Fisica 1 - Esercizio 6

Esercizio 6

Due corpi di rispettive masse m₁ e m₂ sono inizialmente in quiete su di un piano orizzontale. Ad un certo istante, al corpo 1 viene impressa una velocità v_1i e scagliato verso il corpo 2 sul quale urta in maniera perfettamente elastica. Quest’ultimo si mette in movimento ed impatta un piattello ideale, inizialmente alla distanza d, connesso ad una molla di costante elastica k nella sua configurazione di riposo. L’altro estremo della molla è a sua volta collegato ad un supporto fisso. Sapendo che il piano di appoggio è privo di attrito, determinare:

• Le velocità v_1f e v_2f dei due corpi immediatamente dopo l’urto;
• La massima compressione della molla Δ_max;
• L’intervallo temporale Δ_t che i due corpi impiegano per urtarsi nuovamente.

Relazioni per urto elastico monodimensionale

Prima di procedere è bene derivare delle relazioni che riescano a mettere in relazione le velocità finali dei due corpi nel caso di un urto elastico monodimensionale, durante il quale sono conservate sia la quantità di moto, sia l’energia cinetica del sistema formato dalle due masse.

Si definiscano con v_1i e v_2i le velocità dei due corpi immediatamente prima dell’urto, e con v_1f e v_2f quelle acquisite subito dopo l’impatto.

Le equazioni di conservazione sono:

• m₁v_1i + m₂v_2i = m₁v_1f + m₂v_2f
• m₁v_1i² + m₂v_2i² = m₁v_1f² + m₂v_2f²

Sostituendo la prima relazione nella seconda e semplificando, si ottiene:

v_1i + v_1f = v_2i + v_2f

Da cui si ricava:

v_1f = v_2i + v_2f - v_1i

Sostituendo nuovamente nella prima equazione:

v_1f = v_2i + v_2f - v_1i

Continuando con la semplificazione, possiamo ottenere l’espressione finale per le due velocità finali v_1f e v_2f in termini delle quantità iniziali. Queste equazioni ci permettono di risolvere il problema dell’urto elastico e di determinare la massima compressione della molla e il tempo di ricollisione.