Cenni di Topologia

Cenni di topologia in R

Definizione di insiemi aperti

Definizione 0.1: Sia X. Diremo che X è aperto in R se si verifica una delle seguenti eventualità:

• X = ∅ oppure X = R
• X = ]a, b[ con a, b ∈ R e a < b
• X = ]a, -∞[ oppure X = ]a, +∞[
• X è unione di insiemi dei tipi precedenti

La totalità degli insiemi aperti si dirà famiglia degli aperti di R, o la topologia usuale o euclidea di R.

Definizione di insiemi chiusi

Definizione 0.2: Diremo che un insieme X è chiuso in R se R \ X è aperto.

Esempi di insiemi aperti e chiusi

Esempio 0.1:

• [0, 1] è chiuso.
• Q e R\Q non sono né chiusi né aperti.
• ∅ e R sono contemporaneamente aperti e chiusi.
• ]0, 1[ è aperto e sono entrambi chiusi.

Definizione di sfera aperta e chiusa

Definizione 0.3: Dati c ∈ R ed r > 0, chiamiamo sfera aperta di centro c e raggio r l’insieme:

B_r(c) = {x ∈ R | |x − c| < r}

mentre l’insieme:

B_r(c) = {x ∈ R | |x − c| ≤ r}

si dice sfera chiusa di centro c e raggio r.

Teorema sugli insiemi aperti

Teorema 0.1: A è aperto se e solo se ∀ c ∈ A, ∃ δ > 0 : B_δ(c) ⊆ A.

Dimostrazione: Sia A aperto e sia c ∈ A. L’insieme A è unione di intervalli aperti e quindi c appartiene ad almeno uno di essi. Supponiamo quindi c ∈ ]a, b[ ⊆ A. Allora, posto δ = min(c − a, b − c), si ha B_δ(c) ⊆ A.

Viceversa, dall’ipotesi è immediato che A = ∪ B_δ(c).