Cenni di logica e numeri reali

A⊆A.

Esistono alcune operazioni che ci permettono di costruire nuovi insiemi da quelli già dati:

● Se A è un insieme, diremo insieme delle parti di A, e lo indicheremo con P(A),

l’insieme formato da tutti i sottoinsiemi di A.

Se A e B sono due insiemi, diremo unione di A e B, e scriveremo A⋃B,

● l’insieme che ha come elementi gli elementi di A e quelli di B. In simboli

∀x:x∈A⋃B ⇔ (x∈A o x∈B). L’unione di insiemi può essere operata anche

su una famiglia di insiemi {A , dove I è un insieme di indici. Scriveremo

} i∈I

i

∪ . Notiamo che

A per indicare l’insieme che ha come elementi quelli dei vari A

i∈I i i

AU∅ = A per ogni insieme A

Se A e B sono due insiemi, diremo intersezione di A e B, e scriveremo A∩B,

● l’insieme che ha come elementi gli elementi comuni di A e B. In simboli

∀x:x∈A∩B ⇔ (x∈A e x∈B). L’intersezione di insiemi può essere operata

anche su una famiglia di insiemi {A , dove I è un insieme di indici.

} i∈I

i

Scriveremo ∩ .

A per indicare l’insieme i cui elementi appartengono ad ogni A

i∈I i i

Notiamo che A∩∅ = ∅ per ogni insieme A

Per individuare sottoinsiemi di un dato insieme, si utilizza il seguente

● principio di specificazione. Se R(x) è un predicato in una variabile ed A è

un insieme, si può considerare l’insieme B⊆A ottenuto scegliendo quegli

elementi di x che rendono vero R(x). In formule ∀x:x∈B ⇔ (x∈A e R(x)).

Diremo differenza tra due insiemi A e B, e scriveremo A \ B, l’insieme tale

● che ∀x:x∈A \ B ⇔ (x∈A e x∉B). Si tratta dunque del sottoinsieme degli

elementi di A che non sono elementi di B. L’ordine nella differenza è

importante.

Siano A e B due insiemi, e siano x∈A e y∈B. Diremo coppia ordinata x, y

● l’oggetto (x, y). x si dice la prima componente della coppia, mentre y si

dice la seconda componente. L’insieme di tutte le coppie ordinate (x, y)

con x∈A e y∈B si dice il prodotto cartesiano tra A e B e si indica con A✕B.

3. Funzioni

Siano A e B due insiemi. Sia f una legge che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo

elemento di B. Diremo in tal caso che f è una funzione o un’applicazione tra A e B.

viene indicato con :

L’elemento corrispondente a a∈A f(a). Si usa spesso la scrittura f

A→B per indicare la funzione f. Si usa anche la scrittura seguente f:A→B

↦

a f(a)

volendo specificare la natura delle legge che all’elemento a associa f(a). L’insieme A viene

detto il dominio di f.

Immagine e preimmagine

Sia f : A→B un’applicazione tra A e B e sia C⊆A. Diremo immagine di C

secondo := {b∈B : ∃c∈C : f(c)

f e l’indicheremo con il simbolo f(C) l’insieme f(C)

= b}. Diremo che f(A) è l’insieme immagine di f e lo indicheremo con Im(f).

Se D⊆B, diremo preimmagine di D secondo f l’insieme f^-1(D) := {a∈A :

f(a)∈D}. f(C) è il sottoinsieme di B formato da tutti gli elementi f(c) al

variare di c in C, cioè l’insieme di tutte le immagini degli elementi di C

secondo la legge f. f^-1(D) è invece formato dagli elementi del dominio

che vengono trasformati da f in elementi di D.

Funzione iniettiva

Sia f : A→B un’applicazione tra A e B. Diremo che f è iniettiva se per ogni

a ∈DA si ha a ≠a ⇒ f(a )≠f(a

, a ). Un’applicazione è dunque iniettiva se ad

1 1 2 1 2

2

elementi distinti di A vengono associati elementi distinti di B.

Funzione inversa

Sia f : A→B un’applicazione tra A e B iniettiva. Diremo funzione inversa di f

l’applicazione f^-1:f(A)→A che associa ad ogni b∈f(A) l’unico elemento

a∈A tale che f(a)=b.

Funzione suriettiva

Sia f : A→B un’applicazione tra A e B. Diremo che f è suriettiva da A su B se

B=Im(f). Una funzione f è dunque suriettiva se ogni elemento di B proviene

tramite f da un elemento di A, cioè B coincide con l’immagine di A.

Funzione biettiva

Sia f : A→B un’applicazione tra A e B. Diremo che f è biettiva tra A e B se f

è iniettiva e se f è suriettiva da A su B. In tal caso, la funzione inversa f^-1

è definita da B in A.

Esistono operazioni canoniche che permettono di costruire nuove funzioni a partire da

funzioni date

● Restrizione

Siano f : A→B e A ⊆A. Allora f:A →B

1 1

a ↦f(a)

si dice la restrizione di f ad A e si indica con f .

|A

1 1

● Composizione di funzioni

Siano A, B, C, D quattro insiemi, e siano f : A→B e g : C→D due funzioni tali

che f(A)⊆C. Diremo funzione composta di f e g la funzione g o f:A→D

a↦g(f(a)).

Numeri reali

Proprietà fondamentali dei numeri reali

● Operazione di addizione

È definita una funzione s:R✕R→R che ad ogni coppia di numeri x, y associa

il numero s(x, y) indicato con x+y (detto addizione o somma) in modo tale

che valgano i seguenti fatti:

(a) x+y = y+x per ogni x, y∈R; (proprietà commutativa dell’addizione)

(b) (x+y)+z = x+(y+z) per ogni x, y, z∈R; (proprietà asociativa)

(c) esiste un elemento 0 in R tale che 0+x = x per ogni x∈R;

(d) per ogni x∈R esiste un elemento y detto opposto di x tale che y+x = 0.

Con un linguaggio algebrico, le proprietà precedenti si riassumono dicendo che R è

un gruppo abeliano rispetto all’addizione. L’elemento opposto risulta unico e si indica

con -x.

● Operazione di moltiplicazione

E definita una funzione p:R✕R→R che ad ogni coppia di numeri x, y associa

il numero p(x, y) indicato con xy (detto moltiplicazione o prodotto) in modo

tale che valgano i seguenti fatti:

(a) xy = yx per ogni x, y ∈ R;

(b) (xy)z = x(yz) per ogni x, y, z ∈ R;

(c) esiste un elemento 1 in R tale che 1x=x per ogni x ∈ R;

(d) per ogni x≠0 esiste un elemento y detto inverso di x tale che yx=1;

(e) per ogni x, y, z ∈ R si ha x(y + z) = xy + xz. (lega addizione e

moltiplicazione).

Globalmente, tenendo conto delle proprietà dell’addizione e della

moltiplicazione, possiamo dire con linguaggio algebrico che R è un campo

rispetto a somma e prodotto. L’elemento inverso di x≠0 risulta unico e si

indica con x^-1.

● Relazione d’ordine

Ogni coppia di numeri x, y∈R verifica una (o tutte e due) delle relazioni

x≤y o y≤x che godono delle seguenti proprietà :

(a) x≤x per ogni x∈R, e da x≤y e y≤x discende x=y;

(b) da x≤y e y≤z segue che x≤z;

(c) da x≤y segue che x+z≤y+z per ogni z∈R;

(d) da 0≤x e 0≤y segue che 0≤xy.

Il fatto che due elementi di R siano sempre confrontabili tra loro e che

valgano le proprietà (a) e (b), viene riassunto dicendo che la relazione ≤ è

una relazione di ordine totale su R. Le proprietà (c) e (d) legano tale

relazione alle proprietà di somma e prodotto.

● Assioma di Dedekind

Siano A, B→R non vuoti e tali che per ogni x∈A e y∈B si abbia x≤y. Allora

esiste un elemento z∈R che separa A e B, cioè tale che per ogni x∈A e

y∈B x≤z≤y.

Useremo la seguente terminologia. Se x≥0 (x>0), diremo che x è un numero non

negativo (positivo); e x≤0 (x<0), diremo che x è un numero non positivo

(negativo). Il numero 0 è contemporaneamente non positivo e non negativo.

E utile rappresentare geometricamente R su una retta orientata: poniamo i numeri positivi a

destra di 0, posizionando x>0 a distanza x da 0. Similmente poniamo i numeri negativi a

sinistra dell’origine, posizionando x<0 a distanza x da 0.

z

A B

Nel seguito saranno importanti i seguenti sottoinsiemi di R: ∀a,b∈R con a≤b

poniamo

[a, b] = {x∈R : a≤x≤b}, (intervalli chiusi) ]a, b[= {x∈R : a<x<b}, (intervalli

aperti)

]a, b] = {x∈R : a<x≤b}, (Intervalli aperti a sx) [a, b[= {x∈R : a≤x<b}.

(Intervalli aperti a dx)

Estremi superiore e inferiore di un insieme

Massimo e minimo di una funzione reale

Sia E⊆R un insieme. Diciamo che M∈E è il massimo di E se ∀x∈E : x≤M.

Diciamo che m∈E è il minimo di E se ∀x∈E : m≤x. Se il massimo e il minimo

di E esistono sono unici e si indicano con maxE e minE. Non è detto che un

insieme E in R ammetta max e min.

Maggiorante e minorante

Sia E⊆R. Diciamo che M∈R è un maggiorante per E se ∀x∈E : x≤M. Diciamo

che m∈R è un minorante per E se ∀x∈E : m≤x.

Insiemi limitati e illimitati

(a) Diciamo che E è superiormente limitato se E ammette un maggiorante

M∈R. Se l’insieme dei maggioranti è vuoto, diremo che E è illimitato

superiormente.

(b) Diciamo che E è inferiormente limitato se E ammette un minorante

m∈R. Se l’insieme dei minoranti è vuoto, diremo che E è illimitato

inferiormente.

(c) Diciamo che E è limitato se è limitato sia superiormente che inferiormente.

Teorema (dimostrazione sulla dispensa)

Sia E⊆R un sottoinsieme non vuoto.

(a) Se E è superiormente limitato, allora l’insieme dei maggioranti di E è non vuoto e

ammette minimo.

(b) Se E è inferiormente limitato, allora l’insieme dei minoranti di E è non vuoto e

ammette massimo.

Estremo superiore e inferiore

Sia E⊆R un insieme non vuoto. Se E è superiormente limitato, diciamo

estremo superiore di E il minimo dei maggioranti di E. Similmente, se E è

inferiormente limitato, diciamo estremo inferiore di E il massimo dei

minoranti di E. Indicheremo l’estremo superiore con supE e l’estremo

inferiore con infE. Chiaramente, se E è limitato, si ha infE≤supE.

Rapporto tra sup/inf e min/max

(a) Se E ammette massimo, allora maxE=supE. Infatti E è superiormente limitato

perché maxE è un maggiorante, ed anzi maxE è il più piccolo di tutti i maggioranti.

(b) Si può dire anzi che E ammette massimo se e solo se è superiormente

limitato e supE∈E: in tal caso maxE=supE

Diremo che una famiglia I di intervalli è una famiglia di intervalli inclusi se ∀I ∈I

,I

1 2

si ha I ⊆I ⊆I

o I .

1 2 2 1

Principio degli intervalli inclusi di Cantor (dimostrazione dispensa)

Sia I una famiglia non vuota di intervalli inclusi del tipo [a, b]. Allora esiste

almeno un x∈R tale che x appartiene ad ogni intervallo della famiglia I.

I numeri naturali, interi