Cinematica vettoriale

Cinematica vettoriale - Vettori posizione, spostamento, velocità ed accelerazione

Lo spostamento del punto, durante un intervallo di tempo, è individuato dal vettore spostamento: Δr = r(t + Δt) - r(t)

Si definisce velocità vettoriale media tra gli istanti t e t-Δt il rapporto tra il vettore spostamento e l'intervallo di tempo e sarà: V = Δr/Δt

Il limite di tale rapporto per Δt che tende a zero è il vettore velocità istantanea: v(t) = lim(Δr/Δt) as Δt → 0

La velocità istantanea dà una misura della rapidità con cui varia il vettore posizione.

Si definisce accelerazione vettoriale il vettore: a = lim(Δv/Δt) as Δt → 0, dove Δv = v(t + Δt) - v(t)

dtt t0 0Se il moto del punto P descritta in un sistema di riferimento cartesianoG = + + ˆˆ ˆr (t ) x ( t )i y (t ) j z ( t ) kDove le coordinate del punto P sono espresse in forma cartesiana avemmo:GG dr dx (t ) dy (t ) dz (t )= = + + ˆˆ ˆv i j kdt dt dt dtdx t dy t dz t( ) ( ) ( )= = =v , v , vx y zdt dt dtG 2 2 2dv t( )dv t( ) dv t( ) d x t d y t d z t( ) ( ) ( )= + + = + +ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆyx za t i j k i j k( ) 2 2 2dt dt dt dt dt dtMa se la velocità è la derivata dello spazio vettoriale,e l’accelerazione è la derivata della velocità ed è la derivataseconda dello spazio vettoriale, avremo le funzioni inverse grazie all’integrazione:Gv tG G∫ ∫=dv a (t ) dtGv t0 0 tG G G∫= +v (t ) v a (t ) dt0 t 0Se il moto avviene con accelerazione costante timo moto uniformante accelerato avremo:G G G= + −v t v a t t( ) ( )0 0G G G G1− = − + − 2r (t ) r (0) v (0)(t

t ) a (t t )0 02

Se osserviamo la funzione GG dr (t )=v ( t ) dt

Possiamo semplicemente ottenere Gr tG G∫ ∫=dr v (t ) dtGr t0 0 tG G G∫= +r (t ) r v (t ) dt0 t 0

• Moto di un proiettile

Si vuole esaminare nel dettaglio un moto con accelerazione costante, cioè il moto di un proiettile.

Per descrivere il moto scegliamo un riferimento con origine in O, il piano x,y studiando separatamente il moto primari rispetto all’asse x e poi rispetto all’asse y