Cenni di Topologia

G.Di Fazio⊂Teorema 0.2

Sia X un insieme chiuso e limitato inferiormente. Allora X ammette minimo.R∈ ∈ ∃δDim. Sia a inf X Se a / X allora a è interno al complementare e quindi > 0 tale cheR.⊂ \B (a) X che è assurdo per la definizione di estremo inferiore.Rδ In maniera del tutto simile⊂Teorema 0.3 Sia X un insieme chiuso e limitato superiormente. Allora X ammette mas-Rsimo. ⊂ ∈Definizione 0.4 Sia X e sia x Diciamo che x è di accumulazione per X seR R.0 0∩ \ {x }) 6 ∅ ∀εB (x ) (X = > 0ε 0 0ovvero se ∀ε ∃x ∈ 6 ∈> 0 X, x = x , x B (x ).ε ε 0 ε ε 0L’insieme dei punti di accumulazione di X si chiama derivato di X e si indica con DX. ∅,Esempio 0.2 Il derivato dell’intervallo [0, 1] coincide con l’intervallo stesso. DN = DQ =\D(R =R, Q) R. ⊂ ⊂Teorema 0.4 X è chiuso se e solo se DX X.R∅ ∈ ∈Dim.

Se DX = la tesi è ovvia. in caso contrario sia x DX. Proviamo che x X. Infatti, 0 ∈ ∅ in caso contrario avremmo - essendo X aperto - che B (x ) X = per un opportuno δ > 0 eR δ 0 quindi x non apparterrebbe a DX contro l’ipotesi. 0 ⊂ &Viceversa supponiamo che DX X e proviamo che X è aperto. La conclusione è ovviaR negando la definizione di punto di accumulazione. ⊂ ∪ Definizione 0.5 Se X chiamiamo X̄ = X DX chiusura dell’insieme X. ∈ \Definizione 0.6 Se x non è interno all’insieme X e non è interno all’insieme X si diceR R0 punto di frontiera per X. L’insieme dei punti di frontiera si indica con ∂X. Si ha: Teorema 0.5 ∪ ∪X DX = X ∂X. ∈ ∪ ∈ ∈ \Dim. Sia x X DX. Se x X non abbiamo nulla da provare. Sia quindi x DX X. 0 0 0 Allora, *∀ε ∃x ∈ ∩ > 0 X

B _x ε 0ε2