξ(h) rappresenta l’affondamento del baricentro della sezione, V(h) è la velocità media di portata

ricavata dal rapporto fra portata e sezione e definito come il secondo coefficiente di ragguaglio che

,

porta in conto la distribuzione delle velocità ina una sezione, è posto pari a 1.

Diagramma della Spinta (tab. 2.3)

7

6

5

4

[m]

h 3

2

1

0 0 50 100 150 200 250 300

Spinta M [m^3]

8

ESERCIZIO N.3

PROFILI DI CORRENTE

Un canale di sezione trapezia di base B di e sponde inclinate sull'orizzontale di un angolo α di

2.5 40°,

è lungo ed ha una pendenza costante i=0,002; la natura delle pareti consente di adottare un

5000 ⁄

coefficiente di scabrezza della formula di Gauckler-Strickler-Manning .

⁄

= 50

Il canale sbocca in un bacino il cui livello idrico coincide col fondo del canale nell'ultima sezione. Si

determini il profilo di corrente lungo il canale in corrispondenza del deflusso di una portata di ⁄

10

immessa nella sezione iniziale. Si disegni il profilo di corrente e la linea dell'energia totale lungo il

canale.

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Il profilo di corrente della corrente che defluisce nel canale è definibile attraverso l’equazione

differenziale dei profili di corrente: = ( − )

Che si risolve con il metodo delle differenze finite, non le opportune condizioni al contorno, da ricercare

in base alla tipologia di corrente (lenta o veloce). Si definisce la corrente che defluisce nel canale

definendo le scale di deflusso in condizioni di moto uniforme e di stato critico. Per definire la scala di

deflusso in condizioni di moto uniforme si utilizza la formula di Gauckler-Strickler:

(ℎ)

= ∙ (ℎ) ∙ ∙ (ℎ)

Con: [ + (ℎ)] ∙ ℎ ℎ ℎ (ℎ)

(ℎ) = (ℎ) = + 2 ∙ (ℎ) = + 2 ∙ (ℎ) =

2 sin tan (ℎ)

Imponendo la condizione di stato critico è possibile definire la relativa scala di deflusso:

(ℎ) ∙ (ℎ) = 1

∙ (ℎ) 9

Scale di Deflusso in Stato Critico e Moto Uniforme (tab. 3.1)

2,0

1,8

1,6

1,4

1,2

[m] 1,0

h 0,8

0,6

0,4

0,2

0,0 0 5 10 15 20 25 30 35 40

Q [m /s]

3

Moto Uniforme Stato critico

Dalla scala di deflusso si evince che per l’assegnata portata, il canale si comporta come alveo a debole

pendenza, per tale ragione, i possibili profili di corrente sono i seguenti:

A valle della corrente vi è uno sbocco in un bacino il cui livello idrico coincide col fondo del canale.

Nell'ultima sezione, quindi, la corrente arriverà per sua natura, con il minimo contenuto di energia,

presentando un tirante di stato critico. Partendo da tale condizione a contorno, caratterizzante l’ultima

sezione del canale, è possibile risolvere l’equazione differenziale per i profili di corrente, col metodo delle

differenze finite, ad esempio assegnando un ∆h e ricavando il relativo ∆S.

Il profilo di corrente risultante dovrà essere quello corrispondente alla zona II (corrente lenta accelerata)

dell’alveo a debole pendenza, poiché a valle la corrente dovrà arrivare con un tirante h e a monte dovrà

c

presentare un tirante pari a quello di moto uniforme in funzione del fatto che il canale è ivi

indefinitamente lungo verso monte. In compendio alle equazioni già elencate in precedenza, per tracciare

i profili di corrente si considerano anche, l’equazione dell’energia specifica totale e l’equazione del moto

uniforme di Gauckler-Strickler, in cui = :

(ℎ) = ℎ + =

2 ∙ ∙ (ℎ) ∙ (ℎ) ∙

10

Assegnando un (arbitrario ma non troppo alto) si ricavano i suddetti valori per ogni h

∆ℎ = 0.005 i

potendo così definire, cosa accade fra due valori di h consecutivi:

∆ = −

Come valore della pendenza della linea dell’energia (J) si sceglie di adottare, per una maggiore

accuratezza, un valore medio, poiché si sta adottando questa strategia risolutiva per differenze finite, e

cioè si sta passando da una condizione di tangenza a una differenza finita:

+

= 2

E ricavare quindi il ΔS: ∆

∆ = −

Si procede poi con la rappresentazione grafica del profilo di corrente per la quale è necessario ricavare s,

adottando come origine del sistema di riferimento l’ultima sezione di valle del canale:

= + ∆

z che rappresenta la quota fondo del canale:

f = ∙

Il termine rappresenta la quota del pelo libero nel canale, e rappresenta la linea

ℎ + +

dell’energia. Profili di Corrente e Linea dell'Energia (tab. 3.2) 3,00

2,50

2,00

E[m] 1,50

[m]

h 1,00

0,50

0,00

-600 -500 -400 -300 -200 -100 0

s [m]

h (s) Tirante di Stato Critico Tirante di Moto Uniforme Quota Fondo Energia

11

ESERCIZIO N.4

PROFILI DI CORRENTE

È dato un canale a sezione rettangolare, larghezza e pareti tali da poter assegnare al

= 3.0 /

coefficiente della formula per il moto uniforme di Gauckler-Strickler il valore . Il

⁄

= 55

canale ha una pendenza longitudinale è lungo e termina con un salto di fondo.

= 0.001, = 500

Nella sezione iniziale viene immessa una portata con un tirante di Determinare

⁄

= 0.70 0.025 .

le condizioni di deflusso del sistema.

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Il profilo