Cenni di goniometria trigonometria e funzioni logaritimiche

LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

ARCHI E ANGOLI

LUNGHEZZA DI UN ARCO

Le lunghezze degli archi della circonferenza sono proporzionali ai corrispondenti angoli.

Quindi:

• l₁ : l₂ = d₁ : d₂
• l : 2πu = d : 360 → l = ^d/₁₈₀ πu

I GRADI

Diverse unità di misura:

• grado sessagesimale: 360-esima parte dell'angolo giro, simbolo °;
• grado centesimale: 400-esima parte dell'angolo giro, simbolo gon;
• grado sessagesimale: grado suddiviso in 60 primi e in 60 secondi;
• radianti: simbolo rad.

Radianti

Si chiama radiante l'ampiezza di un angolo piano a cui corrisponde un arco di lunghezza uguale al raggio k misurato in radianti.

Si trova così: _P = π/180 _d

Tabella Radianti

• 30° - π/6
• 45° - π/4
• 60° - π/3
• 90° - π/2
• 180° - π
• 270° - 3π/2
• 360° - 2π

Definizione Angolo

L'angolo è la porzione di piano compresa tra due semirette aventi origine comune.

Due semirette creano sempre un angolo interno ed uno esterno.

COTANGENTE

cot=₁/_{tan d} ➔ cot = _{cos d}/_{sen d}

COSECANTE E SECANTE

cosec = ₁/_{sen d}

sec = ₁/_{cos d}

ARCHI ASSOCIATI

2^a ottante

• sen(π/2 - d) = cos d
• cos(π/2 - d) = sen d
• tan(π/2 - d) = cotan d

3^a ottante

• sen(π/2 + d) = cos d
• cos(π/2 + d) = -sen d
• tan(π/2 + d) = -cotan d

4^a ottante

• sen(π - d) = sen d
• cos(π - d) = -cos d
• tan(π - d) = -tan d

5^a ottante

• sen(π + d) = -sen d
• cos(π + d) = -cos d
• tan(π + d) = tan d

6^a ottante

• sen(3π/2 - d) = -cos d
• cos(3π/2 - d) = -sen d
• tan(3π/2 - d) = +cotan d

7^a ottante

• sen(3π/2 + d) = -cos d
• cos(3π/2 + d) = sen d
• tan(3π/2 + d) = -cotan d

8^a ottante

• sen(-d) = -sen d
• cos(-d) = cos d
• tan(-d) = -tan d

Terzo caso α = -1 V β = 1

Poiché: sen = com'esso 01 ≤ 1 , sen x = 0zerolta imponibile

Equazioni del tipo sen (f(x1)) : sen (β x1)

sen α = sen β

d = β π + 2kπ V α ≡ π - β +2kπ

Equazioni del tipo cos x = h

Prima equazione goniometrica:cos x = ¹/₂

Stesso procedimento del seno pero tracciando lo zero x = π/₂ ridico la scissex = π/₃ + 2kπVx = - π/₃ + 2 k πVx = 5/₃ π + 2 k π

Generalizzando l' equazione otteniamo:cos x = h

Risolvere la disequazione: tan x < 1 con 0 < x < 2π

Prendiamo l'angolo la cui tangente è 1.

Affinché sia tan x < 1, il punto associato

all'angolo x deve cadere o nell'arco AB

o nell'arco CD o nell'arco EA,

tutti considerati nel verso positivo antiorario.

Pertanto la disequazione data è verificata

per:

• 0 ≤ x < π/4
• π/2 < x < 5π/4
• 3π/2 < x < 2π

LOGARITMO DI UN QUOZIENTE

TEOREMA 2: Teorema del logaritmo di un quoziente. Il logaritmo del quoziente di due numeri positivi è uguale alla differenza tra il logaritmo del dividendo e il logaritmo del divisore.

_logb ^c = _logb ^a - _logb ^c con b > 0, b ≠ 1, a > 0, c > 0

DIMOSTRAZIONE

_logb ^b = b

(_logb ^a)^c = a b _logb ^c = c

_logb ^a - _logb ^c = _logb ^a

Quindi _logb ^a - _logb ^c = _logb ^{a / c}

CASO PARTICOLARE

_logb ¹ = -_logb ^c con b > 0, b ≠ 1, c > 0

ATTENZIONE

ES. 1: _log5 ² - _log5 ⁷³ = 1

ES. 2: _log6 ^b - _log2 ^b x

LOGARITMO DI UNA POTENZA

TEOREMA 3: Teorema del logaritmo di una potenza. Il logaritmo della potenza di un numero positivo è uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo del numero.

_logb ^ac = c _logb ^a con b > 0, b ≠ 1, a > 0

DIMOSTRAZIONE

_logb ^ac = c

(_logb ^a)^c = a _logb ^c

Quindi _logb ^ac = c _logb ^a

CASO PARTICOLARE

Ricordiamo √_nb = b^1/m

quindi _logb ⁿ = 1/m _logb ⁿ con b > 0, b ≠ 1, b > 0

ATTENZIONE

ES. 1: _log3 ²(-₃⁴) 4 x

ES. 2: _log10 ^c x

ES. 3: (_log3 ⁸¹)² = _log3 ⁶⁴ x