Cinematica

Lezione del 07/03/2022

Cinematica

Utilizzeremo un approccio molto intuitivo che ci permette di arrivare in maniera graduale al concetto di:

• velocità media
• velocità istantanea
• e come queste velocità si possano derivare, insieme allo spazio percorso per integrazioni successive delle celebrazioni

Il punto di partenza in tutto quello che faremo è considerare che abbiamo un corpo identificato come punto materiale e questa definizione ha un’importanza elevata poiché si definisce come punto materiale un corpo quando le sue dimensioni sono trascurabili rispetto al moto che sta percorrendo.

Supponiamo di avere un’auto, se questa si muove per decine di chilometri, lo spazio percorso è molto più grande della dimensione tipica dell’auto.

Supponiamo di essere dall’alto e di vedere questa macchina, in buona approssimazione potremmo vedere come un punto che esercita strada. La forma della strada ci consente di osservare precisamente il movimento dell’auto.

In buona approssimazione la traiettoria dell’auto coinciderà con la strada.

Avremo un auto che può essere vista come un punto materiale che ha una sua massa che ci permette di identificare l’auto come un punto materiale.

Quando partire e strada a seconda di com’è fatta la strada, abbiamo bisogno di definire la velocità.

In realtà possiamo parlare dello spazio che l’auto percorre, il dato sua velocità, il dato sua accelerazione e tutto dipende dal tempo.

È molto importante definire le cose in base al tempo trascorso.

Se parliamo di spazio percorso, se l’auto si muovesse lungo una traiettoria rettilinea, sarebbe molto semplice misurare lo spazio perché potremmo prendere uno strumento di misura qualsiasi e andare a misurare questo spazio percorso.

Se la traiettoria fosse curvilinea influirebbe anche sul moto dell’auto.

In una traiettoria rettilinea, l’auto con il minimo sforzo potrebbe muoversi di velocità costante, quindi percorrere in un dato istante di tempo una certa quantità di spazio.

Nel caso di una traiettoria curvilinea si può comunque definire la velocità media dell’auto partendo dal punto iniziale A e punto finale B. A e B sono i due punti estremi della traiettoria che stiamo considerando.

Quando la traiettoria è rettilinea, i punti sarebbero comunque A e B. Si va a misurare lo spazio percorso e diremmo che sarà lo spazio percorso che sarà diverso nei due casi, proprio quello spazio sarà percorso in un certo tempo t_AB.

Velocità Media

V_rm = S_AB / t_AB = rapporto tra lo spazio e il tempo.

Quanto spazio abbiamo percorso in un determinato tempo.

V_rm = S_AB / t_AB

Le due situazioni (traiettorie) che abbiamo considerato sono diverse perché è facilmente intuibile che pure in pianura e teniamo il piede sull’acceleratore, possiamo percorrere questa traiettoria con velocità costante.

Nel caso della traiettoria curvilinea è più difficile che uno riesca a mantenere una velocità costante per tutta la traiettoria.

Nel caso rettilineo, la velocità media coincide con la velocità attuale in ogni punto del percorso.

Se andiamo a considerare diversi punti, se la velocità è sempre la stessa perché la traiettoria è rettilinea, potremmo dire che la velocità in quei punti è tutto di V_rm = S_AB / t_AB.

Facendo così, andremmo a definire un'altra grandezza molto importante: velocità istantanea.

definizione

v = Δs/Δt = v_ist. ≡ lim_Δt→0 Δs/Δt

Molto spesso in fisica si definiscono delle grandezze quando queste derivano da considerazioni di tipo fisico.Abbiamo detto che possiamo definire degli intervalli di tempo e vedere quali sono i corrispondenti intervalli di spazio e poi osservare a dividere questi intervalli: di spazio per il corrispondente intervallo di tempo e ottenere una velocità che potrebbe essere anche sempre una velocità media solo per un intervallo più piccolo.Quando ci veniamo a diminuire l'intervallo di tempo facendolo tendere a 0 è come se andassi a calcolare la velocità in un determinato istante di tempo.Se il nostro intervallo di tempo era 10 mi, 5 mi, 1 mi, 4 mi, 1 s tendendo sempre a valori più piccoli di questo intervallo di tempo, andiamo a considerare quello che succede in un determinato istante di tempo più essere benissimo (Es. frazione di secondo).

v_ist ≡ lim_Δt→0 Δs/Δt = ^ds/_dt

differenziare

g(x) → g'(x) ≡ ^dg(x)/_dx

dove g è una grandezza che cambia al variare di x

Il significato geometrico della derivata è il coefficiente angolare della retta tangente di una determinata curva in un punto.

Andiamo a considerare un punto sulla nostra curva e disegniamo la retta tangente a questo punto.Il coefficiente angolare nell'ottetto nostra retta è la velocità istantanea. Possiamo rappresentare la velocità in un punto momentaneo in un certo istante di tempo come un vettore v_ist.Diremo che la velocità istantanea di un corpo/punto momentaneo che percorre una certa traiettoria in un diagramma spazio-tempo si può rappresentare con il vettore tangente al determinato istante.Se andassi a prendere un altro punto, sembrerebbe che abbiamo una tangente quasi ogni punto, anche in questo punto la potremmo indicare in questo modo (→)In ogni punto della nostra traiettoria abbiamo un vettore velocità istantanea che è

Siamo partiti dal discorso di definire lo spazio come una grandezza in funzione del tempo (s=s(t))

Poi dobbiamo definire una funzione V istantanea di t (V_ist(t) = ^ds(t)/_dt ⇒ derivata dello spazio rispetto al tempo)

Abbiamo introdotto un'altra grandezza che potrebbe essere dipendente dal tempo, cioè a_ist(t)= ^dV_ist(t)/_dt

(denota velocità istantanea funzione del tempo, rispetto al tempo stesso)

le grandezze S, V e a. sono in qualche modo legate tra di lor

Una volta che conosciamo lo spazio percorso rispetto al tempo, è possibile ottenere la velocità istantanea del corpo facendo una derivata, oppure l'accelerazione istantanea del corpo per derivata della velocità

in questo formalismo l'accelerazione è direttamente legata allo spazio percorso (dal un punto di vista matematico c'è un legame diretto)

La cinematica in se stessa è una descrizione dall'esterno di quello che sta succedendo. È lo studio dei movimenti dei corpi al variare del tempo. Quindi tramite la cinematica possiamo studiare la velocità o l'accelerazione a cui è soggetto il corpo e quindi lo spazio percorso

La dinamica descriverà il movimento dei corpi a causa di forze applicate ai corpi, si vedrà come l'applicare delle forze influenza il movimento di un corpo e si potrà fare lo studio in termini di spazio percorso, velocità e accelerazione.

Ritornando alla cinematica vediamo come si può descrivere il movimento di un corpo, utilizzando le 3 grandezze che abbiamo introdotto

Se in un problema dobbiamo calcolare una velocità media, dovremmo utilizzare Δs/Δt

Nella cinematica si passa dall'accelerazione allo spazio tramite la velocità o viceversa dallo spazio all'accelerazione con due operazioni diverse (integrale e derivata)

In un generico problema quello che succederà è che ci possono essere dei dati iniziali.

Se dal problema si evince che il corpo non è soggetto ad un'accelerazione, come ciò non è accelerato a₀=0 e questo ha un effetto sulle altre equazioni = moto rettilineo uniforme

• a(t)=0
• v(t)=v₀
• s(t)=s₀+v₀t

Ciò potrebbe essere un corpo che parte con una velocità iniziale nulla

• a(t)=a₀
• v(t)=v₀+a₀t
• s(t)=s₀+a₀t²

Lo stesso dicasi per s₀=0

• a(t)=a₀
• v(t)=v₀+a₀t
• s(t)=v₀t+¹/₂ a₀t

Se un corpo parte da fermo oppure parte con una velocità iniziale però ha pure un'accelerazione quanto tempo impiegherà per arrivare in una determinata posizione x?

ESERCIZIO 1.

Un corpo parte con un'accelerazione negativa a₀ = -2m/s² e con velocità iniziale v₀ = 10 mm/s. Calcolare t per cui S(t) = 15 mm.

a₀ = -2 m/s²; v₀ = 10 mm/s; t=?, per cui S(t) = 15 mm