Appunti Scienza delle costruzioni - Parte 1

D

Forma indiretta: :

M = 1

-

D C

=

simmetrica

matrice F

- -

L I

(

G

XX

A 3x3 D: matrice delle cedevolezze

C: matrice delle rigidezza

O O

X B

O 0 X0 023

823 3x3 00X

( 0

Wi3 3

,

-

- -

Sotto Fuori

i

matrice termini

nulla tuttio

Diagonale sono

Ad esempio: 7 0

0 033

Ox 022 =

= , W23 033

= 033

Ei 222

03 233

= =

- E2 E3

Ragioniamo su questa sottomatrice: Vis r

- Ei-Ei

1 =

Wis -

- El

XXX Per materiale isotropo

_ El W32

W23

1

Na E

A E

Es

El

=

XX Er

=

= =

= =

- E3

E2 Ez

E2 r

V23

Viz wiz

X V321

Uzl = =

=

W2l

Wiz

-

-- E E3

E

- r

.

3

3 E2

E

-

1

-- -

S

- g

x00 Per materiale isotropo:

G12 Ez3 O E

O

0

B =

X O G12 G23

= G13 G

= =

= =

1 r)

2(1 +

-00X G13-

. S C

Nel caso x1, x2, x3 non coincidono con le direzioni naturali del materiale, le matrici C e D inizialmente

scritte nel riferimento naturale, vanno ruotate utilizzando le leggi di trasformazione delle matrici per

rotazione degli assi di riferimento. detR

MATRICE ROTAZIONE

DI 1

=

~ -1 RT

R

RCT

C' =

=

↓ ↳ RIFERIMENTO

MATRICE MATRICE

DEL NEL

RIFERIMENTO MATERIALE

NATURALE DEL

GLOBALE

Ad esempio per una rotazione attorno all’asse x3 otteniamo questa matrice C’.

-

-cia Dic

cio

Sir I

I

C22 C26

g

(23 G I

I

C' C3 C36

O C

3

= I

Cua Cus O

Is O I

C66 -

- C2o

Cio Cus

Nel caso di materiale isotropo invece: (36 0

= = = =

PROBLEMA ELASTICO LINEARE

È dato un corpo costituito da un materiale elastico lineare isotropo omogeneo soggetto a forze di

volume b, di superficie t e a spostamenti impressi u.

Si richiede di determinare lo stato di tensione T, di deformazione ε e il campo di spostamento u indotti

all’interno del corpo. Sotto le ipotesi di linearità fisica e geometrica. di

Linearità piccoli Spostamenti

Ipotesi

DEL

Piccole

Di

Ipotesi TRASCURABILI DEGU

COMPORTAMENTO COSSIA Effeti

SPOSTAMENTI

DERIVATE DEGU sull'equilibrio)

Spostamenti

MATERIALE

DEL :

CONGRUENZA

EijEij eQ

>

- CECo

. VIVo SeSo XXo

LNEARIZZATE , ,

, Equilibrio

In definite Di

eQ

> .

VnCARIZZATE

-

Le equazioni che governano il problema sono:

E bi

Tij + 0

=

j

, Con dominio V ≈ V0

E (Mi

Eij i)

Mj

+

= , ,

CijhkEnk

Tij =

Accompagnate dalle condizioni al contorno:

Porzione caricata di S

Forze attive note

D SES-Su

Si Statiche su

cinematiche su Su

& Porzione vincolata di S

↳ Su cui agiscono forze reattive incognite ti Tjhj

=

forza reattiva incognita "a priori"

Il problema è matematicamente ben posto (numero equazioni indipendenti = numero incognite) e ha

sempre soluzione unica.

↳ Funzioni Soddisfano equazioni

Che Tutte

L'Insieme (X)

Eij(X) le

Gis()

delle Mi

, ,

Per questo problema esistono 3 tipi di formulazione:

• differenziali

• variazionali

• integrali

e per ciascuna formulazione le equazioni possono essere tutte espresse in termini delle sole tensioni

o dei soli spostamenti.

Formulazioni differenziali

Tutte le equazioni che governano il sistema sono differenziali alle derivate parziali.

NEGLI SPOSTAMENTI : Compaiono come incognite solo le componenti di spostamento.

Si sostituiscono le equazioni implicite di congruenza all’interno della equazione di legame in forma diretta.

Si ottengono Tij(Mp)

>

Si sostituisce tale risultato nelle equazioni indefinite di equilibrio:

S (G X)Maki Inv

bi

GXMi + + + 0

= EQUAZIONI DI NAVIER-CAUCHY Usate in studi di

Su

ili Su

Mi = propagazione delle

Se !

G(Mi,j

ti memoria

Su

,

XM sapere

)nj a

non serve

Mj

= +

i onde nei corpi solidi

indica l’operatore 3D su Laplace

Dove (0) (0) (0)

(0) + + 33

22

11

= ,

, .

NELLE TENSIONI

Compaiono come incognite solo le componenti della tensione.

Oltre alle equazioni indefinite di equilibrio vanno aggiunte almeno altre tre equazioni che tengono conto del

legame e della congruenza.

Queste equazioni si ottengono sostituendo le equazioni di legame di forma inversa all’interno delle equazioni

esplicite di congruenza. Il risultato può essere semplificato tenendo conto dell’equilibrio e porta alle seguenti

equazioni: +

im EQUAZIONI DI MITCHELL-BELTRAMI

Sic

-(bij b

bin

Tij U + .

=

ij

, k

j

i 1 2 ↳ cost

3

= ,

, ,

,

Equazioni di congruenza espresse in termini delle tensioni.

A esse vanno aggiunte le 3 equazioni indefinite di equilibrio + le condizioni al contorno di tipo statico.

Questa formulazione non è adatta per risolvere problemi con condizioni al contorno miste (sia statiche

sia cinematiche) o cinematiche. 13/10/25

Formulazioni variazionali

Si basano sulla stazionarietà di opportuni funzionali.

↳ funzioni funzioni

di

a) ENERGIA POTENZIALE TOTALE

Tij

=

EfkEeEisdu Stilias

[Sbiridu Lavoro delle forze esterne attive

H e

+

= -

4 = s'Su

Wis Eiso STON

=

Energia su deformazione elastica totale

Questo funzionale ha come dominio la classe di soluzioni congruenti o cinematicamente ammissibili e si

dimostra che risulta stazionario in corrispondenza dell’unica soluzione equilibrata o staticamente ammissibile.

b) ENERGIA POTENZIALE COMPLEMENTARE TOTALE

= Tijd-Stilids Lavoro delle forze esterne reattive

*

# in

Energia di deformazione complementare totale

Questo funzionale ha come dominio la classe delle soluzioni equilibrate o staticamente ammissibili e si dimostra

essere stazionario in corrispondenza dell’unica soluzione congruente o cinematicamente ammissibile.

Formulazioni integrali

Si basano sul teorema dei lavori virtuali (TLV), sotto forma di principio.

Enunciato TLV: VIRTUALE

LAVORO INTERNO

Sono dati due sistemi: COMPILATO TENSIONI

DALLE DEL

a) di forze di volume b e superficie t e di tensioni T equilibrato. Sule

Sist a) Deformazioni

.

b) di spostamenti u e deformazioni ε congruenti. b)

sistema

DEL ↑

tra i quali non sussiste alcuna correlazione di causa-effetto. Vale l’identità: Lui

Luz =

&

VIRTUALE DALLE

COMPIUTO

LAVORO SUGU

SISTEMA

a)

DEL

FORZE

Tesi dimostrata nel caso di teorema b)

Spostamenti SIST

DEL .

a) PRINCIPIO DEGLI SPOSTAMENTI VIRTUALI (PSV)

È dato un sistema di forze di volume b e di superficie t e di tensioni T; se l’identità dei lavori virtuali Lve=Lvi è

soddisfatta per un qualunque sistema di spostamenti δu e deformazioni δε congruenti, allora il sistema di

forze e tensioni è equilibrato.

Si tratta di una forma alternativa per imporre l’equilibrio (forma debole).

“Virtuale”: tra i due sistemi non esiste nessuna correlazione causa-effetto.

Dimostrazione: = /GisSUON

&Si

SSEid Susi) Suj i)

2v (Si + + =

= =

,

↑ L

V SOSTITUIRE

ANDIAMO A Di

SimmETRIA I

CQ CONGRUSENZA

DI

LE . Spostamenti

Degli

funz

Implicite in .

Ti,Suija

S((ij sinds-fis

Sui) Suid

= -

,

V DI GAUSS

TCOREMA DIVERGENZA

DELLA

O

SbiSud Si sud

&ve +

= SbiSudu Stisuids 1 Suinds-Sis

Lu

Lv Sund

+

= = : =

S

↓ f

(ij (ti

bi) Sui O Sui as

jnj)

-0 0

+ + =

, i

,

Data L’arbitrarietà di δu

S b, t, T soddisfano le equazioni indefinite di

Fitbi

↳ se

in => equilibrio e condizioni al contorno statiche.

S

su sono un sistema equilibrato c.v.d.

b) PRINCIPIO DELLE FORZE VIRTUALI

È dato un sistema di spostamenti u e deformazioni ε, se l’identità dei lavori virtuali Lve=Lvi vale per un

qualunque sistema di forze di volume δb e superficie δt e tensioni δT equilibrati, allora il sistema di

spostamenti e deformazioni è congruente.

Si tratta di una forma alternativa per imporre la congruenza.

PROBLEMI ELASTICI PIANI

Si tratta di problemi elastici lineari, per i quali la particolare geometria e condizione di carico,

consentono di ridurre il problema da tridimensionale a bidimensionale.

La geometria di riferimento è quella di un corpo cilindrico generato dalla traslazione di una figura piana lungo

un asse. Condizioni di carico:

il corpo è soggetto a b e a t applicate sul mantello e caratterizzate da

L

... +3

contenuti by

Det 0

c =

=

PIANO DELLA

MEL i

ti

Di 1 2

0

= = =

TRASV

SEZIONE 3 ,

,

. ↳

DISTRIBUZIONE Det

Di

UNIFORME MELLA

G

Sezione DIREZIONE DELL'ASSE

Trasversale

,

a ↳ uniforme

altrettanto

aspetta meccanica

risposta

si

ci una

asse

33

Noi tratteremo il problema dell’equilibrio per questi corpi costituiti da materiali elastici lineari isotropi e

omogenei.

Considereremo, in particolare, due classe:

a) Problemi elastici piani nella deformazione caratteristici di geometrie cilindriche di lunghezza elevata (al

limite infinita ) e caratterizzati da uno stato di deformazione bi-assiale uniforme lungo x3.

b) Problemi elastici piani nella tensione caratteristici di geometrie cilindriche di lunghezza piccola (al limite

nulla) e sono caratterizzati da uno stato di tensione bi-assiale uniforme lungo x3. 16/10/2025

Problemi elastici piani nella deformazione

Si tratta di particolari problemi elastici piani caratterizzati da uno stato di deformazione bi-assiale

uniforme lungo x3 (asse corpo cilindrico di riferimento).

Ei o

Eiz [ij 0

3 =

E E22

E21 0 ,

= i j 1 2

=

, ,

O

g

-O

Equazioni di congruenza esplicite:

equazione differenziale di II ordine avente come incognite

E11 E22 2E12

+ 12

22 =

11

, , , solo componenti di deformazione appartenenti al piano.

& equazioni automaticamente Stiamo parlando del piano

[22 [33 2223

22 23

+

33 =

, ,

. della sezione trasversale

soddisfatte

[33 E11 2213

+ 33

11 13