Cenni di goniometria trigonometria e funzioni logaritimiche

Le funzioni goniometriche

Archi e angoli

Lunghezza di un arco

La lunghezza degli archi delle circonferenze è proporzionale ai corrispondenti angoli. Quindi:

\( l_1 : l_2 = d_1 : d_2 \)

\( l : 2 \pi r = d : 360 \rightarrow l = \frac{d}{180} \pi r \)

I gradi

Diverse unità di misura:

• Grado sessagesimale: 360-esima parte dell'angolo giro, simbolo °
• Grado centesimale: 400-esima parte dell'angolo giro, simbolo gon
• Grado sessagesimale: grado suddiviso in 60 primi e in 60 secondi
• Radianti: simbolo rad

Radianti

Si chiama radiante l'ampiezza di un angolo a cui corrisponde un arco di lunghezza uguale al raggio. Si misura p in radianti. Si trova così:

p = ^π⁄₁₈₀ d

Tabella radianti

Definizione angolo

L'angolo è la porzione di piano compresa tra due semirette aventi origine comune. Due semirette creano sempre un angolo interno ed uno esterno.

Funzioni goniometriche

Circonferenza goniometrica

Consideriamo la circonferenza γ con centro nell'origine e raggio 1: x² + y² = 1. Sia A(1,0) il punto in cui interseca con l'asse delle ascisse, sia α un angolo. Se ammettiamo che A compie una rotazione di t, sia B la posizione occupata da t. Quindi B sarà il punto associato ad α. Tale circonferenza è la circonferenza goniometrica.

Angoli equiparanti

Un angolo orientato è del 1°, 2°, 3°, 4° quadrante e R punto associato è interno al Q_I, Q_II, Q_III, Q_IV, la quadrante.

Angoli notevoli

Seno e coseno

Le coordinate di B sono dette funzioni di α. Si chiama seno l'ordinata del punto associato ad α, si chiama coseno l'ascissa del punto associato ad α.

cos α = x_B, sen α = y_B

Essendo B un punto appartenente alla circonferenza:

sen² α + cos² α = 1

Identità fondamentale

Le funzioni seno α e coseno sono limitate e il loro codominio è [intervallo: [-1;1]]

-1 ≤ sen α ≤ 1

-1 ≤ cos α ≤ 1

Tangente

Se ora tracciamo la retta t_T tangente alla circonferenza e il suo punto B, la retta OB₂ interseca la retta t_T in un punto t. La distanza x_tT è uno e non dipende da α. L'ordinata y_t è in funzione di α ed è detta tangente di α.

tan α = y_tT

Per identificarla basta applicare la seguente proporzione:

AT : OA = HB : OH

tan α : 1 = sen α : cos α

tan α = _{sen α} / _{cos α}

Segni delle funzioni goniometriche

1. 1^o + + +
2. 2^o + - -
3. 3^o - - +
4. 4^o - + -

Da una funzione all'altra

[sen² + cos²] = 1

[tan = sen/cos]

- In funzione di tangente

cos² = 1 / 1 + tan²

sen² = tan² / 1 + tan²

- In funzione di seno

cos² = 1 / 1 - sen²

tan = sen / 1 - sen²

- In funzione di coseno

sen² = 1 - cos²

tan = 1 - cos² / cos