cenni insiemistica e funzioni

Andrea I

Liceo Juvara

Capitolo 1

Il campo ordinato dei numeri reali

1. ∃ esiste
2. ∄ non esiste
3. ∃! esiste ed è unico
4. ∀ per ogni
5. ∈ appartiene
6. ∉ non appartiene
7. ∈ contenuto in senso stretto
8. ⊂ contenuto in senso largo
9. ∋ tale che
10. ⊃ contiene in senso
11. = uguale
12. ≠ diverso
13. ≥ maggiore o uguale
14. ≤ minore o uguale
15. ∪ unione
16. ∩ intersezione
17. ⇒ implica
18. ⇐ subordinato
19. ⇔ equivalente
20. | condizione necessaria e sufficiente
21. ¬ negazione

1.1 Insiemi ed operazioni

Un insieme è una collezione di elementi avente proprietà nei seguenti modi:

1. Elenco
2. Proprietà
3. Essere un figlio

Q ∈ A (a appartiene ad A)

Operazioni tra insiemi

Unione A ∪ B

C = A ∪ B

A ∩ B = C

A - B elementi di A privati degli elementi di B

B privato di C = A ∩ ¬B

A × B si legge A cartesian B con A = {a₁, a₂, a₃} e B = {b₁, b₂, b₃}

A × B è costituito dalle coppie ordinate di A e B

A × B = {(a₁, b₁), (a₂, b₂), (a₃, b₁), ...}

Es. A = R² con Piano cartesian

I, B insieme naturale

N insieme numeri naturali N = {1, 2, 3, ...}

N₀ insieme numeri naturali e lo 0 N₀ = {0, 1, 2, 3, ...}

Come si rappresentano

1, 2, 3, 4 sono un insieme di punti (non ha senso parlare di rette)

Z insieme numeri relativi sono un insieme di punti interi

relativi Z = {0, 1, -1, 2, -2, ...} a coppie che i numeri con il segno sono minori di 0. Rappresentazione:

il segno

-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

L'insieme numeri razionali nella forma = ^p/_q con p ∈ N₀

decimamenti decimali limitati positivi e negativi

1.4 insieme dei numeri reali R

un insieme reali è un alienamento decimali finiti o num positivi o negativi

R - Q = {insieme numeri irrazionali}

allineamenti decimali non limitati positivi o negativi

1, π, e, √2, √5, √3

I numeri reali si rappresentano nelle retto secondo una relazione di ordine attraverso le simboli <

√2

tra -1 e 0 ci sono infiniti punti (infiniti numeri irrazionali)

1.6 Intervalli

Si definisce ℝ̅ (reale esteso) ℝ̅ = ℝ ∪ {−∞ +∞}

Scala a b ∈ ℝ̅ con a < b gli intervalli

1. a ≤ x ≤ b (intervallo chiuso e limitato)
2. a < x < b (intervallo limitato e aperto)
3. a < x ≤ b (intervallo limitato e semiaperto S)
4. a ≤ x < b (intervallo limitato e semiaperto n)
5. a < x < b intervallo aperto e limitato

Si intervalli non limitati

1. Scala C ∈ ℝ gli intervalli ⌊C, +∞⌉ o x ∈ ⌊C +∞⌉

L'intervallo si chiamerà chiuso non limitato superiormente

1. L'intervallo ⌉C +∞⌉ o x ∈ ⌉C +∞⌉ ∖ ⌉C intervalli

Lo si chiamerà aperto non limitato superiormente

Gli intervalli 1 e 2 non hanno massimo l'estremo superiore

1. ⌊ −∞ C⌉ ⌋ = x ≤ C

(chiuso non limitato inferiormente)

1. ⌉ −∞ C⌉ ⌋ = x < C

Gli intervalli 3 e 4 non hanno minimo l'estremo inferiore

Si dice che f è _decrescente in X ⇔ ∀ x₁, x₂ ∈ X con

x₂ ≤ x₁

f(x₁) ≥ f(x₂)

Decrescente

Funzioni pari dispari periodiche

Sia f: X ⊆ ℝ → ℝ

si dice che f è pari se ∀ x ∈ X e -x ∈ X

f(-x) = f(x) ∀ x ∈ X

è dispari se f(-x) = -f(x) ∀ x ∈ X

Siamo k ∈ ℤ e ω ∈ ℝ : ∀ x ∈ X

ai vuole che f

periodica di periodo ω

∀ x ∈ X x + kω ∈ X f(x) = f(x + (kω))

Una funzione periodica non è

invertibile!

Funzione periodica

Esempio di prolungamento periodico