Cinematica vettoriale

Cinematica vettoriale

Vettori posizione, spostamento, velocità ed accelerazione

Lo spostamento del punto, durante un intervallo di tempo, è individuato dal vettore spostamento:

Δr = r(t + Δt) - r(t)

Si definisce velocità vettoriale media tra gli istanti t e t-Δt il rapporto tra il vettore spostamento e l’intervallo di tempo e sarà:

V_m = Δr/Δt = [r(t + Δt) - r(t)]/Δt

Il limite di tale rapporto per Δt → 0 è il vettore velocità istantanea:

v(t) = lim_{Δt → 0} [r(t + Δt) - r(t)]/Δt = dr(t)/dt

Che dà una misura della rapidità con cui varia il vettore posizione.

Si definisce accelerazione vettoriale il vettore:

a(t) = lim_{Δt → 0} [v(t + Δt) - v(t)]/Δt = dv(t)/dt = d²r(t)/dt²

Sistema di riferimento cartesiano

Se il moto del punto P è descritto in un sistema di riferimento cartesiano:

r(t) = x(t) î + y(t) ĵ + z(t) k̂

Dove le coordinate del punto P sono espresse in forma cartesiana, abbiamo:

v = dr/dt = dx(t)/dt î + dy(t)/dt ĵ + dz(t)/dt k̂

v_x = dx(t)/dt, v_y = dy(t)/dt, v_z = dz(t)/dt

a = dv/dt = d²x(t)/dt² î + d²y(t)/dt² ĵ + d²z(t)/dt² k̂

Funzioni inverse tramite integrazione

Ma se la velocità è la derivata dello spazio vettoriale, e l'accelerazione è la derivata della velocità ed è la derivata seconda dello spazio vettoriale, avremo le funzioni inverse grazie all'integrazione:

v = ∫ a(t) dt

v(t) = v₀ + ∫₀^t a(t) dt

Se il moto avviene con accelerazione costante (moto uniformemente accelerato) avremo:

v(t) = v₀ + a(t - t₀)

r(t) - r(0) = v(0)(t - t₀) + (1/2) a(t - t₀)²

Se osserviamo la funzione:

dr(t) = v(t) dt

Possiamo semplicemente ottenere che...