Statica - 1. Cinematica (prima parte)

Lezione 1 23.10.17

Programma del corso:

• Cinematica: come i sistemi sottoposti ad azioni esterne cambiano configurazione.

la prima azione che sviluppiamo noi è il peso proprio ed anche le strutture vengono progettate

innanzitutto per stare in piedi sul peso proprio, ma poi a questo peso aggiungiamo quello dei solai,

dei pavimenti.. , inoltre anche l’ambiente ci può mettere su altre cose come la neve (azione

verticale), il vento o un terremoto(azione orizzontale). Le strutture vengono quindi sollecitate

continuamente da carichi presenti tutti i giorni e da carichi che possono esserci poche volte o mai.

In base a queste azioni le strutture cambiano configurazioni.

• Statica: avendo una struttura soggetta a delle azioni esterne la statica si occupa di definire queste

azioni sul nostro sistema, fare un modellino semplice per analizzare gli effetti di queste azioni

esterne sulla struttura e capire come essa si mette in equilibrio sotto le azioni esterne. = calcolo

dell’equilibrio (concetto di equilibrio: stando in piedi applichiamo una forza pari al nostro peso

[forza attiva] diretta verticalmente verso il basso, il suolo [vincolo] per consentirci di stare in piedi ci

applica una reazione uguale e contraria [forza reattiva] e per far sì che possiamo restare in piedi

queste forze devono essere in equilibrio).

la statica si occupa quindi del calcolo delle sollecitazioni ovvero del calcolo delle forze interne alle

strutture sottoposte alle azioni esterne attive e reattive.

• Principio dei valori virtuali: data la definizione del lavoro sappiamo che le forze lavorano negli

spostamenti e le variabili principali presenti nella statica sono le forze, le variabili principali della

cinematica sono invece gli spostamenti. Cinematica e statica sono collegati tra di loro in quanto le

forze che vivono nella statica lavorano negli spostamenti che vivono nella cinematica.

Il principio dei valori virtuali è uno strumento che risolve i problemi strutturali e in particolare dei

problemi statici.

• Geometria delle aree: pilastri sezionati in modo trasversale da cui ricavo alcune caratteristiche

come le aree. Le forme in cui viene sezionata la trave possono essere più o meno idonee per certi

carichi e/o azioni. (trave: elemento orizzontale; pilastro: elemento verticale. In statica solo trave)

• Schemi statici fondamentali: nei problemi architettonici ci sono alcune forme che si trovano

comunemente come il trilite, l’arco..

… sembra opportuno conferire all’istanza strutturale la seguente formulazione: essendo assegnate

determinate forze che sono chiamate ad agire, nel caso più generale, in posizioni spaziali date per

soddisfare a precise esigenze dell’uomo e della natura reperire i canali statici he tali forze possono scaricare

a terra, nel rispetto di altre esigenze, comodità e convenienze dell’uomo …

(Principi storici e forme strutturali, Pizzetti etc..)

Istanza strutturale = problema statico:

assegnata una certa luce L devo superarla da un’azione verticale diretta verso il basso di intensità F.

Soluzione semplice, ma non dal punto di vista statico.

Si possono trovare almeno 3 soluzioni.

1. Prevede che si metta un elemento strutturale monodimensionale, una trave.

La trave è appoggiata su due supporti agli estremi su cui si verrà a scaricare la forza F. La distanza

tra i due supporti è L. La forza per arrivare a terra deve scaricarsi sui due supporti. Essendo al

centro (poi verrà dimostrato) la forza si scarica metà su un supporto e metà sull’altro.

Quando alla trave viene applicata una forza vengono a formarsi azioni e reazioni all’interno della

trave.

Problema della flessione delle travi.

la trave è fatta di fibre longitudinali che in risposta ad un’applicazione si flettono e si comprimono.

Incastro

2. Supponiamo questa struttura. Non vogliamo che la forza applicata in C faccia slittare A e B, per fare

questo abbiamo bisogno cha A e B siano fissate. Le aste stesse danno la direzione della forza che

deve per forza passare attraverso esse per poter poi arrivare ai supporti dove si scarica, ma i

supporti a questo punto hanno un doppio compito: equilibrare la forza verticale applicando due

forze verticali uguali e contrarie e allo stesso tempo per evitare che la struttura slitti devo applicare

due forze orizzontali di contenimento per eliminar la spinta.

Le aste subiscono un’azione di compressione.

3. Questa soluzione è la simmetrica della seconda soluzione.

Qui le aste subiscono un’azione di trazione.

Lezione 2 25.10.17

I corpi vengono sollecitati da azioni esterne e sotto queste azioni esterne subiscono delle variazioni di

posizione, delle variazioni di configurazione ed evidentemente subiscono anche uno stato di sollecitazione

interna, ma poi si mettono in equilibrio sotto l’azione delle forze esterne e scaricano queste forze esterne ai

supporti al suolo.

Di questo processo si possono individuare due caratteristiche fondamentali:

• Come il sistema strutturale o corpo passa da una configurazione iniziale, di riferimento, di quiete,

“imminadica” ad una configurazione variabile, dinamica poiché sollecitato.

La cinematica prescinde dall’azione che ha causato il moto. Dal punto di vista concettuale possiamo

dire che la cinematica ha un approccio puramente geometrico, che non considera vincoli, forze.

Noi ci occupiamo di corpi rigidi e per corpi rigidi intendiamo:

“Un corpo rigido è un insieme finito o infinito di punti materiali soggetti al vincolo di rigidità, ovvero le cui

mutue distanze rimangono invariate quando il corpo si sposta”

Il corpo nel suo insieme subisce una variazione di configurazione detta “spostamento”, ma le mutue

distanze tra i punti che compongono il corpo rimangono invariate.

Viceversa se il corpo è deformabile può succedere che mentre si sposta i punti si muovono l’uno rispetto

all’altro e subiscono un processo deformativo in quanto non sono collegati dal vincolo di rigidità.

Come cambia il corpo quando passa da una configurazione iniziale ad una configurazione variata?

Corpo: C

C è composto da un insieme di punti materiali: E

C si trova in una configurazione iniziale o di riferimento, in una posizione: P

C subisce una sollecitazione che fa muovere il corpo (senza farlo cambiare nella forma) in una

configurazione finale o variata: P’.

Scelgo un polo di riferimento: O

Considero un punto tra i punti materiali P

vettore posizione iniziale: OP

Quando E occupa P nella configurazione iniziale, E occupa P’ nella configurazione variata.

vettore posizione finale: OP’

(Dato che adesso c’è una corrispondenza biunivoca tra il punto materiale e la posizione che esso occupa

nello spazio non si parlerà più di E, ma sempre di punti P, Q, .. pensati come posizioni che i punti materiali

occupano in una determinata configurazione)

vettore spostamento: U = OP’ – OP (differenza tra i due vettori posizione)

P

SPOSTAMENTO RIGIDO

Lo spostamento rigido si decompone in due parti: Traslazione + Rotazione

➢ Traslazione rigida :

Prendo un punto di riferimento O (polo di riferimento o di riduzione degli spostamenti) questo

punto lo penso solidale al corpo, ovvero come se fosse attaccato a qualcosa di rigido al corpo.

Siccome il corpo C è solidale al polo O se O si sposta traslando di un vettore U allora tutti i punti

O

del corpo e quindi anche il nostro punto P subiranno la stessa traslazione U O

U = U

P O

➢ Rotazione rigida :

Per caratterizzare la rotazione di un corpo dobbiamo pensare ad un asse attorno a cui farlo ruotare.

Considero quindi una retta a passante per il polo di riferimento, questa retta è caratterizzata da un

versore e che ci fornisce la direzione della retta.

La rotazione può essere indicata attraverso il vettore rotazione oppure il disegnino : (con la

convenzione che se il verso è positivo il circoletto è antiorario).

L’entità della rotazione è ϑ e quindi il vettore rotazione ha modulo pari a ϑ e la direzione me la dà il

versore della retta a → ϑ = ϑe

Considero la proiezione ortogonale di P su a : C.

P ruota insieme al corpo intorno alla retta a percorrendo un percorso circolare.

Il punto P ruota descrivendo una circonferenza il cui raggio dipende dalla distanza del punto

dall’asse a. In questa rotazione rigida (avvenuta dopo la traslazione) il punto P della configurazione

iniziale, si sposta in P’ della configurazione finale.

Immaginiamo ora di metterci nel piano ortogonale ad a che contiene P.

Per caratterizzare la rotazione rigida, vediamo come il punto C diviene la traccia della retta a del

piano che sto considerando. P ruota rigidamente, quindi C diventa il centro della circonferenza

percorsa da P.

Lo spostamento di P a P’ è caratterizzato dal vettore PP’ che sarebbe U .

P

Individuo il vettore spostamento decomponendolo in due vettori: il vettore parallelo a CP e il

vettore ortogonale.

PP + P P’ = U

0 0 P

|P P’| = |CP|senϑ

0

|PP | = |CP| - |CP|cosϑ = |CP|( 1 – cosϑ )

0

adesso devo dare la direzione:

▪ PP ha la stessa direzione di CP a patto però che gli metta segno “ – “ dato che il verso è opposto.

0

Quindi per trovarci il nostro vettore spostamento diremo che

U = U – ( 1 – cosϑ ) CP → abbiamo tolto il modulo di CP

P O

U = U + ( cosϑ – 1 ) CP (la formula è ancora incompleta)

P O

▪ per avere la direzione di P P’ devo introdurre il prodotto vettoriale del versore e per CP

0

exCP = |e|·|CP|sen90° = |CP|

e la direzione del risultato è ortogonale al piano definito dai due vettori a fattore (regola della mano

destra).

U = U + ( cosϑ – 1 ) CP + senϑ exCP → FORMULA GENERALE DELLO SPOSTAMENTO RIGIDO (FGSP)

P O

Adesso riduciamo la formula generale dello spostamento rigido a spostamenti infinitesimi in quanto nel

nostro ambito una struttura quando viene caricata non può subire grandi spostamenti e quindi ci avvaliamo

della cinematica esatta o cinematica finita.

Ciò che cambia dalla configurazione di prima è che le due configurazioni (iniziale e finita) sono molto vicine

tra loro, quindi P e P’ sono molto vicini tra loro P ̴ P’

Spostamento infinitesimo: Traslazione infinitesima + Rotazione infinitesima

Se gli spostamenti sono piccoli allora anche ϑ è molto piccolo

3

Espansioni intere di Taylor : senϑ ̴ ϑ + o ( ϑ )

2

cosϑ ̴ 1 + o ( ϑ )

Adesso non mi resta che approssimare

U = U + ( cosϑ – 1 ) CP + senϑ exCP → U = U + ϑ exCP

P O P O

exCP =