cenni insiemistica e funzioni

Analisi I

Capitolo 1

Il campo ordinato dei numeri reali

Simboli

• ∃ esiste
• ∀ per ogni
• ∈ appartenere
• ⊂ contenuto in senso stretto
• ⊆ contenuto in senso largo
• ∈ tale che
• ≠ diverso
• > maggiore
• ≥ maggiore o uguale
• < minore
• ⨁ unione
• ⊖ intersezione
• ⇒ implica
• ≺ subordinato
• 0 allora
  1. |x| < a (⟺) -a < x < a
  2. |x| > a (⟺) x > a ∨ x < -a
  3. |x| ≥ a (⟺) x ≥ a ∨ x ≤ -a
  4. |x| ≤ a (⟺) -a ≤ x ≤ a

  5. Estremi di un insieme numerico

  Sia X un insieme numerico h, k ∈ ℝ si dice che k è limite

  superiorementi se k ∈ ℝ ∀x∈X x≤k il numero reale

  k si dice maggiorante di X

  si dice che k è limite inferiorementi se ∀h ∈ ℝ ∀x∈X

  x≥h; h è un minorante di X

  evidentemente X è limitato ⟺ ∃h ∈ ℝ : h≤x≤k

  |X| < α ⟺ |x| ≤ α

  -α ≤ x ≤ α

  un elemento m si chiama il minimo di X se ∀x∈X

  x ≥ m m ∈ X e ìn alcuni min X

  un elemento M ∈ X si chiama il massimo di X

  se ∀x∈X ⇒ x ≤ M con M ∈ X e in alcuni

  Max X

  maggioranti costituiscono un insieme , tal insieme ha

  un minimo è minore dei maggioranti e si chiama

  superiore di X , in simboli sup X se sup ∈ X

  dove sup X = Max X e i minoranti costituiscono

  un insieme, tal insieme ha un minimo che

  si chiama estremo inferiore di X , in simboli

  inf X , di sup X = Max X e inf X = min X

  Si dice che X non è limitato superiormente (non ha maggioranti) e sup X = +∞.

  Si dice che X non è limitato inferiormente (non ha minoranti) e inf X = -∞.

  Proprietà dell'estremo inferiore: un elemento e₁ ∈ ℝ è l'estremo inferiore di X se e solo se valgono le seguenti proprietà:

  1. e₁ ≤ x ∀ x ∈ X (e₁ è un minorante)
  2. ∀ ε > 0 ∃ x_ε ∈ X : e₁ ≤ x_ε < e₁ + ε (e₁ il maggiore dei minoranti)

  Dimostriamo che se (1) e (2) allora e₁ = inf X.

  Supponiamo che e = inf X, allora (1) è vera perché e è un minorante per definizione. Supposto esemplare, il più grande dei minoranti ne segue anche da (2) viceversa supponiamo siano vere la (1) e la (2). Da (1) che e₁ è un minorante di conseguenza e ≤ e₁.

  E da (2) che e₁ è il più grande dei minoranti di conseguenza e₁ = inf X. Proprietà dell'estremo superiore.

  Proprietà dell'estremo superiore. Sia X un insieme numerico un elemento e₂ e affermate e al ℝ e e₂ e solo se sono verificate le seguenti proprietà:

  1. e₂ ≥ x ∀ x ∈ X
  2. ∀ ε > 0 ∃ x_ε ∈ X : x_ε > e₂ - ε

  1.6 Intervalli

  Si chiamerà ℝ (R ampliato) ℝ = ℝ ∪ {-∞ +∞}

  sono a e b ∈ ℝ con a < b gli intervalli

  [ _a b] = { x ∈ ( a, b] => 0 ≤ x ≤ b (intervallo chiuso e limitato) }

  I 0 < x ≤ b (intervallo limitato e semiaperto sx) }

  [a, b) = { s ∈ ( a, b ] => a ≤ x < b (intervallo limitato e semiaperto dx) }

  (a, b) = {s ∈ ( a, b ) => a < x < b intervallo aperto e limitato }

  Gli intervalli non rimaniti:

  Sia c ∈ ℝ gli intervalli 1 (c, +∞) o X ∈ [c +∞ [=) X ≤ c (intervallo si chiamerà chiuso non limitato superiore)

  • R

    L’intervallo c + ∞ di x ∈ ]c (∞+∞[->) c [intervallo]. Esso si chiamerà aperto non limitato superiormente, gli intervalli (1) e (2) non avranno propriamente l'estremo superiore e l 'τ (1){ -∞, c } = x ≤ c

  • chiuso non limitato inferiomente Esap[(4)(-∞, c) {x < c} (non limitato inferiomente (infine)) Gli intervalli (3) (4) non avranno minimo l'approssimo

  Capitolo 2: Le Funzioni

  1.1 Generalità

  Siano X e Y due insiemi qualsiasi

  f : X → Y (ffo signa un X ad un valore in Y)

  sta ad indicare una corrispondenza tra gli elementi di X e Y ad ogni elemento di X corrisponde

  un elemento di Y de corrispondenza prende il nome di funzione o trasformazione dove X è il Dominio o

  insieme di definizione o campo di esistenza

  ∀ x ∈ X f(x) = f(x) e chiama l'immagine di X (freccia)

  f, l'insieme delle immagini si chiama codominio f(x)

  Y insieme di arrivi (detto anche del codominio)

  f(x) ⊆ Y f(x) = Y f è suriettiva

  X → R R → R f:R → R

  immagine di arriva ∀ x ∈ X R x³ = [-∞ +∞[ codominio

  R = ℝ → R = [-∞ +∞[ R= ∆+ ∆= I R=f

  coincidono ergo x³ è una funzione suriettiva

  1.2 Restrizione di una Funzione

  sia f: X→Y fra_ AC X chiamiamorestrizione

  di f ad A la funzione f

  1.3 Prolungamento di una Funzione

  Sia f: X ⊆ Y sia B ⊃ X f(x) = ∫](x)

  la funzione con definite o chiama

  il prolungamento di f se B/X

  f la funzione composta f(y∘g)

  f: x³ : ℝ → ℝ g: log(ℝ): ℝ → ℝ

  ⊕(f∘g)=log(x)³ ∀x∈R\; x³>0 ∃x³∈ℓ ]--∞

  x³ ∈ Dominio di g

  Siano f: X → Y g: X → Z

  A = {x ∈ X | f(x) ∈ F} se definire

  facciamo considerare la funzione g(f(x)) e [ (x-3) ]

  g(f(x)): A → Y si chiama funzione

  composta di f e g in simbol f o g (composta g)

  1.5 FUNZIONI REALI

  Si DEFINISCE funzione reale una qualsiasi funzione F(X):

  ergo f(x) ∈ R succede f(X) contenuta in R _{non necessariamente}

  NUMERICHE

  Sia tratti di un intervallo reale equivale

  possiamo estendere a tale codominio il concetto di estremo

  inferiore massimo estremo superie massimo

  Si dice che f è limitata superiormente se ∃ K ∈ R: ∀ x ∈ X

  f(x) ≤ K f è limitata superiormente in R dominio è

  limitato assernamento

  Si dice che f è limitata inferiormente se il suo codominio

  è limitato inferiormente se ∀ x ∈ X f(x) ≥ h

  Si dice che f è limitata se il suo codominio

  è limitato ∀ h ∈ R: ∃ K ∈ R f: ∀ x ∈ X h ≤ f(x) ≤ K

  evendamento f è limitata se ∃ b, ∃ a f(x) ∈ [a, b]

  |f(x)| ≤ α

  si dice che f è dotata di minimo se il suo codominio

  è dotato di minimo simbolo di un minimo min f

  Si dice che f è dotata di massimo se il suo

  codominio è dotato al massimo max f

  Chiamiamo estremo inferiore di f ^l l'estremo inferiore

  del suo codominio inf f l se inf f ∈ f(x)

  inf f = min f

  Chiamiamo estremo superiore di f l'estermo superiore

  del suo codominio. In simboli se

  allora che f non è limitata superiormente.

  non è limitato superiormente. se

  allora che f non è limitato inferiormente. se

  non è limitato inferiormente.

  funzioni iniettibili

  Si dice che f è iniettibile in X se

  funzioni reali di variabile reale. Definiamo funzione una

  si determina il disegno

  datidati diagrammato è possibile dedurre in maniera intuitiva dominio e codominio di

  ad esempio il dominio del grafico è

  supf=

  Una funzione è invertibile al netto esiste uno ed uno solo

  Soluzione e iniettibile mentre no.

  Si dice che f è invertibile su X se l'equazione f(x) = ȳ con y ∈ K ammette un'unica soluzione. Graficamente significa che, dati y sull'asse y, la retta passante per y e parallela all'asse x interseca il diagramma di f una volta. Se f è invertibile su X ha senso considerare la funzione inversa di f (e indicarla con il simbolo f^-1) e rappresenta l'unica soluzione dell'equazione f(x) = ȳ cioè X = f^-1(ȳ).

  X = _Im Codominiof [0, +∞[ => √x

  f: ∀ x₁, x₂ con x₁ < x₂[f(x₁) ≤ f(x₂)][Strettamente crescente][f(x₁) < f(x₂)]

  crescente

  Assolutamente crescente