Cinematica

CINEMATICA

10/3/2021

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SISTEMI DI RIFERIMENTO

• In cinematica si può descrivere il moto di un corpo lungo una retta, piano, spazio:
• quello che si fa è misurare la posizione del corpo al variare del tempo e fissare un opportuno SISTEMA DI RIFERIMENTO formato dai seguenti elementi:
• OSSERVATORE: misura la posizione del corpo
• CORPI FISSI: rispetto ai quali definire la posizione del corpo
• OROLOGIO: per misurare la st.
• u.d.m. della lunghezza per 5R (Regola)
• Voglio descrivere il moto di un corpo A puntiforme, o di estensione trascurabile detto PUNTO MATERIALE rispetto all'ambiente in cui si muove.
• Definisco O punto fisso detto ORIGINE; scelta la posizione di un altro corpo B che sarà fermo x misurare il moto di A.
• Sia P_A il punto dello spazio dove si trova il corpo A ad un certo istante t; definiamo VETTORE POSIZIONE del corpo A all'istante t il vettore con origine in O e che termina in P_A.

_A = OP_A

Il vettore posizione _A può essere identificato completamente da un insieme di numeri pari alle

dimensioni dell'ambiente in cui si trova (piano 2; spaz 3) dette coordinate.

• coordinate cartesiane
• coordinate polari

I sistemi piu usati nel piano sono:

• coordinate cartesiane
• coordinate polari

I sistemi piu usati nello spazio sono:

• coordinate cartesiane
• coordinate polari
• coordinate cilindriche

coordinate cartesiane nel piano

r_a = x_Ai + y_Aj

x_A = r_ai

y_A = r_aj

coordinate polari nel piano

la posizione del punto P_A è identificata da 2 parametri:

• modulo di r_A → |r_A|
• Ɵ compresa tra asse polare e direzione di r_A.

Definiamo ora due versori tra loro; versori polari

Moto nello spazio (vettore posizione e traiettoria)

Dato un corpo A, il vettore posizione _a ne definisce la posizione in un sistema di riferimento; esso ha origine nel sistema di riferimento O e estremo libero conduttile con la posizione del corpo.

La legge oraria vettoriale del moto _a(t) è la funzione vettoriale che definisce la posizione del corpo ad ogni istante t

_a = OP_{o a} = _a(t)

La traiettoria è la curva geometrica su cui avviene il moto del corpo. Si può scomporre _a nelle sue componenti

_a = x_a + y_a + z_a

e scomporre le leggi orarie in 3 funzioni scalari:

_a(t) = x_a(t) + y_a(t) + z_a(t)

Velocità media vettoriale

La velocità media vettoriale di un corpo tra due istanti t_o e t₁ è così definita

V_m (o,i) = _{(ti) -} (t_o) / t₁ - t_o = _/

Essa dipende solo da P_o e P_i agli istanti t_o e t₁ e non dalla traiettoria seguita da em

Velocità istantanea vettoriale

La velocità istantanea vettoriale all'istante t è così definita

_{(t) = lim / = / dt}

L'ascissa curvilinea S definisce in modo univoco.

Per definire S(t) monotona crescente, usiamo

S ascissa curvilinea per parametrizzare la curva

ottenendo la PARAMETRIZZAZIONE NORMALE

In ogni punto della curva possiamo definire il VERSO

AE TANGENTE in t con queste proprietà:

• la sua retta d'origine è la tangente alla curva nel punto P
• ha verso concorde con l'orientazione intrinseca della curva

Se usiamo parametrizzazione normale per la curva data

possiamo ottenere equa relazione con il in P

_u^t+1(P)=d_v/ds

NON è detto che la velocità abbai lo stesso verso di ^t_t, ma

garantisce che abbiamo la stessa direzione.

LEGGE DEL MOTO E TRAIETTORIA

Il moto di un punto materiale nello spazio può

essere descritto mediante una FUNZIONE VETTORIALE

che associa la sua posizione ad ogni istante di tempo

Essa è EQUAZIONE VETTORIALE DEL MOTO del corpo

_P(t)=_r(t)= ( x(t) ) ogni istante possiamo derivare,

( y(t) ) ma non vale il viceversa.

L'equazione vettoriale del moto fornisce:

• la TRAIETTORIA, forma della curva, indipendente
• dalla scansione temporale.

RAPPRESENTAZIONE INTRINSECA ACCELERAZIONE

L’accelerazione vettoriale è definita come:

se usiamo rappresentazione intrinseca della velocità ottengo che:

utilizzando formula di Frenet riesco meglio a esprimere:

Da possiamo dedurre che può essere scomposto in due componenti:

1. ACCELERAZIONE TANGENZIALE
2. ACCELERAZIONE NORMALE o CENTRIPETA

Se w ha verso:

• antiorario ↑ esce dal foglio ^◯
• orario ↓ entrante dal foglio ^✖ da cui: w^→ = wK
• - w > 0 antiorario ↑ aumenta
• - w < 0 orario ↓ diminuisce

Ricavo:

r²^→ = w^→ ∧ r ^→

= w . K^{^} ∧ R . u_r

= w . R . (K^{^} ∧ u_r) = w . R . u_θ

v^→ = w . R . u_θl

Ragioniamo anche per l'ACCELERAZIONE a^→ per def ho:

a^→ = d*^→ / dt = d/ dt (w^→∧r^→) = dn^→ / dt ∧r^→ + w^→ ∧dr^→ / dt

Ricordo che: dw^→/ dt = α e dr^→/ dt = v^→ e v^→ = w^→ ∧ r^→

Sostituendo:

1. a

^→ = (α^→ ∧r^→) + (w^→ ∧v^→) = (α^→ ∧r^→) + w^→ ∧(w^→ ∧r^→)

Ricordo che: a^→ = d/ dt (w∧K^{^}) = dw / dt . K^{^} con:

• direzione ⊥ al piano in cui è orientato il moto
• verso vedi sopra ^{◯ ✖}

^→ = (α^→ ∧r^→) + w^→ ∧ (w^→ ∧r^→)

d^→∧r^→ = α^{^} ∧ R.u_r - α. R (K^{^} ∧u_u) = α. R.u_θ