(1/6) Scienza delle Costruzioni: Cinematica e statica dei corpi rigidi

Scienza delle costruzioni

Cinematica e statica dei corpi rigidi

Cinematica dei corpi rigidi

Caratterizzazione cinematica dei vincoli

Vincolo: dispositivo atto a limitare le possibilità di movimento dei punti del corpo cui è applicato.

Vincolo olonomo: impone restrizioni sulla posizione e/o sul moto.

Vincolo bilaterale: impedisce il movimento in entrambe le direzioni su cui agisce, è indipendente dal tempo e privo di attrito (unidirezionale).

Molteplicità (m): numero di gradi di libertà soppressi al corpo cui il vincolo è connesso.

Vincolo esterno: vincolo che collega il corpo al sistema di riferimento assoluto (suolo).

Vincolo interno: vincolo che collega due o più corpi, limitandone il moto relativo.

m = nw · (ng - nc - 1)

Molteplicità

Molteplicità stesso vincolo esterno

Sedimenti vincolari: Nelle applicazioni strutturali possono verificarsi situazioni in cui uno o più vincoli siano spostati o ruotati. In tal caso il vincolo "reagisce" agli spostamenti assegnati e la mobilità del vincolo comporta un cambio di assetto del corpo.

Tipologie di vincoli

Carrello: KI = 1

• Impedisce gli spostamenti perpendicolari al piano di scorrimento.
• Consente al corpo di ruotare con centro sull'asse del carrello.

Esterno:

• VA•h = 0
• VA•cosθ + VA•senθ = 0
• Se θ = 90° → VAx = 0
• Se θ = 0° → VAy = 0

Interno:

• Impedisce gli spostamenti relativi lungo il proprio asse.
• Consente la rotazione relativa con centro sull'asse del carrello.

Δ(U_A•h) = 0 → SIST. REL. EQUIV. IND: (U_A - U_a2)•n = 0

Se n || y → ΔVA = 0 → VA2 = VMA = 0

Se D ⊥ K → Δ(UAo) → UA2 - UMA = 0

Cerniera: KI = 2

• Impedisce tutte le componenti dello spostamento del punto A.
• Consente la rotazione con centro in A.

Esterno:

• UA = 0 → UA_x=0 → UA_y=0

Interno:

• Impedisce i spostamenti relativi delle estremità collegate.
• Consente la rotazione relativa con centro in A.

ΔU_R = 0 → ΔU_a = U_a2 - U_A = 0

ΔVB = VA2 - AB - 0

Elifo k = 2

Esterno:

• Impedisce movimenti in direzioni perpendicolari al piano di scorrimento e la rotazione del corpo.
• Consente la traslazione in direzione parallela al proprio asse.

V_A‖ = 0

Θ = 0

V_Acosα + V_Bsenα = 0

Θ = 0

Interno:

• Impedisce le rotazioni relative tra i due corpi e gli spostamenti relativi lungo il proprio asse.

ΔV_A‖ = 0

ΔΘ = 0

Δu_Acosα + Δv_Asenα = 0

ΔΘ = 0

Incastro k = 3

Esterno:

• Impedisce tutte le componenti di spostamento e rotazione degli corpi.

V_A = 0

u = 0

v = 0

Θ = 0

Interno:

• Impedisce gli spostamenti relativi tra i punti collegati e le rotazioni relative tra i due corpi.

Δu_A = 0

Δv_A = 0

ΔΘ = 0

Problema cinematico

Assegnati dei cedimenti vincolari su un sistema di corpi rigidi vincolati, determinare se esistono configurazioni cinematicamente compatibili. Si considera un sistema piano costituito da un solo corpo rigido vincolato e sia m il numero complessivo di vincoli semplici. Polo 0 per riduzione spostamenti.

Si scrivono m equazioni lineari che esprimono le prestazioni cinematiche di ciascun vincolo. Si esprimono tali equazioni in funzione dei parametri di spostamento q, usando la formula generale dello spostamento. Sistema in m equazioni e q incognite.

Matrice cinematica (o matrice di congruenza) [m x q]

Vettore dei parametri di spostamento incogniti [n = gdl]

Vettore che raccoglie i cedimenti vincolari assegnati [m]

q = [u_o v_o θ₁]^T

Nel caso di un sistema di n_c corpi rigidi collegati tra loro da vincoli interni:

q = [u_oi v_oi θ_i]^T vettore relativo al corpo i

q = [q^T₁q^T₂ ... q^T_nc]

Classificazione cinematica per via analitica

Si discute il sistema di equazioni usando il teorema di Rouché-Capelli.

Tipologie di sistemi cinematici

Sistema cinematicamente determinato

• Isocinematicità m = n = p
• Matrice A quadrata; di rango massimo; invertibile; parametri di spostamento incogniti unicamente determinabili

q = A^-1s

Sistema cinematicamente impossibile

• Ipocinetico p - n < m
• Matrice A rettangolare alta; la molteplicità dei vincoli è maggiore dei gradi.
• Non ammette soluzioni

Sistema cinematicamente indeterminato

• Ipercinetico