cenni insiemistica e funzioni

Capitolo 1: Il campo ordinato dei numeri reali

Simboli

∃ esiste, ∀ per ogni, ∈ appartenere, ⊂ contenuto in senso stretto, ⊆ contenuto in senso largo, ∈ tale che, ≠ diverso, > maggiore, ≥ maggiore o uguale, < minore, ⨁ unione, ⊖ intersezione, ⇒ implica, ≺ subordinato.

0 allora:

1. |x| < a (⟺) -a < x < a
2. |x| > a (⟺) x > a ∨ x < -a
3. |x| ≥ a (⟺) x ≥ a ∨ x ≤ -a
4. |x| ≤ a (⟺) -a ≤ x ≤ a

Estremi di un insieme numerico

Sia X un insieme numerico, h, k ∈ ℝ. Si dice che k è limite superiore se k ∈ ℝ ∀x∈X x≤k, il numero reale k si dice maggiorante di X.

Si dice che k è limite inferiore se ∀h ∈ ℝ ∀x∈X x≥h; h è un minorante di X.

Evidentemente X è limitato ⟺ ∃h ∈ ℝ : h≤x≤k. |X| < α ⟺ |x| ≤ α -α ≤ x ≤ α.

Un elemento m si chiama il minimo di X se ∀x∈X x ≥ m, m ∈ X e ìn alcuni min X. Un elemento M ∈ X si chiama il massimo di X se ∀x∈X ⇒ x ≤ M con M ∈ X e in alcuni Max X.

I maggioranti costituiscono un insieme, tal insieme ha un minimo che è minore dei maggioranti e si chiama superiore di X, in simboli sup X se sup ∈ X, dove sup X = Max X. I minoranti costituiscono un insieme, tal insieme ha un minimo che si chiama estremo inferiore di X, in simboli inf X, di sup X = Max X e inf X = min X.

Si dice che X non è limitato superiormente (non ha maggioranti) e sup X = +∞. Si dice che X non è limitato inferiormente (non ha minoranti) e inf X = -∞.

Proprietà dell'estremo inferiore

Un elemento e₁ ∈ ℝ è l'estremo inferiore di X se e solo se valgono le seguenti proprietà:

1. e₁ ≤ x ∀ x ∈ X (e₁ è un minorante)
2. ∀ ε > 0 ∃ x_ε ∈ X : e₁ ≤ x_ε < e₁ + ε (e₁ il maggiore dei minoranti)

Dimostriamo che se (1) e (2) allora e₁ = inf X. Supponiamo che e = inf X, allora (1) è vera perché e è un minorante per definizione. Supposto esemplare, il più grande dei minoranti ne segue anche da (2).

Viceversa, supponiamo siano vere la (1) e la (2). Da (1) che e₁ è un minorante di conseguenza e ≤ e₁. E da (2) che e₁ è il più grande dei minoranti di conseguenza e₁ = inf X.

Proprietà dell'estremo superiore

Sia X un insieme numerico, un elemento e₂ ∈ ℝ è l'estremo superiore di X se e solo se sono verificate le seguenti proprietà:

1. e₂ ≥ x ∀ x ∈ X
2. ∀ ε > 0 ∃ x_ε ∈ X : x_ε > e₂ - ε

Intervalli

Si chiamerà ℝ (R ampliato) ℝ = ℝ ∪ {-∞ +∞} sono a e b ∈ ℝ con a < b gli intervalli:

• [a, b] = { x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b } (intervallo chiuso e limitato)
• (a, b] = { x ∈ ℝ | a < x ≤ b } (intervallo limitato e semiaperto sx)
• [a, b) = { x ∈ ℝ | a ≤ x < b } (intervallo limitato e semiaperto dx)
• (a, b) = { x ∈ ℝ | a < x < b } (intervallo aperto e limitato)

Gli intervalli non limitati: Sia c ∈ ℝ gli intervalli:

• (c, +∞) = {x ∈ ℝ | x > c} (intervallo aperto non limitato superiormente)
• {x ≤ c} = [c, +∞) (intervallo chiuso non limitato superiormente)
• {x ≥ c} = (-∞, c) (intervallo chiuso non limitato inferiormente)
• {x < c} = (-∞, c) (intervallo aperto non limitato inferiormente)

Capitolo 2: Le Funzioni

Generalità

Siano X e Y due insiemi qualsiasi, f: X → Y indica una corrispondenza tra gli elementi di X e Y, ad ogni elemento di X corrisponde un elemento di Y. Tale corrispondenza prende il nome di funzione o trasformazione dove X è il dominio o insieme di definizione o campo di esistenza.

∀ x ∈ X, f(x) = f(x) si chiama l'immagine di X, l'insieme delle immagini si chiama codominio, f(x) ⊆ Y, f(x) = Y, f è suriettiva. X → R, R → R, f: R → R immagine di arrivo ∀ x ∈ X, R x³ = [-∞, +∞[. Codominio R = ℝ, R = [-∞, +∞[, R = ∆+ ∆= I, R=f coincidono ergo x³ è una funzione suriettiva.

Restrizione di una Funzione

Sia f: X→Y, fra A ⊆ X, chiamiamo restrizione di f ad A la funzione.

Prolungamento di una Funzione

Sia f: X ⊆ Y, sia B ⊃ X, f(x) = ∫](x), la funzione con definita o chiamata il prolungamento di f se B/X f la funzione composta f(y∘g), f: x³ : ℝ → ℝ, g: log(ℝ): ℝ → ℝ ⊕ (f∘g) = log(x)³ ∀x∈R\; x³>0 ∃x³∈ℓ ]--∞x³ ∈ Dominio di g.

Siano f: X → Y, g: X → Z, A = {x ∈ X | f(x) ∈ F}, se definire facciamo considerare la funzione g(f(x)) e [ (x-3) ] g(f(x)): A → Y si chiama funzione composta di f e g in simboli f o g (composta g).

Funzioni Reali

Si definisce funzione reale una qualsiasi funzione F(X): ergo f(x) ∈ R succede f(X) contenuta in R _{non necessariamente} numeriche. Sia tratti di un intervallo reale, possiamo estendere a tale codominio il concetto di estremo inferiore massimo estremo superiore massimo.

Si dice che f è limitata superiormente se ∃ K ∈ R: ∀ x ∈ X, f(x) ≤ K, f è limitata superiormente in R, dominio è limitato assernamento.

Si dice che f è limitata inferiormente se il suo codominio è limitato inferiormente se ∀ x ∈ X, f(x) ≥ h.

Si dice che f è limitata se il suo codominio è limitato ∀ h ∈ R: ∃ K ∈ R, f: ∀ x ∈ X, h ≤ f(x) ≤ K. Evidentemente, f è limitata se ∃ b, ∃ a, f(x) ∈ [a, b], |f(x)| ≤ α.

Si dice che f è dotata di minimo se il suo codominio è dotato di minimo, simbolo di un minimo min f. Si dice che f è dotata di massimo se il suo codominio è dotato al massimo max f.

Chiamiamo estremo inferiore di f ^l l'estremo inferiore del suo codominio inf f l se inf f ∈ f(x), inf f = min f. Chiamiamo estremo superiore di f l'estremo superiore del suo codominio. In simboli, se allora che f non è limitata superiormente, non è limitato superiormente. Se allora che f non è limitato inferiormente, se non è limitato inferiormente.

Funzioni Iniettibili

Si dice che f è iniettibile in X se funzioni reali di variabile reale. Definiamo funzione una si determina il disegno, dati diagrammato è possibile dedurre in maniera intuitiva dominio e codominio di ad esempio il dominio del grafico è sup f=.

Una funzione è invertibile al netto esiste uno ed uno solo. Soluzione e iniettibile mentre no. Si dice che f è invertibile su X se l'equazione f(x) = ȳ con y ∈ K ammette un'unica soluzione. Graficamente significa che, dati y sull'asse y, la retta passante per y e parallela all'asse x interseca il diagramma di f una volta. Se f è invertibile su X ha senso considerare la funzione inversa di f (e indicarla con il simbolo f^-1) e rappresenta l'unica soluzione dell'equazione f(x) = ȳ, cioè X = f^-1(ȳ).

X = _Im Codominio f [0, +∞[ => √x. f: ∀ x₁, x₂ con x₁ < x₂ [f(x₁) ≤ f(x₂)] [Strettamente crescente] [f(x₁) < f(x₂)] crescente Assolutamente crescente.