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Appunti di Analisi 1 del prof Di Fazio sui cenni di Topologia: la topologia usuale o euclidea, i punti di accumulazione, la chiusura, la sfera chiusa, l'insieme dei punti di frontiera, la famiglia degli aperti, le definizioni, gli esempi e i teoremi.

Esame di Analisi 1 docente Prof. A. Passarelli

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1. Cenni di Topologia in R.

Definizione 0.1 Sia X Diremo che X è aperto in se si verifica una delle seguenti eventu-

R. R

alità: ∅

1. X = oppure X = R;

2. X =]a, b[ con a, b a < b;

R,

− ∞,

3. X =] a[ oppure X =]a, +∞[;

4. X è unione di insiemi dei tipi precedenti.

La totalità degli insiemi aperti si dirà famiglia degli aperti di o la topologia usuale o euclidea

R

di R. \

Definizione 0.2 Diremo che un insieme X è chiuso in se X è aperto.

R R

{x } \ ∅

Esempio 0.1 [0, 1] è chiuso, è chiuso. e non sono nè chiusi nè aperti. e sono

Q R Q R

0

contemporaneamente aperti e chiusi. ]0, 1[ è aperto, e sono entrambi chiusi.

N Z

Definizione 0.3 Dati c ed r > 0 chiamiamo sfera aperta di centro c e raggio r l’insieme

R, {x ∈ |x −

B (c) = : c| < r}

R

r

mentre l’insieme {x ∈ |x − ≤

B (c) = : c| r}

R

r

si dice sfera chiusa di centro c e raggio r.

⊂ ∀c ∈ ∃δ ⊂

Teorema 0.1 A è aperto se e solo se A, > 0 : B (c) A.

R δ

Dim. Sia A aperto e sia c A. L’insieme A è unione di intervalli aperti e quindi c appartiene

1

∈]a, − −

ad almento uno di essi. Supponiamo quindi c b[⊂ A. Allora posto δ = min(c a, b c) si ha

2

B (c) A.

δ S

Viceversa, dall’ipotesi è immediato che A = B (c).

δ

c∈A


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DETTAGLI
Esame: Analisi 1
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi 1 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Passarelli Antonia.

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