Cinematica del punto

Cinematica

È lo studio del moto, ignorando le cause del moto.

1. Verso intrinseco ad una curva

Si consideri la curva regolare r nello spazio 3D; serve fissare su essa un sistema di ascisse curvilinee:

• Si dica O_r l’origine arbitrariamente fissata di r e P un punto generico di r della curva. Si imponga il verso positivo di percorrenza da O_r a P. Tale si dice il verso degli archi crescenti.
• Si imponga s=O_rP, ovvero s è la distanza di P da O_r. Chiaramente ∀P ∈ r: s=O_rP, ovvero esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti P di r e s. Quest’ultima si dice ascissa curvilinea di r, per le considerazioni appena fatte, la si considera P(s).
• Si considerino adesso le derivate prima e seconda di P:

poiché si conosce P in funzione di s

dP = \(\lim_{{h \to 0}}\frac{{P(s+h) - P(s)}}{h}\)

calcolo differenziale vettoriale

P(s+h) - P(s) è il vettore che congiunge i due punti separati da un arco lungo h.

→ si ha che

1. P(s+h)-P(s) tende, per h→0, alla direzione tangenziale a γ in P(s)
2. ^dP/_ds = lim_h→0 ^{|P(s+h)-P(s)|}/_|R|

• |P(s+h)-P(s)| → il modulo del vettore
• |R| è la lunghezza dell'arco

→ per h→0 si ha che:

|P(s+h)-P(s)|_h→0 ≈ 1 → NORMA del vettore tangente in P(s) &bar;t&bar;

[lim_x→0 (sinx/x)]

→ dP/ds = ξ

Consideriamo ora la derivata SECONDA:

d²P/ds² = dξ/ds = lim_h→0 (ξ(s+h) - ξ(s))/h

Definizione: si dice PIANO OSCULATORE a γ nel pto P il piano Π individuato dai vettori normale e tangente a γ nel pto P stesso.

In modo analogo alla velocità scalare, () istantaneo corrisponde al limite della velocità vettoriale media per ℓ →0 di (+Δ_ℓ), ()

Si consideri ora un punto P in movimento lungo una linea curva. Definito allora una serie di ascisse curvilinee si ha che:

()=śЄ

|()|=|śЄ|=|ś()||Є|=ś()

Consideriamo ora la curva in un sistema cartesiano, allora si ha che:

-O = (x, y, z)

• _x() = ẋ()
• _y() = ẏ()
• _z() = ż()

Per questo moto si ha che:

ṡ(t) = -Aωsin(ωt+γ)

s̈(t) = -Aω²sin(ωt+γ) = -ω²s(t)

s(t) = Acos(ωt+γ)

s̈(t) + ω²s(t)= 0

Tale si dice equazione differenziale (del 2^o ordine) associata al moto armonico.

A ciascuno dei seguenti tre moti è associabile un’equazione differenziale.

④ s(t) = Ae^-ptcos(ωt+γ) → moto armonico smorzato (sottosmorzato)

Diagramma orario = sinusoide smorzata

⑤ s(t) = C₁e^-β₁t + C₂e^-β₂t → moto armonico sovrasmorzato o aperiodico smorzato

(esponenziale inversa) B₁ ≠ B₂ > 0

⑥ s(t) = (C₁ + C₂)e^-βt → moto aperiodico criticamente smorzato

(esponenziale inversa)